集合复数逻辑用语

一•知识归纳：1集合的有关概念。1） 集合（集）：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）•其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。集合中的元素具有确定性（a?A和a?A,二者必居其一）、互异性（若a?A,b?A,则a农b）和无序性（｛a,b｝与｛b,a｝表示同一个集合）。集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2） 集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3） 集合的分类：有限集，无限集，空集。4） 常用数集：N,乙Q,R,N*•子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。1） 子集：若对xeA都有xeB，则AB（或AB）；2） 真子集：AB且存在x0eB但x0A；记为AB（或，3）交集：AnB={x|xeA且xeB}4） 并集：AUB={x|x£A或xwB}5） 补集：CUA={x|xA但xeU}注意：①？A,若A老？，则？A；若,，则；若且，则A=B（等集）•弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、？的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。•有关子集的几个等价关系®AAB=AAB；②AUB=BAB；③ABCuACuB；ACCuB=空集CuAB；⑤CuAUB=IAB。•交、并集运算的性质ACA=A,AH?=?,AAB=BCA；②AUA=A,AU?=A,AUB=BUA；③Cu（AUB）=CuAHCuB,Cu（AHB）=CuAUCuB；6•有限子集的个数：设集合A的元素个数是n则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。二•例题讲解：【例1】已知集合M={x|x=m+,mwZ},N={x|x=,neZ},P={x|x=,peZ}，则M,N,P满足关系A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM分析一：从判断元素的共性与区别入手。解答一：对于集合M：{x|x=,meZ}；对于集合N：{x|x=,neZ}对于集合P：{x|x=,peZ},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P,故选B。分析二：简单列举集合中的元素。解答二：M={…，，・・・},N={…，，，，・・・},P={…，，，・・・},这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。=eN,eN,・MN,又=M,・MN,=P,・・・NP又eN,・・・PN,故P=N,所以选B。点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。变式：设集合,，则(B)A.M=NB・MNC・NMD・解：当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B【例2】定义集合A*B={x|x^A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为A)1B)2C)3D)4分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2,•…an}有子集2n个来求解。解答：・・・A*B={x|xwA且xB},・・・A*B={1,7},有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。变式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5},且若aeM，则6?aEM,那么集合M的个数为A)5个B)6个C)7个D)8个变式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.解：由已知，集合中必须含有元素a,b.集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且ACB={1},AUB={?2,1,3},求实数p,q,r的值。解答：・・・AnB={1}・・・1GB・・・12?4划+r=0,r=3・AB={x|x2?4x+r=0}={1,3},VAUB={?2,1,3},?2B,A?2£AVAAB={1}A1cAA方程x2+px+q=0的两根为-2和1,••••••变式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且AnB={2},AUB=B，求实数b,c,m的值.解:VAnB={2}・・・1WB・・・22+m?2+6=0,m=-5AB={x|x2-5x+6=0}={2,3}VAUB=BA又VAAB={2}AA={2}Ab=-(2+2)=4,c=2x2=4Ab=-4,c=4,m=-5【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：AUB={x|x>-2},且AnB={x|1分析：先化简集合A,然后由AUB和AnB分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。解答：A={x|-21}。由AnB={x|1-2}可知[-1,1]B,而(-^,-2)nB=0o综合以上各式有B={x|-1<x<5}变式1:若A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b<0},已知AUB={x|x>-4},AnB=5求a,b°(答案：a=-2,b=0)点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=O}，若MCN=N,求所有满足条件的a的集合。解答：M={-1,3},・・・MnN=N,・・・NM①当时，ax-1=0无解，・・・a=0②综①②得：所求集合为{-1,0, }【例5】已知集合,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若PCQ老3,求实数a的取值范围。分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。解答：(1)若，在内有有解令当时，所以a>叫所以a的取值范围是变式：若关于x的方程有实根，求实数a的取值范围。解答:点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。相关阅读：高考数学常考知识点之集合复数考试内容：复数的概念．复数的加法和减法复数的乘法和除法数系的扩充．考试要求：1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．§15.复数知识要点1.⑴复数的单位为i，它的平方等于一1即|2一1.⑵复数及其相关概念：①复数一形如a+bi的数（其中a,beR）；实数一当b=0时的复数a+bi,即a；虚数一当b丰°时的复数a+bi；纯虚数一当a=0且b“时的复数a+bi,即bi.复数a+bi的实部与虚部_a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意a,b都是实数)复数集C_全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：a+bi=c+dioa=c且b=d(其中，a,b，c，d，eR)特别地a+bi=0oa=b=0*⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若zi,z2为复数，则1.若zi+z2A0，则Z1一z2.(X)[z,.z2为复数，而不是实数]2.若z2，则z,-z2Y0-(V)②若a,b,ceC，则(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0是a=b=c的必要不充分条件・(当(a-b)2=i2，(b-c)2=,,(c-a)2=0时，上式成立)⑴复平面内的两点间距离公式：d=臥叮.其中z「是复平面内的两点和^所对应的复数，d表示z严2间的距离.由上可得：复平面内以切为圆心，r为半径的圆的复数方程^lz-zJ=r(rA0)・⑵曲线方程的复数形式①z-z=r表示以z°为圆心，r为半径的圆的方程.

