2022年湖南省衡阳市高考数学联考试卷（一）（一模）（附答案详解）

2022年湖南省衡阳市高考数学联考试卷（一）（一模）

一、单选题（本大题共16小题，共80.0分）

1.设全集U={xeN|-2<x<4},A=[0,2},则(：〃1为()

A.{1,3}B.[0,1,3}C.{-1,1,3)D.{-1,04,3}

2.复数z=3+i,则W(z+i)=()

A.10B.7+6iC.9+3iD.ll+3i

3.（a—x）（2+x）6的展开式中好的系数是12,则实数a的值为（）

A.4B.5C.6D.7

4.如图1,在高为九的直三棱柱容器4BC-4B1G中，AB=AC=2,4B_LAC.现往该

容器内灌进一些水，水深为2,然后固定容器底面的一边4B于地面上，再将容器倾

斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为4当。（如图2）,则容器的高无为（）

5.第24届冬奥会奥运村有智能餐厅4、人工餐厅B,运动员甲第一天随机地选择一餐

厅用餐，如果第一天去4餐厅，那么第二天去4餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐

厅，那么第二天去4餐厅的概率为0.8.运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）

A.0.75B.0.7C.0.56D.0.38

6.对于函数/'（x）=（sinx+cosx）2+V3cos2x,有下列结论：

①最小正周期为兀；

②最大值为3；

③减区间为成+kng+kn］（J<.GZ）；

④对称中心为（-，+kn,0）（k6Z）.

则上述结论正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知两条直线小2%—3y+2=0,l2：3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都

在变动)与5％都相交，并且小G被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,

则动圆圆心的轨迹方程为()

A.(y—I)2—x2=65B.x2—(y—l)2=65

22

C.y2一(％+i)2=65D.(%+l)-y=65

8.已知等比数列各项均为正数，且满足：0<QiV1,%7a18+1VQ”+018<2,

记〃=。1。2…。九，则使得〃>1的最小正数几为()

A.36B.35C.34D.33

9.集合{y|y=sinx]=()

A.RB.{x|-1<%<1]

C.{x|0<x<1}D.{x\x>0}

10.若曲线y=e"T+"二在点(1,1)处的切线与直线ax+y=0平行，则a=()

A.-1B.1C.-2D.2

11.已知sin工=在，贝kosx=()

43、，

A.7B.1C.1\D.\7

9339

12.2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭,

在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富

3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.火箭在发射时会产

生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：147m2)满足

d(x)=103嬴.若人交谈时的声强级约为50dB,且火箭发射时的声强与人交谈时

的声强的比值约为1。9,则火箭发射时的声强级约为()

A.130dBB.140dBC.150dBD.160dB

13.已知函数/(乃=2*一会+年芸，则()

A.f(l)+/(-l)<0B./(-2)+/(2)>0

C./(I)-/(-2)<0D./(-I)+/(2)>0

14.2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式

开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文

化，特制作出“立春”、“惊蛰"、"清明"、“立夏”、“芒种”、“小暑”六

张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板

相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？()

A.192B.240C.120D.288

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15.设抛物线C：y2=4x的焦点为F,点P为C上的任意点，若点A使得|4P|+|PF|的最

小值为4,则下列选项中，符合题意的点4可为（）

A.（4,2）B.（4,4）C.（3,3）D.（3,4）

16.在正方体4BC。—公当。［。］中，点P满足瓦F=x+y+z瓦百，且x+y+

z=1,若二面角a-PDi-C的大小为%0为4AC。1的中心，则sin4PDi。=（）

A.立B.渔C.迈D.更

6633

二、多选题（本大题共8小题，共40.0分）

17.某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立农业

科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年借阅数据如表:

