集合学习提纲

集合学习提纲一、 学习内容每个学生都应该用的•集合概念及表示法。2•子集。3•交集。4•并集。每个学生都应该用的二、 知识点解析•集合集合概念：和几何中的点、线、面一样，集合是数学中最原始的概念之一，不能用其他基本概念来定义，它们也叫做不定义的概念或原始概念。对于一个集合，有以下三个特性：确定性：“对于一个给定的集合，集合中的元素都是确定的”，也就是说，对于任何一个作为具体研究对象的元素，都能确定这个元素是这个集合的元素或不是这个集合的元素，两种情况有且只有一种成立。因此，诸如“高一(1)班个子高的同学”，“比较大的角”等，就不能构成集合，因为“个子高”和“比较大”没有一个确定的标准。互异性：对于给定集合中的任意两个元素，它们必定不相同，即同一集合中元素不能重复出现。这个特性在解某些问题时非常重要。无序性：由于集合是指一组对象的全体，而不论这些对象的先后顺序，因此在表示集合时，元素排列的先后顺序不影响集合的表示。集合的表示法。表示集合常用下列两种方法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法叫做列举法，当元素个数较多，或集合为无限集，在用列举法表示集合时，可以采用省略号，但应能很容易看出该集合中元素的规律。女如“小于100的正奇数”集合可表示为｛1,3,5,7,……，99｝「'负整数”集合可表示为｛-1，-2，-3，-4，…｝。『超级学习笔记』描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法叫做描述法。竖线前面是这个集合的元素的一般形式，竖线后面是这个集合的元素的公共属性。『超级学习笔记』如｛x|x+3=3x-1｝，表示元素x是方程x+3=3x-1的解，即x=2。亦即｛x|x+3=3x-1｝=｛x|x=2｝=｛2｝。所有整数组成的集合可以写成｛整数｝，而｛所有整数｝的写法就不正确了。符号“e”与“电”。表示“属于”的符号“w”和表示“不属于”的符号电。“电”(或“e”)仅表示元素和集合之间的关系，不能表示两个集合之间的关系。由集合中元素的确定性，对于任意的元素a和集合M，在“aGM”和“a电M”这两种关系中必有且只有一种关系成立。常用的数集记号。以数为元素的集合叫数集。按约定，在通常情况下常用的数集符号有N——自然数集；Z——整数集；Q——有理数集；R——实数集，还有Z——负整数集；Q+ 正有理数集等。•子集子集的定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。即若xGA，就必有xGB，则称A为B的子集。但不能说“集合B中的部分元素组成的集合A叫集合B的子集”，因为这和“空集是任何集合的子集”的

