数列（解析版）-2021年新高考数学模拟题分项汇编（第二期3月）

专题08数列

1.（福建省漳州市2021届高三质量检测）在数列｛。“｝中，％和应是关于x的一元二次方程V一反+4=0

的两个根，下列说法正确的是（）

A.实数匕的取值范围是匕或。24

B.若数列｛4｝为等差数列，则数列｛4｝的前7项和为初

C.若数列｛4｝为等比数列且可＞0,则七=±2

D.若数列｛。“｝为等比数列且。＞0,则%+4的最小值为4

【答案】AD

【分析】

对A,由判别式即可判断；对B,先利用韦达定理得出々+4=人，再利用等差数列的性质以及前〃项和

公式即可求解；对C,先利用韦达定理得到〈-1,再根据等比数列的性质即可求解；对D,利用基

也a=4

本不等式即可求出4+4的最小值.

【解析】对A,—匕*+4=0有两个根，

A=/?2-4xlx4＞0，

解得：Z?W-4或Z?24,故A正确；

对B,若数列｛4｝为等差数列，

Q4和。6是关于"的一元二次方程f一笈+4=0的两个根，

7（生+生）

则£=2^詈）—,故B错误;

22

a+a=b

对C,若数列｛4｝为等比数列且匕＞0,由韦达定理得:26

%•4=4

可得：%＞0,牝〉。，

%>°，

由等比数列的性质得：

即。4=1%.4="=2,故C错误：

2

对D,由C可知：Ia4=a,­«6=4,且々>0，ab>Q.

：.a2+ab>2y]a2-ab=4,当且仅当为=4=2时，等号成立，故D正确.

故选AD.

2.(湖北省重点中学2020-2021学年高三质检测)已知数列｛4｝的首项4="?且满足

4«,1+1=[7-5•]-a„+2-2-(-if,其中〃eN*，则下列说法中正确的是()

A.当加=1时，有a“=a“+3恒成立

B.当〃z=21时，有。“+4=an+i恒成立

C.当加=27时，有。“+|08=%+山恒成立

D.当m=2«(ZeN*)时，有％+*=%什叶2恒成立

【答案】AC

【分析】

题设中的递推关系等价为%+i=<十为偶数，根据首项可找到｛%｝的局部周期性，从而可得正确的

+1,4为奇数

选项.

【解析】

因为4%=[7—5・(-l)”[q+2-201广—〜十为偶数，

、3a“+l,a”为奇数

当加=1即％=1时，%=4,%=2,a4=l,故｛叫为周期数列且4=a”+3,故A正确.

当机=21即％=21时，4=64,同理%=16,%=8,4=4，«7=2,4=1,故/#/，故B错

误.

当帆=2"即％=2人时,根据等比数列的通项公式可有％,=2%r=2，

%+I=1，%+2=4，q+3=2,ak+lak+3,故D错误•

对于C,当机=27时，数列｛4｝的前108项依次为：

27,82,42,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484,242,121,364,182,91,274,

137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780,

890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319,

958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734,

1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650,

325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,

故"109=8,qio=4,a”]=2,G|12—1,q”=4，

所以«„+|09=%+112对任意«>1总成立•

（备注：因为本题为多选题，因此根据A正确，BD错误可判断出C必定正确，可无需罗列出前108项）

故选：AC.

3.（湖北省襄阳市2020-2021学年高三联考）定义：在数列｛4｝中，若满足乌丝-4（neN*，

an+lan

为常数），称｛。"｝为"等差比数列已知在”等差比数列''｛4｝中，q=4=1，4=3则—=（

）

“2013

A.4X20152-1B.4X20142-1

C.4X20132-1D.4X20132

【答案】C

【分析】

利用定义，可得也是以1为首项，2为公差的等差数列，从而—=2〃—1,利用咏=咏.如

a

<2„Jn°2013^2014。2013

可得结论.