年份20162017201820192020

年份代码支12345

年借阅量y（万册）4.95.15.55.75.8

根据上表，可得y关于x的经验回归方程为y=o.24x+a，下列结论正确的有（）

A.a=4.68

B.借阅量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的75%分位数为5.7

C.y与x的线性相关系数r>0

D.2021年的借阅量一定不少于6.12万册

18.设抛物线C：y2=8》的焦点为产，准线为，，点M为C上一动点，E（3,l）为定点，则

下列结论正确的有（）

A.准线I的方程是y=-2

B.以线段MF为直径的圆与y轴相切

C.|ME|+|MF|的最小值为5

D.尸|的最大值为2

19.下列结论正确的有（）

A,若"标>inb2,则2间>21bl

B.若震>号,则2a<2b

C.若b>a>e（其中e为自然对数的底数），则心<ba

D.若0<2a<b<3—a?,则s讥a<sin：

20.对圆周率兀的计算几乎贯穿了整个数学史.古希腊数学家阿基米德(公元前287-公

元前212)借助正96边形得到著名的近似值：予我国数学家祖冲之(430-501)得出

近似值箸，后来人们发现忱-篙|<IO：,这是一个“令人吃惊的好结果”.随着

科技的发展，计算〃的方法越来越多.已知兀=

3.141592653589793238462643383279502…，定义/(磔⑺GN)的值为乃的小数点

后第n个位置上的数字，如=f(4)=5,规定f(0)=3.记尸(n)=f(n),

产+i(n)=产ss))(keN*),集合4为函数产(7i)(n6N)的值域，则以下结论正

确的有()

A.Ai=｛0,12,3,4,5,6,7,8,9｝

B.&=｛123,4,5,6,9｝

C.对V/c€N*,1GAk

D.对VkeN*,4k中至少有两个元素

21.复数z=x+yi,x,yeR,xy0,则下列选项一定正确的是()

A.z+zERB.z—zERC.zz£RD.|

22.下列选项中，与“/>%”互为充要条件的是()

A.x>1B.2x2>2X

1

C.-<1D.|x(x-1)|=x(x-1)

23.已知双曲线C：捺一\=1(£1>0/>0)的左焦点为尸，过点F作C的一条渐近线的

平行线交C于点4交另一条渐近线于点艮若而=2而，则下列说法正确的是()

A.双曲线C的渐近线方程为y=±2x

B.双曲线C的离心率为我

C.点4到两渐近线的距离的乘积为9

D.。为坐标原点，则tan0OB=^

4

24.数列｛an｝满足，ax=a,2%+1-ana”+i=1,贝！］()

A.数列｛a"可能为常数列

B.当a=0时，数列｛六｝前10项之和为-55

C.当a=K时,a“的最小值为9

D.若数列｛an｝为递增数列，贝必<1

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三、填空题(本大题共8小题，共40.0分)

25.曲线y=热在点(一1,-2)处的切线方程为.

26.如图，在四面体ABCD中，ZMBD和△BCD都是等腰直

角三角形，AB=V2,^BAD=乙CBD=p平面48。1〃

平面CBC,则四面体ABCD外接球的表面积为./

27.已知双曲线马一l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi、尸2,过原点的直线L与

a2bz

双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为4B,4&4F2=60°,四边形力&BF2的

周长p与面积S满足p2=等s,则该双曲线的离心率为.

28.已知奇函数/(x)在区间(一8,0)上是增函数，且f(-2)=-1,/(1)=0,当x>0,

y>0时,都有f(xy)=/(x)+/(y)，则不等式log3，(x)+1|<0的解集为______•

29.已知五=(3,4),K=(2,%)，若EJL&则|方|=.

30.已知x>0,y>0,x4-i=4y-y2,则x+j.

31.已知点A(V5,1),点P在圆/+y2=i上，则直线4P倾斜角的最大值为.

32.已知函数“x)=sinx+H|cosx|，写出函数f(x)的一个单调递增区间;当

xe[0,a]时，函数/(%)的值域为[1,2],贝b的取值范围是.

四、解答题(本大题共12小题，共140.0分)

33.在^ABC中，内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,ZR♦1?=，bsinA=4(sinAcosC+

cosAsinC).

(1)求a的长度；

(2)求△ABC周长的最大值.

34.如图，圆柱的轴截面4BCD是正方形，点E在底面圆周上,

AF1DE,尸为垂足.

(I)求证：AFLDB.

(II)当直线。E与平面ABE所成角的正切值为2时，

①求二面角E-DC-8的余弦值；

②求点B到平面CDE的距离.

35.新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样

调查.在某地抽取n人，每人一份血样，共n(n€N*)份，为快速有效地检验出感染

过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：

方案甲：逐份检验，需要检验n次；

方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有卜(46/7*,卜22)份，分别

从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人

全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为

了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检

验，因此这化个人的总检验次数就为/c+1.

