新教材 人教B版高中数学选择性必修第三册全册各章节知识点考点重点难点提炼汇总

第五章数列

5.1数列基础

5.1.1数列的概念

1.数列的概念及一般形式

2.数列的分类

类别含义

按项的个有穷数列项数有限的数列

数无穷数列项数无限的数列

递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列

按项的变

递减数列从第2项起，每一项都小王它的前一项的数列

化趋势

常数列各项都相等的数列

3.数列的通项公式

一般地,如果数列的第〃项an与2之间的关系可以用-=/(〃)来表示,其中八〃)

是关于〃的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式.

4.数列与函数的关系

从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表:

定义域正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…，〃})

解析式数列的通项公式

值域由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成

表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法;(3)图像法

拓展：(1)解读数列的通项公式

①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N+或它的有限子集[1,2,3,…，

〃｝为定义域的函数解析式.

②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公

式.

③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的.

（2）摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项

的数列.

心型1数列的概念及分类

【例1】已知下列数列：

①2015,2016,2017,2018,2019,2020；

111

②1，492'厂”…；

③L一十午…，2〃一1'…；

72兀

④1,0,—1,…，sin’…；

⑤2,4,8,16,32,…；

⑥一1,-1,-1,-1.

其中，有穷数列是,无穷数列是,递增数列是，

递减数列是，常数列是，摆动数列是.（填序号）

①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[①为有穷数列且为递增数列；②为

无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期

为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列.]

厂.......规律C方法......--

I.与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：

①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有

确定性；

②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现（即互异性）;

③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺

序有关，而集合中的元素没有顺序（即无序性）;

④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.

2.判断数列是哪一种类型时要紧扣概念及数列的特点.判断是递增、递减、

摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；判断是有穷还是无穷数列则要看项的

个数有限还是无限.

”型「由数列的前几项求通项公式

___________________________________________I

【例2］(教材P5例2改编)写出下列数列的一个通项公式：

⑴g,2,1,8,…；

(2)9,99,999,9999,…；

22—132—242—352—4

13，5，7，…；

111

(4)-TX2,2X3’-3X4,4X5’

先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，

项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式.

［解］⑴数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：

X,竽，与，…,所以，它的一个通项公式为以=策〃©N+).

(2)各项加1后，变为10,100,1000,10000,…此数列的通项公式为10”,可得

原数列的通项公式为。"=10"-1(〃GN+).

(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2/7-1表示；

分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(〃+1)2表示，分子的后一部分

是减去一个从1开始的自然数，可用〃表示，综上，原数列的通项公式为a,,=

(〃+I)2一〃

(〃CN+).

2〃一1

(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项

为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是以=(一1)，盛如/(〃6N+).

厂........规律c方法■•..........................

1.根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方

面的特征：

①分式中分子、分母的特征;

②相邻项的变化特征；

③拆项后的特征；

④各项符号特征.并对此进行归纳、联想.

2.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与序号之间

的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使

问题得到解决，对于正负符号变化，可用(一1)"或来调整.

''类型”数列通项公式的应用

I_________________________________

［探究问题］

1.已知数列｛劣｝的通项公式为如=-/+2〃+1,该数列的图像有何特点？试

利用图像说明该数列的单调性及所有的正数项.

［提示］由数列与函数的关系可知，数列｛〃“｝的图像是分布在二次函数>=一

x2+2x+l图像上的离散的点，如图所示，从图像上可以看出该数列是一个递减数

列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项.

2.若数列｛z｝满足a〃+i—a〃>0,都成立，则该数列｛如｝是递增数列吗？

［提示］是.因为4"〉0,故所以数列｛m｝是递增数列.

【例3】已知函数,*x)=x—±数列①"｝满足式斯)=-2〃，且z>0.

(1)求数列｛而｝的通项公式；

(2)判断数列｛板｝的增减性.

［思路点拨］先根据已知条件解方程求a,t,再利用作差法或作商法判断数列

｛。〃｝的增减性.

［解］(l)；Ax)=x—：,.*Z)=—2〃，

a——=-2〃，即an+2nan—1=0,

nCln

2

解得an——n±\jn+1,

=

an>0,・\any］rr+l—n.