【解析】

at=a2=l,a3=3,

.旦—生=2

如卜是以1为首项，2为公差的等差数列,

.•..=2〃-1,

.^2oii=£2011.f2ou=^2x2014-1)(2x2013-1)=4027x4025

“2013fl201442013

=（4026+1）（4026-1）=40262-1=4x20132-1.

故选：C.

4.（湖南省常德市2021届高三模拟）对任一实数序列A=（4,%,6,…），定义序列

入4=（电一4，4一外,4-弓,…）,它的第〃项为4+1—4.假定序列△（A4）的所有项都为1,且

48=«2017=0，则«2021=（）

A.1000B.2000C.2003D.4006

【答案】D

【分析】

AA是公差为1的等差数列，可先设出A4的首项，然后表示出A4的通项，再用累加法表示出序列A的通

项，再结合a邛=4017=。求出AA的首项和A的首项，从而求出序列A的通项公式，进而获解.

【解析】

依题意知A4是公差为1的等差数列，设其首项为。.通项为〃“，

则包=”+("一l)xl="+a—l,于是

=4+Z(a+i)=4+**=4+--------Z-----------=4+(〃-l)a+-----------由于

k=\k=l'/

+17。+136=0

。18=^2017=。,即“，解得。=一1016,4=17136.故

[%+2016«+2015x1008=0

1ri”/1~八2019x2020M/

。2021=17136+2020x(—1016)H----------二470106.

故选：D

5.（湖南省衡阳市2020-2021学年高三模拟）数列｛%｝满足4=1,对任意的都有。计］=1+。“+〃，

则“10=()

A.54B.55C.56D.57

【答案】B

【分析】

由已知得凡+i-%="+l,利用累加法即可得结果.

【解析】

a

对任意〃eN*的都有氏+1=1+。"+〃，则„+i-an=n+\,

<2|0=q+(%-q)+(%一生)+'—F(4O-〃9)=1+2+3+…+10=———=55,

故选：B.

6.(湖南省衡阳市2020-2021学年高三模拟)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S"(〃GN*),公差分0,56=90,

“7是。3与49的等比中项，则下列选项正确的是()

A.ai=22B.d=—2

C.当〃=10或〃=11时，S”取得最大值D.当S,>0时，”的最大值为20

【答案】BCD

【分析】

由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的

通项用和S“，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假.

【解析】

等差数列｛4｝的前〃项和为s“，公差4工0,

由$6=90,uj■得6q+15d=90,即2q+54=30,①

由%是％与%的等比中项，可得即(4+6"产=(q+2d)(q+83),

化为4+101=0,(2)

由①②解得4=20,d=-2,

„1.

则an-20-2(〃-1)=22-2〃，Sn=-n(20+22-2n)=,

21441

由，=—(〃—彳产+丁，可得〃=io或ii时，s“取得最大值no；

由S“>0,可得0<“<21,即〃的最大值为20.

故选：BCD

7.（江苏省南通市2020-2021学年高三模拟）已知数列｛4,｝的通项公式为4=2",下列仍是

数列｛4｝中的项的是（）

a.

A.ai+j+aiB.ai+j-atC.ai+j-atD.

ai

【答案】CD

【分析】

根据｛«„｝的通项公式依次计算判断即可.

【解析】

对A,6+/+4=2'浦+2'=2'（2/+1）,可得不是｛《,｝中的项，故A错误；

对B,43一4=2唱—2，=2'（2'-1）,可得不是｛4｝中的项，故B错误；

对C,4+/4.=2'“九2'=22曾，可得乙14是｛4｝中的第万+/项，故C正确；

对D,乜===2,,可得色立是｛《,｝中的第/项，故D正确.

2at

故选：CD.

8.（江苏省无锡市2021届高三质量检测）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五

人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何其意思为"已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙

两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”

（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（）

A.二5钱B.4—钱C.2钱D.5士钱

4333

【答案】C

【分析】

根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a—2J，a—d,a,a+d,

a+2d，然后再由五人钱之和为5,甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解.