假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每

个人血样的检验结果是阳性的概率为p(0<p<1).

(I)若n=5,p=0.2,用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒

的概率；

(n)记§为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数.

①当k=5,p=0.2时，求E(f);

②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？

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（参考数据：0.84=0.41,0.85=0.33,0.86=0.26）

nn

36.已知数列｛即｝，｛%｝满足的瓦+即-速2+…+%垢=2-1-1,其中an=2.

(I)求瓦，厉的值及数列｛与｝的通项公式；

(n)令d=空泮，求数列｛0｝的前n项和.

Dn°n+1

37.如图，已知椭圆C：捺+\=1(。＞匕＞0)内切于矩形486,对角线4C,BD的斜

率之积为一过右焦点F(l,0)的弦交椭圆于M,N两点，直线N。交椭圆于另一点P.

(I)求椭圆的标准方程；

(口)若丽=；1前，且gw4W±求APMN面积的最大值.

38.已知函数/(%)=e"T—ax.

(I)讨论/(%)的单调性；

2

(口)若/"(X)-/29对于任意%>0恒成立，求实数a的取值范围.

39.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=夜，b=V5,c=1.

(1)求sinA,sinB,sinC中的最大值;

(2)求4c边上的中线长.

40.已知数列｛an｝的前n项和为%，的=3,Sn=l+an+1.

(1)证明：数列｛Sn-1｝为等比数列；

1

(2)记数歹式至｝的前n项和为Tn,证明：Tn<l.

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41.如图，正四面体ABC。，E为AB的中点.

(1)证明：平面ECDJ■平面4BC；

42.甲、乙运动员进行乒乓球友谊赛，每场比赛采用5局3胜制(即有一运动员先胜3局即

获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或3：1取

胜的运动员积3分，负者积。分，以3：2取胜的运动员积2分，负者积1分，已知甲、

乙两人比赛，甲每局获胜的概率为土

(1)甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分X的概率分布列和数学期望;

(2)甲、乙两人比赛2场后，求两人积分相等的概率.

43.已知椭圆E：5+，=1(£1>/7>0)的右焦点为尸、过尸的直线与椭圆后交于点4、8、

当直线AB的方程为y=x-当时，直线4B过椭圆的一个顶点.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知点M(四,0),若|M川=2|MB|,求直线AB的斜率.

44.已知函数f(x)=——kx-1.

(1)若k=l,求/Q)在(0,+8)上的单调性；

(2)试确定k的所有可能取值，使得存在t>0,对Vxe(0,t),恒有|/(x)|</.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•.•全集U={xeW|-2<x<4}={0,1,2,3},A={0,2},

CuA={1,3}.

故选:A.

利用补集定义能求出QA

本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

2.【答案】D

【解析】解："z=3+i,

•••z=3—i>

•••z(z+i)=(3-i)(3+t+i)=(3-i)(3+2i)=9+2+3i=11+3i.

故选：D.

根据已知条件，结合共规复数的定义，以及复数的乘法法则，即可求解.

本题主要考查共拆复数的定义，以及复数的乘法法则，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：•••(a-x)(2+%)6的展开式中道的系数是a•C"2—废X2?=12,

•••a=6,

故选：C.

由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得实数a的值.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：在图1中P水=3X2X2X2=4,

在图2中，卜水=VABC^A1B1C1-VC.A1B1C1=1x2x2x/i-ix|x2x2x/i=

4

■--h=4,h=3.

3

故选：A.

利用两个图形装水的体积相等即可求解.

本题主要考查等体积法的应用，空间想象能力的培养等知识，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：设4表示第i天甲去4餐厅用餐，(i=1,2),

设为表示该生第一天去B餐厅用餐，则0=&UBi，且为,当互斥，

由题意得P(a)=P(BJ=0.5,PQ421Al)=0.7，P(A2IB1)=0.8,

••・运动员甲第二天去4餐厅用餐的概率为：

P(A2)=PQ4i)P(42l&)+P(8i)P(A2|Bi)=0.5x0.7+0.5x0.8=0.75.

故选：A.