(2)法一：(作差法)

・「Z+l—Cln=q(〃+1下+1—(〃+1)—Zn2+1—n)

=^/(n+1)2+1-yjn2+1-1

[，(〃+1)2+1+1]N(九+1>+1+d几2+]]

y(〃+1>+1+.-+1i

_______(〃+1)+几_____

.(〃+；>+1+q序+1i’

又.(〃+1)2+1>n+1,y/n2+1>n,

._____(〃+1)+〃_____

。・1(〃+；)2+l+，川+]1

a?+1—an<0,即an+\<an.数列｛〃〃｝是递减数列.

法二：(作商法)

...。〃+1:(〃+1)2+1—(〃+1)

.•…’京=尸T-〃

+1+〃

—叱〃+1)2+1+(〃+1)(1，

二an+\<an.：.数列｛a”｝是递减数列.

r........规律c方法.............................

i.由通项公式写出数列的指定项，主要是对“进行取值，然后代入通项公式，

相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值.

2.判断一个数是不是该数列中的项，其方法是由通项公式构造方程，求方程

的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项.

3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N+(或它的有

限子集(1,2,3,…，〃｝)这一约束条件.

口必备素养Q

1.｛&"｝与是含义不同的两种表示，｛“"｝表示数列。1，。2,…，On,…，是

数列的一种简记形式.而a”只表示数列｛z｝的第〃项，a〃与｛以｝是“个体”与“整

体”的从属关系.

2.要注意以下两个易错点：

(1)并非所有的数列都有通项公式，例如，兀的不同近似值，依据精确的程度可

形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…，它没有通项公式.

(2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.

3.由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之

间的联系.具体方法为：（1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等；（2）分析这

一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解

析式；（3）对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以（一1）"或（一1尸”处

理符号；（4）对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用

周期函数，如三角函数等.

5.1.2数列中的递推

1.数列的递推公式

如果已知数列的首项（或前几项）,且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以

用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）.

拓展：数列递推公式与通项公式的关系

递推公式通项公式

表示an与它的前一项。〃一1（或前几

区别表示出与〃之间的关系

项）之间的关系

（1）都是表示数列的一种方法；

联系

（2）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式

2.数列的前〃项和

（1）一般地,给定数列｛点｝,称。=。1+。2十。3H---Fa”为数列｛小｝的前n项和.

⑵S”与z的关系

$5=1),

4声型1由递推关系写出数列的项

【例11（1）已知数列｛“”｝满足关系a,­=l—a”+i（〃eN+）且。2019=2,则

4/2020=（）

(2)已知数列｛小｝满足ai=l,an+2—an=6,则ail的值为()

A.31B.32C.61D.62

(1)B(2)A[(1)由。"。"+1=1—斯+1,

得。“dr?'

又。2019=2,

.,.02020=1,故选B.

(2),.•数列满足a\=\,an+2—an=6,

.•.。3=6+1=7,。5=6+7=13,“7=6+13=19,“9=6+19=25,aii=6+25

=31,故选A.]

厂......规法......................

(由递推公式写出数列的项的方法

(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依

次代入计算即可.

(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式,

=

如Qn2cin+11.

(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式,

,an—1

如Q"+1=.

建型2已知S求通项公式an

【例2](教材P12例3改编)已知数列｛如｝的前〃项和为S“求｛劣｝的通项公

式：

(1)S”=2〃2—3〃；

(2)8=3"—2.

[思路点拨]应用ctn=Sn-S"1(〃22)求解，注意检验n=\时(1\是否满足

［解］⑴当〃=1时，。1=51=2—3=—1;

当〃22时，an—Sn—Sn-\

=2/­3〃一[2(〃-I)2一3(〃-1)]

=4"-5.(*)

当”=1时，ai满足(*)式，故“"=4〃-5.

(2)当〃=1时，ai=S=3—2=l.

当时，小=8—*-|=(3"—2)—(3"-1—2)=2・3"-1.(*)

当〃=1时，a\不满足(*)式，

1,〃=1,

故an='

23门，心2.

［母题探究］

(变条件)若把本例(1)中的S”换为a=2〃2—3"+1,再求｛m｝的通项公式.

［解］当〃=1时，ai=Si=2—3+1=0,

当“22时，a"=S"—Sn-i=4〃-5.(*)

显然n=l不满足(*)式,

f0,n=\,

故an=｝、

4n—5,〃与2.

厂......规律c方法.......--

(已知数列｛&“｝的前”项和公式S,求通项公式如的步骤：

(1)当〃=1时，ai=Si.

(2)当〃22时，根据S”写出Si,化简Z=SLSI.