【解析】

设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a—2d,a-d，a,a+d,a+2d,

(a—2d)+(a—d)+a+(ci+d)+(ci+2d)—5

则根据题意有4,

[(a-2d)+(a-d)=a+(a+d)+(a+2d)

a=1

解得Li,

a=—

.6

2

所以戊所得为a+2d=一，

3

故选：C.

9.(辽宁省沈阳市2020-2021学年高三联考)等差数列｛《,｝中，已知%>0,%+为<。，则的前〃项

和S,,的最小值为()

A.54B.55C.S6D.S1

【答案】C

【分析】

先通过数列性质判断&<0，再通过数列的正负判断Sn的最小值.

【解析】

:等差数列｛4｝中，%+“9<°，，。3+。9=2。6<0，即。6<°•又。7>0，,｛a,,｝的前〃项和S”的最

小值为s$.

故答案选C。

10.(山东省荷泽市2020-2021学年高三模拟)已知数列｛”“｝的前〃项和是S“，且5“=2%-1,若

%G(0,2021),则称项an为“和谐项”，则数列｛a“｝的所有“和谐项”的和为()

A.1022B.1023C.2046D.2047

【答案】D

【分析】

由a“=S“-S,i(〃N2)求出｛%｝的递推关系，再求出q后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定

义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前〃项和公式求解.

【解析】

当〃22时，a-,“2a„-l-（2fl,,,1-l）=2an-2a„,,,Aan=24T>

又q=S1=2q-l,%=1,是等比数列，公比为2,首项为1,

所以4=2"i,由a,=2"T<2021得〃—1W10,即〃W11,

1-2"

；•所求和为S==2047.

1-2

故选：D.

11.（山东省青岛市2020-2021学年高三模拟）《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学

著作之一.书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的

两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为（）

A.3B.4C.8D.9

【答案】A

【分析】

由题意得到Ss=如二^=93,4+&=』%，求得4=2,进而求得《的值，即可求解.

\-q4

【解析】

设等比数列为｛%｝,其公比为

由题意知，$5=如~口•=93,4+o,=°%，可得％+。臼=3642,

\-q44

32

因为所以l+q=—/，解得4=2或4=一一（舍去），

43

当4=2时，可得囚（1—2）=93,解得q=3.

1-2

故选：A.

12.（山东省泰安市2020-2021学年高三模拟）在公差不为0的等差数列｛《,｝中，q,a2,气，。电，\

成公比为4的等比数列，则上3=（）

A.84B.86C.88D.96

【答案】B

【分析】

设等差数列｛4｝的公差为d，根据q，a2,4,a2%,成公比为4的等比数列，山g=4q,得d=3q,

再结合%—44£?|=256。］求解.

【解析】

设等差数列｛4｝的公差为d.

因为4,a2,%，ak2,”成公比为4的等比数列，

所以。2=4。1,所以q+d=44，得d=3q

所以=44q=256“，所以q+（&-l）d=256q.

即（匕T>3q=255o,,解得。=86.

故选：B.

13.（山东省威海市2020-2021学年高三模拟）己知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项

是2°，接下来的两项是2°,2］，再接下来的三项是2°,2i,22,依次类推…，第"项记为凡，数列｛4｝的前〃项

和为S“，则（）

A.%=16B.儿=128C,。出=2㈠口.§为=2*一左一1

22

【答案】AC

【分析】

对于AC两项，可将数列进行分组，计算出前&组一共有+个数,第2组第女个数即2"T，可得到选

2一

项C

由C得到=29,%则为第11组第5个数，可得40

对于BD项，可先算得0即前女组数之和

2

即为前5组数之和加上第6组前3个数，由5号=2'"一"一2结论计算即可.