z一z」=Iz-^1表示线段仁的垂直平分线的方程.z-zJ+Iz-zJ=2a（a>0且2a>\z1z2）表示以Z「Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若加=乙叮，此方程表示线段z,Z2）・||z-zJ-Iz-z2|=2a（0Y2aY|z,z」），表示以Z「Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2a=k.l，此方程表示两条射线）・⑶绝对值不等式：设zz是不等于零的复数，则z1，z2|z1-|zJ|<|z1+z2I<|z]|+|z2卜左边取等号的条件是z2（仁R，且入Y0），右边取等号的条件是z2=Xz1（XGR，九A0）.||z]|-|z2||<Iz[-z2I<Iz]|+|z2卜左边取等号的条件是z2=Xz\（XGR，XA0），右边取等号的条件是z2=Xz1(XGR，XY0)注：A1注：A1A2+A2A3+A3A4+…+An-1An=A1An共轭复数的性质：z=zz1+z2=z1+z2z-z=1zI2=1zI2z・z=z・zz-z=1zI2=1zI2z・z=z・z1212z1-z2=z1-z2zn=(z)nz2注：两个共轭复数之差是纯虚数.（X）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4⑴①复数的乘方：n②对任何z②对任何z,,zeC及m,neN有12+③zm-zn=zm+n,(zm)n=zmn,(Z]・Z2)n=zt1^zr2注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i2=_1,i4=1若由i2=(/4)2=1二1就会得到_1=1的错误结论.②在实数集成立的|x|=x2・当x为虚数时，|xl工x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：i2=_1,i4n+1=i,i4n+2=_1,i4n+3=_i,i4n=1in+in+1+in+2+in+3=0,(neZ)(1土i)2=±2七=音=_i若3是1的立方虚数根，即3=_1+叵i，-12「2贝y33=1,®2=®,3==,1 2=0,®nn+1+®n+2=0(neZ)5.⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：zeRoz=z•②若z土0，z是纯虚数oz+；=0-⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：lzl=lzl•辐角主值：0适合于0W0<271的值，记作argz.注：①z为零时，吨z可取［0,27）内任意值.②辐角是多值的，都相差27的整数倍.③设则arg③设则arga=0,arg(-a)=7,argai=I，arg(-ai)=27⑵复数的代数形式与三角形式的互化：cos0=—,sin0=—.rra+bi=r(cos0+isin0)'r='•:acos0=—,sin0=—.rr⑶几类三角式的标准形式：r(cos3-isin0)=r[cos(-0)+isin(-0)]一r(cos0+isin0)=r[cos(7+0)+isin(7+0)]r(-cos0+isin0)=r[cos(7-0)+isin(7-0)]77r(sin0+icos0)=r[cos(-0)+isin(-0)]227.复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）时，应注意下述问题：当a,b,ceR时，若△>0，则有二不等实数根x=*^；若A=0,TOC\o"1-5"\h\z1,2 2a则有二相等实数根x=丄；若a<0,则有二相等复数根匕2 2ax=-b土而i（x为共轭复数）・1,2 2a 1,2当a,b,c不全为实数时，不能用A方程根的情况.不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立・8・复数的三角形式运算：ri(cos01+isin02)-r2(cos02+isin02)=rir2[cos(01+02)+isin(01+02)]心ei+i血e2)=d[cos(e_e)+isin(e-e)]r(cose+isine)r 1 2 1 22222棣莫弗定理：[r(cose+isine)]n=rn(cosnQ+isinnQ)常用逻辑用语目标认知考试大纲要求：理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.重点：充分条件与必要条件的判定难点：根据命题关系或充分（或必要）条件进行逻辑推理。知识要点梳理知识点一：命题定义：用一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1） 命题由题设和结论两部分构成.命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2） 命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“PF”的真假判定方式：若要判断命题”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：芒一定推出堺.若要判断命题“FT?”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“戸不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.逻辑联结词：用“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.3）复合命题的真假判断（利用真值表）：P非F戸或g戸且§真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。③“非p”与p的真假相反.注意：（1） 逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中山或^£”.（2） “或”、“且”联结的命题的否定形式：

“p或q”的否定是“「p且7”；“P且q”的否定是“「p或7”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设又否定结论。知识点二：四种命题四种命题的形式：*用P和q分别表示原命题的条件和结论，用「p和「q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若「p则「q；逆否命题：若「口则「p.四种命题的关系w①原命题o逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一②逆命题o否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。知识点三：充分条件与必要条件定义：用对于“若p则q”形式的命题：若p二q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p二q,但q卡p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；若既有p=q，又有q二p，记作poq，则p是q的充分必要条件（充要条件）.理解认知：用（1） 在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2） 充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“„反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.判断命题充要条件的三种方法皿（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用与^=>7；£=>山与T=>r£； 与诃07的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价⑶利用集合间的包含关系判断，比如A匚B可判断为A=B；A=B可判断为A=B,且BJ,即卩A」如图：A皋段"O ，且XE吕书忑已卫"OxeK是乳已£的充分不必要条件."貝=&"O"xeHOxeE”O忑E山是忑訂的充分必要条件.知识点四：全称量词与存在量词全称量词与存在量词F全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“厂表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个X,有p(x)成立”可表示为 ，其中M为给定的集合，p(x)是关于X的命题.(II)存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有点”，“有些”等，通常用符号“日”表示，读作“存在”。含有存在量词的命题，叫做特称命题特称命题“存在M中的一个X，使p(x)成立”可表示为“玄厲⑴”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.对含有一个量词的命题进行否定用对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p：办已迹戸⑴，他的否定「戸：玉已曲卡㈤全称命题的否定是特称命题。对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p： 厲⑴，他的否定¥： 特称命题的否定是全称命题。注意：（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。（2）一些常见的词的否定：止面词等于大于小于是都是一定是至少一个至多一个否定词不等于不大于不小于不是不都是一定不是一个也没有至少两个规律方法指导1.解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真假性一致.2.要注意区分命题的否定与否命题.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二者相互对照可加深认识和理解.处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，必须证明充分性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件.特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。总结升华：判断复合命题的真假的步骤：①确定复合命题的构成形式；判断其中简单命题p和q的真假；根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.条件“7或“0”是“或”的关系，否定时要注意.类型二：四种命题及其关系02.写出命题“已知"