(3)如果0也满足当“22时，斯=S"-的通项公式，那么数列｛。”｝的通项

公式为a”=S"—Si；,如果©不满足当〃22时，a“=S"—Si的通项公式，那么

(S,n=\,

数列｛如｝的通项公式要分段表示为柒=,,.

3-S“_1,n=2

数列的递推公式与通项公式的关

系

［探究问题］

1.在数列｛“〃｝中，m=3,——=2,照此递推关系，你能写出｛以｝任何相邻两

CLn

项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？

［提示1按照詈=2可得宾=2,翼=2,兴=2,…，六=2(心2),将这些式

tinCl1C12CisCln-1

子两边分别相乘可得空空空…・j-=2・2・…・2.

QI。2。3an-\

则詈=2〃-I所以z=3・2〃一］(〃£N+).

2.在数列｛。〃｝中，若0=3,。〃+1一如=2,照此递推关系试写出前〃项中，任

何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？

［提示］由m+1一如=2得G2—0=2,43—02=2,04—43=2,…，。“一。〃一1=

2(〃22,〃£N+),将这些式子两边分别相加得：。2—。1+。3—及+的一43+…

—an-i=2(n—1),即an~a\=2(n—1),所以有〃〃=2(〃-l)+ai=2〃+l(〃£N+).

【例3】设数列｛.”｝是首项为1的正项数列，且a”+i=V7"(〃eN+),求数

列的通项公式.

［思路点拨］由递推公式，分别令〃=1,2,3,得。2,。3,。4,由前4项观察规

律，可归纳出它的通项公式；或利用小+1=七所反复迭代；或将。“+1=士4"

变形为等=七进行累乘；或将跖,+1=一气③变形为"+'1,构造数列｛na„］

ann+1n+1nafJ

为常数列.

［解］法一：(归纳猜想法)因为以+1=竟?"，01=1,«2=1x1=1,<73=|x1

13V11

猜想a”=1.

ri

法二：(迭代法)因为所卜I=立下1〃,

〃一1n—1n—2n—1n—211

所以dn-—--Cln-1=--->TCln-2=…=~~~--Q］从而4〃=二

nnn—1nn—12n

rj

法三：(累乘法)因为I=〃+产,

防?+1n

所以

an〃+1'

。?一|a2n—1n—21

则

Cln-\Cln—2a\nn—12,

所以I

yi

法四：(转化法)因为a〃+1=扃7P7〃,

(〃+l)a〃+i

所以，

nan

故数列是常数列，nan=a\=\9所以

厂.........规律c方法.................................

由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为如+1=外+式〃)或z+i=g(〃)・m,

则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：

(1)累加法：当小=。〃_1+&2)时，常用an=(an—an-1)+(an-1—an-2)H-----卜(42

—a\)+a］求通项公式.

(2)累乘法：当H=g(〃)时，常用a〃=4.吐1.…/a求通项公式.

加I042/1-1On-2

口必备素养Q

1.因为服=5”一S-i只有当“22时才有意义，所以由S求通项公式。“=仙)

时，要分〃=1和〃22两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式

表示，若不能，则用分段函数的形式表示.

2.要注意通项公式和递推公式的区别

通项公式直接反映出和〃之间的关系，即a”是〃的函数，知道任意一个具体

的〃值，就可以求出该项的值z；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数

列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由〃直接得出an.

5.2等差数列

5.2.1等差数列

第1课时等差数列的定义

1.等差数列的概念

一般地，如果数列｛斯｝从第2_项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常

数d,即斯±j一如=-恒成立,则称｛。“｝为等差数列，其中d称为等差数列的公差.

拓展：等差数列定义的理解

(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”

强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻.

(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否

则这个数列不能称为等差数列.

2.等差数列的通项公式及其推广

若等差数列｛”,｝的首项为小，公差为d,则其通项公式为a“=0+(〃-l)d.该

式可推广为(其中〃，加WN+).

3.等差数列的单调性

等差数列｛&“｝中，若公差d>0,则数列为递增数列;若公差d<0,则数列

心流为递减数列.

然型1等差数列的概念

【例1】已知等差数列｛&〃｝的首项为内，公差为d,在数列｛加｝中，bn=3an

+4,试判断｛儿｝是不是等差数列.

［思路点拨］可以利用0和d写出瓦的通项公式，也可以直接利用定义判断

%+1一加是不是常数.

