新教材2021-2022学年人教A版选择性必修第三册

7.1.2全概率公式

新课程标准解读核心素养

1.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率数学运算

2.了解贝叶斯公式并会运用数学抽象、数学运算

物每段葡知识梳理

心情境导入

狼来了这个故事大家都听过，那么从心理学角度分析，这个小孩

是如何一步步丧失村民信任的呢？我们可以通过特殊概率公式来解

读.

设A为事件“小孩说谎”，B为“村民觉得小孩可信”.不妨设

可信的小孩说谎的概率为0.1,而不可信的小孩说谎的概率为0.5,经过第一次撒谎，第二次

撒谎后，狼真的来了，小孩第三次呼救的时候，村民都不再相信这是真的，觉得这是谁家熊

孩子真气人，没人再上山救他.于是，狼在前两次跳出来吓唬完小孩就跑走后，成功在第三

次抓走小孩，而且无人打扰，由此可见心理学结合概率统计学很重要！

［问题J上述问题可以用哪种概率公式来解释？

道新知初探

知识点一全概率公式

一般地，设4,4，…，4是一组两两互斥的事件，A|U42U”・IM“=Q,且P(4)>0,

II

i=l,2,…，”，则对任意的事件8U0,有P(B)=2她口驷.称上式为全概率公式.

<=1

。想一想

如何理解全概率公式中“全”字？

提示：使用全概率公式计算目标事件8的概率，必须是找到样本空间2的一个完备事

件组4,A2,…，A,.,而这一完备事件组恰恰可以理解为是事件B产生的几个原因.全概

率公式相当于将产生B的全部原因一一进行考察，将每一个可能性都考虑进来，这就是

“全”的含义所在.概括来说，“全”指的是对目标事件2有贡献的全部原因.应用中要

将全部原因找出来，缺一不可，才能构成样本空间的完备事件组.

0做一做

某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的

甲、乙两班的人数之比为5：3,其中甲班中女生占3专乙班中女生占据I求该社区居民遇到的

一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.

解：设用4与7■分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示遇到的同

学是女生，则根据已知，有

55—53

P(A)=而方，P(A)=Lg食，

3—1

而且尸(8|A)=m，P(B\A)=q.

__53311

由全概率公式可知P(8)=P(A)P(8H)+P(A)P(8|A

)=oQXT3+-oXJ-=-Z

知识点二贝叶斯公式

设A1，A2,…，A"是一组两两互斥的事件,A1UA2U…UA”=a,且P(A,)>0,1=1,2,

n,则对任意的事件BGQ,P(B)>0,有P(4|B)="呼雷出=尸⑷"=闵，/=1)21

/(8)n

t=i

n.

•点一点・

条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系

条件概率P(B|A)=g^--乘法公式

-P(AB)=P(A)P(B|A)

全概率公式

P(B)=SP(A)P(B|A)

i=l;i

I

贝叶斯公式

一尸(A)P(BIA),…

P(A：IB)=---------------------,i=l,2,—,n

SP(Afe)P(B|At)

。想一想

1.怎样应用全概率公式和贝叶斯公式？

提示：如果所求事件的概率是由多个原因引起的，此时，应用全概率公式，如果所求概

率为条件概率P(A|8),而B由多个原因引起，此时应用贝叶斯公式.

2.贝叶斯公式的几何意义是什么？

提示：如图所示，8是由A和丁两个原因引起的结果，P(A|B)表示原因A在结果3中

的比重.

B

A

6做一做

设机器调整良好时，产品的合格率为95%,而当机器发生某种故障时，其合格率为50%.

设机器调整良好的概率为90%,已知某日生产的第一件产品是合格品，则机器调整良好的

概率为.

解析：设A=“产品合格”，B="机器调整良好”，则P(B)=90%=0.9,P(~B)=1

P(A|B)=95%=0.95,尸(A|E)=50%=0.5,

P(碘尸嘲普=__呼噢—

"A)P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)

-m945

0.9X0.95+0.1X0.5'

故机器调整良好的概率为0.945.

答案:0.945

..............•••"■＞嗡数钩翼勿精析..........

7^全概率公式的应用

［例1］(链接教科书第50页例4)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品

率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车

床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.

(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床加工的概率.

［解］设8="任取一个零件为次品”，A,="零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),则Q=

4UA2UA3,且A,A2,小两两互斥.根据题意得'

P(Ai)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,

P(B|AI)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.

(1)由全概率公式，得

P(B)=P(4)P(BA)+P(Ai)P(B\Ai)+P(A3)P(BE)

=0.25X0.06+0.3X0.05+0.45X0.05=0.0525.

(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床加工的概率”，就是计算在B发生的

条件下，事件4发生的概率.

一P(43)P(4)P(8|4)0.25X0062

2⑻-p®~0.0525~T

［母题探究］

1.(变设问)本例条件不变，若取到的零件是次品，试计算它是第2台，第3台车床加

工的概率.

解：由本例知，它是第2台车床加工的概率为24版=£篝="疆出=/

同理，第3台车床加工的概率为尸(A3|B)=卓

2.(变条件，变设问)两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04,第二台的废

品率为0.07,加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍.现任

取一零件，求合格品的概率.

解：令8=取到的零件为合格品，4,=零件为第i台机床的产品，i=l,2.此时，全部的

零件构成样本空间Q,4,4构成Q的一个划分.由全^率公式得P(B)=P(4).P(B|4)+

21

尸(A2)P(5|A2)=3X0.96+］X0.93=0.95.

ODO®

应用全概率公式的解题步骤

(1)找出样本空间的完备事件组，并用字母表示各个事件；

(2)求出各组相关事件的概率或条件概率；

(3)代入全概率公式求得结果.

