集合基本知识

重点：1理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法了解“属于”关系的意义了解有限集、无限集、空集的意义掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的问题.5用列举法、描述法表示一个集合.理解集合之间包含与相等的含义,子集、真子集的概念和性质集合相等的概念和性质，能识别给定集合的子集.理解两个集合的交集的含义，会求两个集合的交集理解两个集合的并集的含义，会求两个集合的并集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集一有关概念:1、集合的概念对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、„„2、 元素与集合的关系属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a^A不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作a纟A要注意“丘”的方向，不能把aWA颠倒过来写.3、 集合中元素的特性确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.互异性：集合中的元素一定是不同的.无序性：集合中的元素没有固定的顺序.任意性：集合中的元素可以是任意的，包括数字，点，各种物体，甚至是其他的集合.4、 集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：把不含任何元素的集合叫做空集①含有有限个元素的集合叫做有限集含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分①，｛①｝，｛0｝，0等符号的含义5、 常用数集及其表示方法非负整数集(自然数集)：全体非负整数的集合•记作N正整数集：非负整数集内排除0的集•记作N*或N+整数集：全体整数的集合.记作Z有理数集：全体有理数的集合.记作Q实数集：全体实数的集合.记作R注：(1)自然数集包括数0.(2)非负整数集内排除0的集•记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*二集合的表示方法1、 大写的字母表示集合2、 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如，24所有正约数构成的集合可以表示为｛1，2，3，4，6，8，12，24｝注：(1)大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：｛1，2，3，„，100｝自然数集N：｛1，2，3，4，„,n,„｝区分a与｛a｝：｛a｝表示一个集合，该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.3、 特征性质描述法：在集合I中，属于集合A的任意元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以表示如下：｛xW/lp(x)｝例如，不等式X2-3x>2的解集可以表示为：｛xeRlx2-3x>2｝或｛xlx2-3x>2｝，所有直角三角形的集合可以表示为：｛x1x是直角三角形｝注：(1)在不致混淆的情况下，也可以写成：｛直角三角形｝；｛大于104的实数｝(2)注意区别：实数集，｛实数集｝.总的说来，集合的特征表示按照以下格式来书写｛集合中说要描述的元素亥元素所具备的特征｝4、 文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.三子集、真子集的概念如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A匸B或BnA.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q,或Q不包含P.记作P0Q若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.AuB或B二A.子集具有传递性：若A匸B，B匸C，则A匸C空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.如果一个非空集合有n个元素，那么这个集合有2n个子集，其中：一个是空集，一个是他本身，剩下2n—2个非空真子集四集合相等1、 若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.2、 A匸B,B匸AoA=B五交集的概念一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集.记作AHB(读作"A交B"),即AHB=｛x|xWA，且xWB｝.如：{l,2,3,6}n{1,2,5,10}={1,2}.又如：A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.则AnB={c,d,e}交集的基本性质AnB=Bna；ana=a； Ane=e；AnB=Aoa匚b六并集的概念一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合，叫做A,B的并集.记作AUB(读作”A并B”)，即AUB={x|xWA，或xWB}.如:{1,2,3,6}U{1,2,5,10}={1,2,3,5,6,10}.又如：A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.则AUB={a,b,c,d,e,f}并集的基本性质AUB=BUA;AUA=A;AU0=A;AnB=BOAUB七补集与全集的概念一、 全集：在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.二、 若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作CA，基本性质AnCA二①，AoCA二U，C(CA)二AU U UUC(AoB)二CAnCB，C(AnB)二CAoCBU U U U U U八集合中元素个数的计算crad(A)表示集合A的元素个数。如,crad(空集)=0,若crad(A)=n，则A的子集有2An个。n^N。等等。集合元素个数的计数公式crad(AUB)=crad(A)+crad(B)-crad(AnB)两个集合并集的元素个数，等于每个集合的元素个数相加，再减去它们交集的元素个数(因为被加了两次)。同理crad(AUBUC)