［解］法一：由题意可知ti"=ai+(〃-l)d(ai,d为常数),则氏=3a”+4=3［m

+(〃-1)0+4=3防+3(〃-l)d+4=3d〃+3ai—3d+4.

由于从是关于〃的一次函数(或常数函数，当4=0时)，

故/"｝是等差数列.

法二：根据题意，知b"+i=3a”+i+4,则hn+\—bn—3a«+1+4—(3。"+4)=3(。”

+i—tZ")=3t/(常数).

由等差数列的定义知，数列｛儿｝是等差数列.

厂........规律c方法.........--'

等差数列的判定方法有以下三种：

(1)定义法：a"+l—a"=d(常数)(〃eN+)台｛a"｝为等差数列；

(2)等差中项法：2a"7=a"+a"+2(〃eN+)台｛an｝为等差数歹!J；

(3)通项公式法：ail=an+h(a,8是常数，〃6N+)台①”｝为等差数歹I」.

但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.

鳍型2等差数列的通项公式

［探究问题］

1.若｛%｝是等差数列,试用a”,a”表示公差d,其中〃

,—,,0”一°川

[+H提闪d==

2.若数列｛z｝的通项公式=+"则该数列是等差数列吗？

［提示］是.因为小+1—。"=攵("+1)—k〃=k,故｛aa｝是等差数列.

【例2】(教材P19例5改编)⑴在等差数列｛m｝中,已知04=7,010=25,求

通项公式Z；

7

⑵已知数列仅“｝为等差数列，ai=~-

«3=1,甲

［思路点拨J设出基本量3，a利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差

数列的一般形式an=am-\-｛n—ni)d求解.

［解］(1)法一：•.•。4=7,aio=25,

<21+3d=7,ai=-2,

贝山,得

[ai+94=25,d=3.

.*.o!n=—2+(n—l)X3=3n—5,

通项公式a”=3〃-5(〃CN+).

:去—：,•*<Z4=7,aio=25,

♦•t710-<24=6d=18,

，d=3,

。”=。4+(〃-4)d=3〃-5(〃eN+).

5

«3=4,

(2)法一：由

7

“7=一不

,5

ai+2d=不

得‘

7

ai+6d=一不

113

解得。1=了，d=—不

.,.415=41+(15—1)1

=弓+14X3、31

不

法二：由07=43+(7—3)4,

75

即一行+4%

3

解得小=一加

.,.05=03+(15—3)d=/+12X3'31

T-

厂........规法.............................

1.应用等差数列的通项公式求G和d,运用了方程的思想.一般地，可由加

=Cl，Cln=b,

[a\+(m-l)d=a9

得,八」,求出0和d,从而确定通项公式.

31+(〃-1)。=。，

2.若已知等差数列中的任意两项。〃，求通项公式或其他项时，则运用。〃

=a,n+(n—in)d较为简捷.

「7必1备素养G

1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法有：

(1)以+1一如=4®为常数，〃£N+)S｛a〃｝是等差数列；

(l)an=kn+b｛k,。为常数，〃eN+)台｛a〃｝是等差数列.

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.

2.由等差数列的通项公式a”=ai+(〃-l)d可以看出，只要知道首项小和公

差"，就可以求出通项公式；反过来，在⑶、d、n、a〃四个量中，只要知道其中任

意三个量，就可以求出另一个量.

第2课时等差数列的性质

1.等差中项

如果x,A,y是等差数列，那么称A为x与v的等差中项,且4=中.

在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项.

思考1：在等差数列中，任意两项都有等差中项吗？

［提示］是.

2.等差数列的性质

但“｝是公差为d的等差数列，若正整数s,/,p,q满足s+t="+q,则z+的

Cig.

①特别地，当p+<7=2s(p,q,S6N+)时，aP+aq=2as.

②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的独，

即a\+Cln=412H-Un-1=***=或+Un-k+1=….

思考2：在等差数列｛a”｝中，2<?”=&"+1+斯-1(〃22)成立吗？2。"=。"+&+。"一

履“〉心>0)是否成立？

［提示］令s=r=〃，p=n+l,q=n—1,可知2&=。"+1+””-1成立；令s=/

=n,p=n+k,q=n~k,可知2a"=z+«+a"-后也成立.

拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数

列.

(2)若｛如｝是公差为d的等差数列，则

①｛c+&｝(c为任一常数)是公差为d的等差数列；

②｛ca“｝(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；

③｛如+z+He为常数，2《N+)是公差为2d的等差数列.