【解析】

A.山题可将数列分组

第一组：2°第二组：2°,2,,第三组：2°,2；22,

则前4组一共有1+2+…+左=个数

2

第后组第&个数即21，故&=»T,c对

2

乂吗m=55,故…29

又回1=66，

2

%。则为第11组第5个数

第11组有数：2°,2i,22,23,2\2:26,27,28,2121°

故。60=2,=16,A对

*—1

对于D.每一组的和为2°+2i+..+2*T=-~-=2"-1

—一2-1

故前左组之和为21+22+...+2«—左=2(2-1)一/=2"|—2_女

2-1

k+

Sk-,+k,^2'-k-2

2

故D错.

对于B.

由D可知，儿=26—5—2

5(5+1)6(6+1)

—1D,-------------------Z.1

22

026

S18=S15+2+2'+2=2-5-2+7=64

故B错

故选：AC

14.（山东省2020-2021学年高三调研）对于实数X,［司表示不超过X的最大整数.已知数列｛4｝的通项

公式%=7；+：d，前〃项和为s“，则的］+匡］+…+［S40b（）

A.105B.120C.125D.130

【答案】B

【分析】

先求出S“，对于ZeN,考虑满足公+2%w〃〈左2+必+3的〃的个数，从而可计算［S』+住］+…+国）］

的值.

【解析】

因为%=刀=^~r=4n+\-4n,

W+1+A/〃

校S（）—5/2—>/\+"\/3-5/2+,,,+J"+1—"JU=J〃+1—1,

对于攵eN,若%?+2后<左？+4%+3,则左KJ〃+1-1<1+1，

所以［J〃+1-1］=后即［5“］=左，

取A=0,则0<〃<3,故［Sj=［S2］=0,

当H1时，满足［S“］=Z的〃有二+4%+3—无2一2左=2左+3个，

故图+闯+…+图］=0x2+1x5+2x7+3x9+4x11+5x6=120,

故选：B.

15.（辽宁省沈阳市2020-2021学年高三联考）已知正项等比数列｛4｝的前〃项和S“，若q=l,S3=7,

则公比q=,前8项和为.

【答案】2；255

【分析】

根据等比数列基本量的计算，可得4=2,代入等比数列求和公式计算可得前8项和.

【解析】

1一〃32

解：由题意得§3=—L=l+q+q2=7,

又a“>0,所以4=2,

8

所以$8=」1-2*=255

81-2

故答案为：2；255

16.（江苏省盐城市2020-2021学年高三模拟）数列｛4｝中，q=l,a,l+l=2a„+l（neN*），则

+C\a2+C；“3++C；%+=-------------

【答案】454

【分析】

由。,川+1=2（。“+1）,结合等比数列的定义和通项公式可求出。“=2"-1,结合二项式定理可求出

C；4+C；a,+Cg/+Cj<z4+C；“5+的值.

【解析】因为。,用+1=2。“+2=2（4+1）,所以｛4+1｝以2为首项，

2为公比的等比数列，所以。“+1=2X2"T=2",所以

a

则C；%+C\a2+C；°3+G。4+C；a5+G6

=C^X2+C>22+C^X23+C^X24+C>25+（^X26-（C^+C^+C^+（^+C^+（^）

XC°x2+C5x22+C/x23+C,x24+C>25+CJx26

=2x（C^x20+^x2'+C^X22+C,X23+CJX24+（^X25）

=2x（1+2）5=486,

C；+C；+C；+C；+C；+C：==32,所以原式=486-32=454,

故答案为：454.

17.（江苏省启东市2020-2021学年高三模拟）在各项都为正数的等比数列｛4｝中，已知0<%<1,其前”

项之积为（，且又=",则（取最小值时，〃的值是.

【答案】9

【分析】

由12=（得的即）=1，依题意得。<佝<1，许）>1故〃=9时，取最小值.