第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，利用全概率计算公式能求

出运动员甲第二天去4餐厅用餐的概率.

本题考查概率的求法，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6.【答案】C

［解析］解：/(%)=(sinx+cosx)2+V3cos2x=sin2x+cos2x+2sinxcosx+

y/3cos2x=1+sin2x+>/3cos2x=1+2sin(2x+g),T=*=兀，①正确；

当2x+W=：+2/c7r,1€2时/。)„1女=3,②正确；

令］+2/CTT<2%+^<|TT+2/CTT,k&Z,解得名+kn<x<^-+kn,k€Z,因此减

区间为哈+女兀,"eZ),③正确;

令2x+W=Ekez,解得x=—>mkEZ,此时f(x)=l,④错误.

故选：c.

将/'(x)=(sinx+cosx)2+V5cos2x化简后即可判断其周期，最大值，减区间和对称中

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心.

本题考查了三角函数的化简及相关性质，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：设动圆圆心P(x,y),半径为r,则P到，1的距离刈=与詈,P到%的距离

._|3x-2y+3|

因为3%被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,

:.2yjr2—dl=26,2J/一■—24，

2

化简后得户-dl=169,r-d22=144,

相减得退-我=25,将心=年詈，

d2=%等利代入后化简可得。+1产-y2=65.

故选：D.

利用点到直线距离公式与圆内弦长与半径关系即可求解.

本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由的7al8+1<的7+%8得：(<117-l)(a18-1)<0,

.<1或［的7>1

"ta18>l^ta18<r

van>0,0<<1,

•**0V。17V1V。18，

又•・•的7a18+1V2,Qi7a18<1，

2xaa17

・•・T33=(a1a33)T=(a17)T=Q衿<1»T34=(i34)=(%7al8)"<1，.5=

3535

(即。35”=(居8)、=噬"1，

则使得7；>1的最小正数几为35,

故选：B.

先由已知条件判断出。17,Q18,出7%8的范围，即可判断出使得〃>1的最小正数九的数

值.

本题主要考查了等比数列的性质，属于中档题.

9【答案】B

【解析】解:集合{y|y=sinx]={x|-1<x<1).

故选：B.

直接利用正弦函数的性质求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于基础题.

10.【答案】C

【解析】解：/(x)=ex-1+的导数为/''(%)=ex~x+：,

可得曲线在点(1,1)处的切线斜率为k=1+1=2,

由切线与直线ax+y=0平行，可得k=-a,

即—a=2,解得a=-2,

故选：C.

求得f(x)的导数，可得切线的斜率，运用有斜率的两直线平行的条件：斜率相等，解方

程可得a的值.

本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能

力，属于基础题.

11.【答案】A

【解析】解：因为sin^=在，

43

所以cos个=1-2sin2-=1—2x(―)2=

24v373

所以COSX=2cos2|-1=2X(|)2—1=—

故选:A.

由已知利用二倍角公式即可求解.

本题主要考查了二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题.

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12.【答案】B

【解析】解：设交谈时的声强为X,则50=10句康，

X=IO?

所以火箭发射时的声强为：10-7x109=1()2,

故火箭发射时声强级为：d(x)=10加马葭=140,

故选:B.

利用题中的公式，直接将数据代入即可解出.

本题考查了对数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题.

13.【答案】C

【解析】解：根据题意，函数/(%)=2、表+Ig芸，

由F>0,解得一3<x<3,即函数的定义域为(一3,3),

3-X

又“-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数，

在区间(—3,3)上，y=2'、丫=一会和'=电塞都是增函数，

则函数f(%)在(-3,3)上为增函数.

对于4,函数/(x)为定义域为(一3,3)的奇函数，则/⑴+f(-1)=0,A错误;

对于B,函数/(x)为定义域为(一3,3)的奇函数，贝行(-2)+/(2)=0,B错误;

对于C,/(1)-/(-2)=/(1)+/(2)>0,C错误;

对于。,/(一1)+/(2)=/(2)-/(1)>0,。正确.

故选：C.

根据题意，判断函数f(x)的奇偶性和单调性，由此判断各选项即可.

本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，函数的单调性，属于基础题.

14.【答案】A

【解析】解：根据题意不同的放置方式有福房-2&=240.