(3)若｛z｝,g"｝分别是公差为di,&2的等差数列,则数列｛pa”+q》"｝(p,q是

常数)是公差为〃4+伙/2的等差数列.

(4)｛斯｝的公差为d,则办00｛。”｝为递增数列；

d<O0｛a,｝为递减数列；d=00｛小｝为常数列.

4各型1等差中项及其应用

【例1】（1）在一1与7之间顺次插入三个数a2,c使这五个数成等差数列,

求此数列；

（2）已知数列｛.｝的首项加=3,通项x〃=2"p+〃q（〃GNi,p,q为常数），且幻,

X4,X5成等差数列.求P，（7的值.

［解］a,b,c,7成等差数列,

二。是一1与7的等差中项.

-1+7

•.〃=2=3.

又a是一1与3的等差中项,

.-1+3

.・a=2=1.

又c是3与7的等差中项,

3+7

c=^-=5.

.•.该数列为一1,1,3,5,7.

（2）由幻=3,得2p+q=3,①

5

又X4=24p+4g,X5—2p+5q,且XI+X5=2X4,

得3+25p+5q=25p+8q,即4=1,②

将②代人①，得p=l.

所以p=q—1.

厂........规律c方法.............................、

三个数a,b,c成等差数列的条件是。=等（或乃=a+c）,可用来解决等差

数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证｛a〃｝为等差数列，可证2a”+i=a“+

〃〃+2（〃WN+）.

1逮型”等差数列性质的应用

［例2］在公差为d的等差数列｛〃〃｝中.

（1）已知。2+。3+。23+。24=48,求413；

（2）已知。2+。3+〃4+。5=34,。2・。5=52,求d.

［思路点拨］解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出0和d后再解决其

他问题，也可以利用等差数列的性质来解决.

［解］法一：(1)化成⑨和d的方程如下：

(。1+d)+(oi+26/)+(ai+22t/)+(m+23团=48,

即4(0+124=48.

/.4ai3=48.

••。13=12.

(2)化成a\和d的方程如下：

(m+乃+(01+2t/)+(ai+30+(01+40=34,

<

、(m+办(〃i+4J)=52,

0=1,

解得＜

d=3,

・"=3或-3.

法二：(1)根据已知条件。2+。3+。23+。24=48,及。2+。24=。3+。23=2。13.

得46n3=48,6ti3=12.

(2)由。2+。3+。4+。5=34,及。3+04=02+05得

2(6(2+<75)=34,

即。2+。5=17.

C12'C15=52,。2=4,(72=13,

解V,得<或<

^2r=17,［。5=13,［。5=4.

a5~a213-4as—。24—13

:-d=^i=~r=3或『不=二-=一3.

厂......规律C方法.....................

1.利用等差数列的通项公式列关于m和d的方程组，求出0和d,进而解决

问题是处理等差数列问题的最基本方法.

2.巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程.

3.通项公式的变形形式a"=a"+(〃一/w)d(m,〃eN+),它又可变形为d=：；_；：

应注意把握，并学会应用.

逮型3等差数列的设法与求解

自呆究问题］

1.对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：

(1)设这三个数分别为a,b,c.

(2)设该数列的首项为a,公差为乩则这三个数分别为a,a+d,a+2d.

(3)设该数列的中间项为乩公差为d,则这三个数分别为人一4，b,b+d.

那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？

［提示］方法(3)可能更便捷一些.

2.如果四个数成等差数列，如何设更方便运算？

［提示］可以设四个数分别为a—3d,a-d,a+d,a+3d.

【例3】已知四个数成等差数列，它们的和为26,中间两项的积为40,求

这四个数.

［解］法一：设这四个数分别为a,h,c,d,根据题意，得

Cb—a=c—b—d—c,

{a+b+c+d=26,

［be=40,

"a=2,Ca=11,

b=5,b=8,

解得〈O或〈＜

c=8,c=5,

、d=11,、d=2,

.•.这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

法二：设此等差数列的首项为ai,公差为d,根据题意，得

(

*ai+(ai+m+(ai+2/)+(ai+3J)=26,

、(0+")(ai+24=40,

4ai+64=26,

化简，得

a?+3ait/+2^=40,

6fl=ll,

解得

d=-3.

・••这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

法三：设这四个数分别为。一3d,a-d9a+d,a+3d,根据题意，得

(a—3c/)+(a—</)+(a+t/)+(a+3J)=26,

.(a—J)(a+t/)=40,

.4a=26,

化简,

U2—1/2=40,

,3

d=±2-

.•.这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.