［跟踪训练］

设有甲、乙两袋，甲袋中装有〃只白球机只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今

从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球：

(1)取至U(即从乙袋中取至U)白球的概率是多少？

(2)第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球.先从第

一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率.

解：(1)记Ai,A2分别表示从甲袋中取得白球，红球放入乙袋，再记B表示再从乙袋中

取得白球.•..8=AIB+A28且48,48互斥，.•.P(B)=尸(4)P(BHI)+P(A2)P(8H2)=—

n-rm

XN+1।_幼_

N+M+\n+mN+M+\'

(2)记G表示从第一盒子中取得2只红球，C2表示从第一盒子中取得2只白球，C3表示

从第一盒子中取得1只红球，1只白球，。表示从第二盒子中取得白球，显然Ci,C2,C3

两两互斥，C|UC2UC3=f2,由全概率公式，有P(£))=P(G)P(O|CI)+P(C2)P(£>|C2)+

P9)尸(*3)=皋得+队£+鲁

TZ利用贝叶斯公式求概率

［例2］(链接教科书第51页例6)设8支枪中有3支未经试射校正,5支已经试射校正.一

射击手用校正过的枪射击时，中靶概率为0.8；而用未校正过的枪射击时，中靶概率为03

今假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用这支枪是己校正过的概率.

［解］设4和A2分别表示“所取的枪是校正过的''和"所取的枪是未校正过的''这两个事

件，B表示“射击中靶”这一事件.由题设知

尸(4)=*P(A2)=|,

P(8|4)=0.8,&妙2)=03

于是由贝叶斯公式得所求的概率为

p(AP(A»P(晒)

(3)-P(Al)P(B[Al)+P(A2)P(BiA2)

5

8X0-84

53=鼠5氏0用2・

^X0.8+^X0.3

OO

应用贝叶斯公式求概率的步骤

(1)根据题目的提问，事件B是由多个原因引起，这多个原因为4,A2,A“，且4,

A?,…，A”是样本空间Q的一个划分;

(2)利用全概率公式求出P(B)；

(3)代入贝叶斯公式得概率.

［跟踪训练］

某人到武汉参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2,0.1,0.3,0.4.如

果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到的概率分别为1,上和去乘飞机不会迟到.结果他迟到

了，求他乘汽车去的概率.

解：设8=“迟至旷'，A,="乘火车"，4=“乘轮船"，4="乘汽车"，A产“乘

飞机”，

根据题意，有

P(Ai)=0.2,P(A2)=0.1,尸(A3)=0.3,P(A4)=O.4.

P(B|A,)=|,尸(8142)=/,P(B|A3)=1,P(B|A4)=0.

由贝叶斯公式，有

4

ZP(B|AQP(4)

女=】

______________________________

|x0.2+^X0.1+|x0.3+0X0.4

0.075

=0.5,

0.15

即他乘汽车去的概率为0.5.

但全概率公式和贝叶斯公式的综合应用

［例3］某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有

以下的数据：

元件制造厂次品率提供元件的份额

I0.020.15

II0.010.80

III0.030.05

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.

(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；

(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求

出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.

［解］设A表示取到的是一只次品，2,3)表示所取到的产品是由第i家工厂提供

的.

本题的概率树形图如下：

/I厂----次品SI&)

得*nr---次品(41B2)

、mr----次品(A|B3)

易知，Bi,Bi,品是样本空间o的一个划分，且有

P(8|)=O.15,P(B2)=0.80,尸(83)=0.05,

-⑷81)=0.02,P(A|7)=0.01,P(A|B3)=O.O3.

(1)由全概率公式得P(A)=P(A|8I)P(S)+P(A|B2)•尸(B2)+P(A|&)P(B3)=O.O125.

-，、一尸(A|5)P(Bi)0.02X0.15

(2)由贝叶斯公式传尸(Bi|A)=P(A)=~OOP5~=0・24.

同理可得P(82|A)=0.64,P(&|A)=0.12.以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可

能性最大.

概率树在全概率公式和贝叶斯公式中的应用

对于复杂问题，运用概率树图解法比较方便.先根据题意，画出图形，在图形中用相应

的符号表示事件，并标注概率大小，然后根据图形，找到全概率公式和贝叶斯公式中的量，

代入公式求解.

［跟踪训练］

有两箱同种类型的零件.第一箱装50只，其中10只一等品：第二箱30只，其中18

只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽

样，试求：

(1)第一次取到的零件是一等品的概率；

(2)第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.

解：设5表示第i次取到一等品，=1,2,为表示第/箱产品，J=l,2,显然A|UA2=Q,

AIA2=。，

11IQ7

(1)P(BI)=P(AI)P(BI|AI)+P(A2)P(BI|A2)=2X^5+2X30=5=0-4-

17

P")/X而X而+会而X

29

(2)P(B|BI)=一七0.4856.

2P(&)~2

5

冒随堂检测

1.(多选)若0<P(A)Vl,0VP(B)<l,则下列等式中成立的有()

产(4B)

A.P(AIB)=

P(A)

B.P(A8)=P(A)尸(附

C.P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)

P(3)尸(A|8)

D.P(A|8)=

P(A)P(B|A)+P(A)P(BIA)

解析：选BCD由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正确；由全概率公

式知C正确；P(B)P(A|8)=P(4B),P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A),故D正确.故选B、C、

D.

2.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表示“试验反应

为阳性”，以8表示“被诊断者患有癌症”，则有P(A|B)=0.95,「(彳|5)=0.95.现对自然

人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005,则P(8|A)约为()

A.0.25B.0.092

C.0.087D.0.4

解析：选CP(A话)=1—P(可历)=1-0.95=0.05.被试验的人患有癌症概率为0.005,

就相当于P(B)=0.005,因此P(B|A)=-------'/二~~二-七0.087.故选C.