故选：A.

把立春和惊蛰捆绑计算六张知识展板的放置方法减去把立春、惊蛰、清明捆绑计算六张

知识展板放置方法可得答案.

本题考查排列组合应用，考查数学运算能力，属于基础题.

15.【答案】C

【解析】解：因为抛物线C：y2=4x,

所以F(1,O),准线方程为x=—L

过P作准线的垂线，垂足为Q,则有|PQ|=|PF|,

所以|4P|+|PF|=\AP\+\PQ\,

当4P,Q三点共线时，|4P|+|PQ|取最小值为|4(2|=/-(-1)=/+1=4,

所以g=3,

又因为4点必在抛物线内部才满足，(4在抛物线外部时，当4P,F三点共线时，\AP\+

|P可取最小值为NH，此时无选项.)

故选：C.

过P作准线的垂线,垂足为Q,则有|4P|+\PF\=\AP\+\PQ\,当4,P,Q三点共线时,

|4P|+|PQ|取最小值，求解最小值即可.

本题考查了抛物线的定义，也考查了转化思想，属于中档题.

16.【答案】D

【解析】解：设正方体48CD-&B1GD1中心为。1，

:点P满足^7=%罚+y时+且％+y+

Z=1,

pe平面AC%,

•••平面2CD1n平面&PD1=PD「由正方体性质得

当。_1_平面4皿，且&。n平面4coi=。，

作0Q1DiP于Q,连接OB〉则1BiQ,D】P10Q,

BiQn0Q=Q,

DrP.•.481(2。即为8:1-「。1一。的平面角，二481(2。=三,

设正方体棱长为1,Rt△BiOQ中,当。=|”2+#+12=苧,

第16页，共37页

在RtAOQDi中，0。1=枭&=彳，

・•・sinZ-PD1D——渔.

1ODj3

故选：D.

设正方体中心为01，先根据条件得PW平面AC。1，作。QI。4于Q,连接QB「推导出

。止1面。。当，从而48过0是二面角Bi-PDi-C的平面角，由此能求出sin”。。

本题考查空间角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】ABC

【解析】解：对于Ax=1x(1+24-3+4+5)=3,y=1X(4.9+5.1+5.5+5.7+

5.8)=5.4,

vy关于x的经验回归方程为;=0.24%+a，

[5.4=0.24X3+cr解得a=4.68，故A正确，

对于B,5X75%=3.75,

故借阅量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的75%分位数为5.7,故8正确，

对于C,rozq〉。，

y于x的线性相关系数r>0,故C正确，

对于D,线性回归方程为y=0,24x+4.68，当久=6时，y=6.12，

故2021年的借阅量约为6.12万册，故。错误.

故选：ABC.

对于4结合线性回归方程的性质，即可求解，对于B,结合75%分位数的定义，即可

求解，对于C,结合相关系数的定义，即可求解，对于D,将x=6代入对应的线性回归

方程，即可求解.

本题主要考查线性回归方程的性质，考查转化能力，属于基础题.

18.【答案】BC

【解析】解：抛物线C：y2=8x的焦点为

F(2,0),准线为2：x=-2,故A错误；

设MF的中点为N,可得|M用=

m+2=2•等，即N到y轴的距离是|MF|的

一半，

则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正

确；

设M在准线上的射影为H,由|ME|+|MF|=

\ME\+\MH\,

当E,M,H三点共线时，|ME|+\取得最小值，且为3+2=5,故C正确；

由|ME|-|MF|W|EF|,当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|,且为

7(3-2)2+(1-0)2=V2,故。错误.

故选：BC.

求得抛物线的准线方程可判断4由抛物线的定义和直线与圆相切的性质可判断B；由

抛物线的定义和三点共线取得最值的性质可判断C；由三点共线取得最值的性质可判断

D.

本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及三点共线取得最值的性质，考查方程思想和

运算能力、推理能力，属于中档题.

19.【答案】AD

【解析】解:由)小>阮&2可得02>匕2,即同>网，而y_2%是增函数，所以2间>2间

成立，故A正确；由瞿〉胃，可得高>点故网>同，所以2a<2&不成立，如a=l,

b=-2,故B错误；

43

当b=4,Q=3时，满足b>a>ef3=81>4=64,故心<6。不成立，故C错误；

由0<2a<b<3—可知0<2a<b<3,所以0<。<?<m<壬

而、=sinx在％e(0,彳)上单调递增，所以s讥a<sin故。正确.