「.....••规律c方法.........--

1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为⑶，公差

为d,利用已知条件建立方程组求出小和d,即可确定数列.

2.当已知数列有2〃项时，可设为〃一(2〃-l)d,…，a—3d,a—d,a+d,a

+3d,…，a+(2n—1)J,此时公差为2d.

3.当已知数列有2〃+1项时，可设为a—Q—(〃—l)d,…，a~d,a,a

+d,…，a+(〃-l)d,a-\~nd,此时公差为d.

K必备素养n

1.若数列｛m｝满足2小=。"+〃+跖_履〃，4WN+,〃>b台｛斯｝为等差数列.

2.等差数列的性质：

(1)在等差数列｛&｝中，当m^n时，4=今需为公差公式，利用这个公式很

容易求出公差，还可变形为。"=.+(〃一〃及/.

(2)等差数列｛&“｝中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的

新数列仍然是等差数列.

(3)等差数列｛“”｝中，若加+〃=p+q,则。,"+以=%+的(〃，〃z,p,q£N+),

特别地，若机+〃=2p,则alll+atl=2aP.

3.等差数列｛柒｝中，首项0与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的

问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关的、1的关系列方程组求

解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.

5.2.2等差数列的前〃项和

1.等差数列的前〃项和公式

已知量首项、末项与项数首项、公差与项数

„_.n(n-l}

求和公式S"~2Sn7?6Zi12d

拓展：等差数列前〃项和公式的特点

⑴两个公式共涉及ai,d,n,期及S”五个基本量，它们分别表示等差数列的

首项，公差，项数，通项和前〃项和.

(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差

和项数时，用后一个公式较好.

2.等差数列前〃项和S,的性质

(1)等差数列｛廓｝中，其前“项和为S"，则｛&"｝中连续的“项和构成的数列S”,

Sln-Sn,S3n-S2n,S4n~S3n,…构成等差数列.

(2)数列｛&｝是等差数列OS“=a〃2+加(a,b为常数).

W型］等差数列S”中基本量的计算

【例1】在等差数列｛小｝中.

(1)已知§8=48,512=168,求0和d；

(2)已知。6=10,55=5,求08和S8；

(3)已知m6=3,求S31.

［解］(l)：S"=〃ai1M,

‘8©+284=48,

」2山+664=168,

解方程组得切=-8,d=4.

ai+5d=10,

(2)・。6=10,8=5,

5ai+10d=5,

解方程组得小=-5,d=3,

々8=46+23=10+2X3=16,

s-细抖=44.

(3)S3I=——X31=ai6X31=3X31=93.

1.....••规律(方法...........一~

ai,d,〃称为等差数列的三个基本量，a”和为都可以用这三个基本量来表示，

五个量s,d,n,a”，S中可知三求二，注意利用等差数列的性质以简化计算过

程，同时在具体求解过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.

空型”等差数列前〃项和的性质

【例2】⑴已知等差数列｛叫，S“，S2m,S3,”分别是其前加，前2机，前3加

项和，若SM=30,S2m~100>贝US3m~；

(2)已知等差数列｛诙｝中,若mou=L则S2021=；

(3)已知｛小｝,(仇｝均为等差数列，其前〃项和分别为S“，Tn,且弃=之善，

in〃十3

哈-----

(1)210(2)2021(3)j[(1)法一：设｛斯｝的公差为乩依据题设和前〃项和公

式有：

fm(m-T)

ma\-rrf=3(),①

,1)

2ma\+2d=100,②

②-①，得吧尸%=7。,

”,3m(3m—1)

所以S3m=3〃?ai+2d

,mCim-1)

=3--d=3X70=210.

法二：Sm、S2,LSm、S3加一S2m成等差数列,

所以30、70、S3〃L100成等差数列.

所以2X70=30+53〃1—100.所以53w=210.

法三：在等差数列｛a,｝中，因为S”=〃ai+]〃("-1)",

所吟=m+(〃-瑶.

即数列间构成首项为m,公差为匆等差数列.

依题中条件吟、舞养成等差数列，

S2mS3m

所以2

2m3mm

所以S3,〃=3(S2m—S〃)=3X(100—30)

=210.

(2)法一：Vaion=ai+1010^=1,

,2021X2020

.*.S2021=20216/1+2d

=2021(防+10106/)=2021.