【解析】

73

由工2=£得半■=1，即a7a8aM0。1吗2=（初io）.=1故。必。=1

因为=%。10，则0al8=1，由于。<q<l,得%>1

所以等比数列｛。“｝是递增数列，故0<%<1<4。

则7；取最小值时，〃=9

故答案为：9

18.（江苏省南通市2020-2021学年高三模拟）设数列｛%｝的前〃项和为S”，写出一个同时满足条件①②的

等差数列｛4｝的通项公式为=.

①S,,存在最小值且最小值不等于q；

②不存在正整数k,使得S*>SM且Sk+l<Sk+2.

【答案】答案不唯一，如2“一6

【分析】

由题可得々<0,存在〃使得4=0,即可写出.

【解析】

若々<0,则满足①，

又不存在正整数k,使得s*>且S&+I<sk+2,则可得s„连续两项取得最小值,

即存在〃使得勺=0，

则可得｛可｝的通项公式可以是4=2〃-6.

故答案为：答案不唯一，如2〃—6.

19.（湖南省衡阳市2020-2021学年高三模拟）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，a,=1,若〃22时，。“是

S,与S1-的等差中项，则$5=.

【答案】81

【分析】

根据题意得〃22时，2a“=S“+S,i，再结合a“=S"一'得｛S“｝是等比数列，公比为3,首项为

$=%=1,再根据等比数列通项公式即可得答案.

【解析】

解：根据题意得：2时，2a“=S.+S,i，另一方面，当“22时，4=S“-S,i，

所以2（S“—SI）=S,+S“T，B|J：当〃22时，S“=3S,i，

所以｛"｝是等比数列，公比为3,首项为S]=%=1,

所以S“=3"T,所以S5=35T=81.

故答案为：81

20.（湖北省九师联盟2021届高三联考）“十二平均律”又称“十二等程律”是世界上通用的一组音（八度）分成

12个半音音程的律制，是在16世纪由明朝皇族世子朱载墙（1536年-1611年）发现的，具体是指一个八度有

13个音，每相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的频率的2倍，设第三个

音的频率为八，第七个音的频率为6,则£=.

【答案】蚯

【分析】

利用等比数列的基本量运算可得出?的值.

【解析】

由题意知13个音的频率。成等比数列，设公比为4,则*=42=2,所以£=/=2§=狙.

八J3

故答案为：/

21.（福建省泉州市2021届高三联考）已知函数/（xX/cos彳，数列｛%｝中，

4=/（〃）+/（〃+l）（〃eN*）,则数列｛。.｝的前100项之和，。。二.

【答案】10200

【解析】

TTY

因为f（x）=x2cos5-,所以

2n

an=f(n)+f(n+l)=〃2cos肾+(n+1)cos.

a*=(4〃-3)2cos冗+(4〃-2>cos兀=-(4n-2)2

222

同理可得：a4n_2=-(4n-2),a4n_1=-(4n),a4n=-(4n)

a+a+

4n-34,,-24"-1+。4"=-2(4〃-2—+2(4〃)一=8(4/1-1),

｛aj的前100项之和000=8(3+7+…+99)=10200.

故答案为10200.

22.(湖北省2020-2021学年高三模拟)已知等比数列｛q｝的前〃项积为7；,若a4a6=2%，则

【答案】512

【分析】

由等比数列的性质和a4a6=2G，求得见=2,进而根据与=。92。3…。9=4，即可求解.

【解析】

因为内。6=2。5，山等比数列的性质，可得44=d，所以=2%,解得出=2,

又由勾=qa2a3…佝=《=2'’=512.

故答案为：512

23.（湖北省2020-2021学年高三模拟）在①S=°±2；②4制=%%,S7=4%=28；③％1=但，

2«„n

S3=6这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加解答.

问题：设数列｛%｝的前〃项和为S“，,若勿=养，求数列也｝的前〃项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分.

【答案】条件选择见解析；前〃项和为2-（〃+2）［；）

【分析】

分别选①②③，根据等差数列的通项公式及求和公式，求得见=〃，得到〃,="•（；），结合乘公比错位相

减法，即可求得数列｛a｝的