规定矛盾，也和“任何一个集合是它本身的子集”的结论矛盾。如集合A是集合B的子集，我们记作A匸B（或BRA），读为“A包含于B”（或“B包含A”）。如果集合A不是集合B的子集，相应地记作A匸B。每个学生都应该用的由子集的定义，A匸A,即任何一个集合是它本身的子集。每个学生都应该用的若集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集，记作A匚B（或B^A），读为“A真包含于B”（或“B真包含A”），如A不是B的真子集，相应地记作A^B。由此规定，空集是任何非空集合的真子集，但不能说“空集是任何集合的真子集”，因为空集不是空集的真子集，只能说“空集是任何集合的子集”，即f匸A。由子集和真子集的定义，很容易证明集合的包含关系有传递性，即：若A匸B,B匸C，则A匸C，若A^B,B^C,则A^C。（2） 空集：不含任何元素的集合叫做空集。用符号“（p”表示，如{x|x2+l=0，xGR}是空集。但“{p}”不是空集，它是以集合为元素的集合（这个元素是空集），{0}也不是空集，它有一个元素0。（3） 符号“匸”、“R”、“U”、“二”。这几个符号仅适用于两个集合之间的关系，而“w”、“纟”是用于元素与集合之间的关系。（4） 集合的相等，若集合A和B,既满足A匸B，又满足BRA，则称这两个集合相等，记作A=B，读作“A等于B”，因此，要证明A=B只要证明A匚B，同时B匚A就可以了。（5） 韦恩图。如两个集合A和B有关系A^B，可以用图形象地表示如右图，这个图常称为韦恩图，其中两条封闭曲线内部分别表示集合A和B，韦恩图可以形象地帮助我们思考集合的一些问题。（6） 集合的子集个数。一个有n个元素（n已N）的有限集A,它有2n个子集，『超级学习笔记』其中包含空集Q和它本身A。因此，集合A有2n-1个非空子集（不含Q，含A），有2n-1个真子集（不含A，含Q），有2n-2个非空真子集（不含Q,A）。『超级学习笔记』•交集（1）交集的定义，由所有属于集合A且属于B的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，用符号“AAB”表示，读作“A交B”。实际上AAB是由所有集合A和集合B的公共元素所组成的集合。用集合的写法，可以表示为AAB={x|xGA，且xGB}。AAB也可以用韦恩图表示如下。⑵交集的性质。由交集的定义和集合相等的定义，很容易得到：AAA=A,AAe=e,AAB=BAA。对AAe=e证明如下：假设存在元素xG（AAe），则由交集定义得xGe，与空集e的定义矛盾，所以ane中不存在任何元素，即Ane=e。此外，还容易证明，AnB=B与B匸A等价。每个学生都应该用的(3)交集与方程组，不等式组，求方程组的解集，即求方程组中每一个方程的解集的交集。求不等式组的解集，即求不等式组中每一个不等式的解集的交集。每个学生都应该用的•并集并集的定义。由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的并集，用符号“AUB”表示，读作“A并B”。实际上AUB是由集合A和集合B中所有元素组成的集合，但集合A与B的公共元素在AUB中只能出现一次，用集合的写法，可以表示为AUB={x|xGA，或xGB}。注意“XeA，或xeB”中“或”的意义包含三种情况：Xea,但x电B；A，但x电B,xeA,且xeBoAUB可以用韦恩图中的阴影部分表示。并集的性质，由并集的定义和集合相等的定义，很容易得到： AUA=A,AUf=A,AUB=BUAo由交集和并集的定义，也容易得到(AnB)匸A匸(AUB),(AnB)匸B匸(AUB)。三、典型例题【例1】用另一种表示法写出下列各集合：(1){3的整数倍}；(2){1,6,11,16,„}o解：(1){x|x=3n,nGZ}；(2){被5除余1的自然数}。x【例2】已知集合A={x|—ez,xeZ},B={x|6xeQ,xeQ}；6『超级学习笔记』判断集合A、B是有限集还是无限集；⑵判断-2,V2,10与集合A、B的关系。『超级学习笔记』解：(1)A={-6,-3,-2,-1,1,2,3,6},B={有理数}，所以A是有限集，B是无限集。-2eA, 2电A,10电A；-2eb,%2eA,10eb。【例3】已知集合{2,x-1,2x2-5x+5},求实数x应满足的条件。解：由集合中元素的互异性，2Hx-1解得xH3。32工2x2-5x+5解得x工1，且x工―。③x-1工2x2-5x+5,2x2-6x+6工0,A=36-48<0。

3所以xH3，且xHl，且x丰—。2【例4】例4•指出下列集合之间的关系：每个学生都应该用的A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}；每个学生都应该用的A={x|x2-x-2=0},B={x|-1WxW2}，C={x|x2+4=4x}解：⑴CUBUA(2)A={-1，2}，B={x|-1WxW2}，C={2}，所以CUAUB。【例5】已知集合A={1,2},B={4,k2},且AABH©，求实数k的值。解：丁AABH©，4纟A,.°.k2=1或k?=2。k=土1或k=± 。【例6】已知平面上的点集A={(x，y)|y=2x+1}， B={(x，y)|y=2x-1}，求AAB和AUB,并说明它们的几何意义。y=2x+1解:AAB={(x,y)|< }因直线l:y=2x+1和直线l:y=2x-1互相平行，y二2x-1 1 2Jl和l没有公共点，所以aab=©。12AUB={(x,y)|y=2x+1，或y=2x-1}，它的几何意义是两条平行直线。『超级学习笔记』【例7】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-4x+r=0}