、上+〃202ia\~\~ai021

法二：7621011=---2---，.,.52021=----2---X2021=2021ai011=2021.

•]+〃9-1+-9

⑶法会=工==2=区=空土2=上

Ms

2,b56+89bi+庆799+33-

22.9

.._..S2"+2”(2"+2)

'•Tn〃+3〃(〃+3),

2

.•.设S"=2/+2〃，Tlt=n+3n,.•.45=85—§4=20,。5=八一八=12,

.公205

厂......规fScH法........................

等差数列的前〃项和常用性质

(1)等差数列的依次攵项之和，Sk,S2k-Sk,S3k—S2k,…组成公差为Fd的等差

数列.

(2)数列｛m｝是等差数列OS.=a/+加(。，匕为常数数列[11为等差数列.

(3)若s寺表示奇数项的和，s强表示偶数项的和，公差为a

dn

①当项数为偶数2〃时，SLS产nd,

②当项数为奇数2〃一1时，S奇一S偈=。〃，

3偶n—\

（4）若信"｝,的｝均为等差数列，其前〃项和分别为S“，Tn,则件=黑二

Dn12n-\

心型3等差数列前〃项和的最值问题

［探究问题］

1.对于等差数列｛。〃｝而言，若m<0,办0,其前〃项和S,有最大还是最小值？

若ai>0,t/<0呢？

［提示］若0<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项（或0）,所以将这些项相

加即得｛5｝的最小值.若ai〉0,d<0,则数列的前面若干项为正数项（或0）,所以将

这些项相加即得｛$,｝的最大值.

2.当公差4W0时，S”是关于〃的二次函数，能否借助二次函数的性质求S”

的最值，为什么？

［提示］可以，但需注意自变量〃的取值范围.

［例3］在等差数列｛%｝中，4=25,Sn=S9,则数列的前多少项之和最大？

并求此最大值.

［思路点拨］可以多角度分析：借助函数图像，利用函数性质，还可以分析通

项等.

d

［解］法一：,.,S"=2〃2+〃(4<0),

.•.S”的图像是开口向下的抛物线上一群孤立的点，

VS17=S9,

9+17

二最高点的横坐标为一^二13,

即S13最大，由题意及等差数列的性质可得4=-2,可求得最大值为169.

法二：VSl7=59,

.,♦aio+aii+•••+417=0.

.,.aio+ai7=an+ai6="・=ai3+ai4=O.

V«i=25>0,

.*.67I3>O,«14<0.

・・・Si3最大，由题意及等差数列的性质可得4=-2,可求得最大值为169.

ci\=25,

法三：由得

.S17=S9,

17X169X8

17X254Z/=9X254

-2~2

解得d=-2.

,n(n—1)、,

从而S”=25〃+2，(-2)=一(〃-13>+169.

故前13项之和最大，最大值是169.

法四：同法三，可得4=-2.

(如=25—2(〃一1)20,

由<

6+1=25—2/W0,

得2住5W〃W苗27

二当〃=13时，S,有最大值，为169.

1......规律c方法......--

求等差数列前〃项和的最值问题的方法

(1)运用配方法，将8=治2+(%_')〃配方，转化为求二次函数的最值

问题，借助函数单调性来解决.

(2)通项公式法：

[a,i^O

①当s>0,d<0时，数列的正数项有限，前〃项和有最大值，由彳

3+1wo

可求出S”取得最大值时的〃值.

a,WO

②当m<0,办0时,数列｛斯｝的负数项有限,前几项和有最小值，由<

@+120

可得为取最小值时的〃值.

公若型4等差数列前〃项和公式的实际应用

[例4]某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，

指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的

参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从

各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗

车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？

［解］从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为0,42,…，

。25.由题意可知，此数列为等差数列，且0=24,公差d=-g.

25辆翻斗车完成的工作量为：。1+/+…+3=25X24+25X12x1—3=500,

而需要完成的工作量为24X20=480.V500>480,...在24小时内能构筑成第二道

防线.

厂........规律c方法...................

1.本题属于与等差数列前"项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差

数列.

2.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，

具体解决要注意以下两点：

(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.

(2)深入分析题意，确定是求通项公式小，求前〃项和S”还是求项数〃.

口必备素养Q

1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法.

2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及山，小，S,,,n,d五个量，通常已

知其中三个量，可求另外两个量.

在求等差数列的前〃项和时，一般地，若已知首项0