故选：AD.

根据对数函数、指数函数的单调性及不等式性质判断4由特殊值判断B；,根据正弦

函数在(0弓)上的单调性判断D.

第18页，共37页

本题考查了对数函数、指数函数的性质及不等式性质，属于基础题.

20.【答案】AC

【解析】解：对于4由题意，集合人为函数尸5)56N)的值域，所以集合为为函数

产(n)的值域,

所以由产(n)=/(n)可得：/1(1)=/(1)=1,尸(6)=/(6)=2,产(9)=/(9)=3,

产(2)=/(2)=4,产(4)=/(4)=5,尸(7)=f(7)=6,产(13)=/(13)=7,尸(11)=

/(II)=8,产(5)=/(5)=9,产(32)=/(32)=0,故A[={0,1,234,5,6,7,8,9},故

A正确；

对于&由题意，集合心为函数产⑺(neN)的值域，所以集合/为函数产⑺的值域，

规定/(0)=3,记产(n)=/(n),/k+1(n)=产(f(n))(k6N*),

所以/3(n)=/2(/(n)),

令/(n)=m,Tn€{0,1,234,5,6,7,8,9},则/3(n)=/?(7n)=尸(/(机))，

因为f(0)=3,f(1)=l,/(2)=4,f(3)=l,/(4)=5,f(5)=9,f(6)=2,f(7)=6,

/(8)=5,/(9)=3,

所以产(0)=r(/(0))=f(3)=1)72(1)=f】(f⑴)=/(l)=1.

产(2)=尸(/(2))=f(4)=5,f2(3)=户(f(3))=/(l)=1,

产(4)=尸。(4))=f(5)=9,/⑸=尸(65))=/(9)=3,

尸(6)=尸口⑹)=f(2)=4,严(7)=尸口⑺)=/(6)=2,

产(8)=尸(f(8))=/(5)=9,严(9)=尸(f(9))=f(3)=1,

所以产(n)的值域为口,2,3,4,5,9},故8错误；

对于C：因为=所以户+1(1)=产(八1))=...=尸(y(i))=/(i)=i,

所以对VkeN*,16Ak,故C正确；

对于。：由C的推导可知：尸+1(1)=严。。))=...=产丁(1))=/(1)=1,

因为尸5)=f(n),fk+1(n)=/k(/(n))(fceN*)，

所以尸o(n)=/9(/(n)),

令〃n)=m,me{0,1,2,3,4,5,678,9},则产。(n)=f9(m)=/8(/(m)),

因为f(0)=3,f(1)=l,/(2)=4,f(3)=l,/(4)=5,f(5)=9,f(6)=2,f(7)=6,

/(8)=5,f(9)=3,

所以尸(0)=/8(/(0))=♦8(3)=〃(/(3))=产⑴=i,

r(2)=f8(/(2))=巴4)=产Q(4))=产(5)=/6(/(5))=尸(9)=/5(/(9))=

产⑶=尸(/(3))="⑴=尸⑶=小⑶)=/8⑴=1,

尸(4)=/8(/(4))=/8(5)=尸。(5))=尸⑼="(/(9))=产⑶=⑶)=

尸⑴=1，

f%5)=严(/(5))=U。)=产(/(9))=尸⑶="丁(3))=/⑴=-，

r(6)=/8(/(6))=U(2)=产(/(2))=尸⑷=f6(f(4))=f6(5)=f5(f(5))=

户(9)=产(f(9))=尸(3)=f9(7)=f8a(7))=尸(6)=f7(/(6))=/7(2)=

尸。⑵)="(4)=f5(f(4))=尸(5)=尸。⑸)=尸(9)=-9(8)=/8。勒=

f8(5)=『(/⑸)=尸(9)="(〃9))=严(3)=尸(-3))=r(1)=1,/丁9)=

/8(7(9))=/8(3)=/7(/(3))=/7(1)=1,

即k=10时，尸。(n)的值域为{1},故。错误.

故选：AC.

对于4根据定义，直接求出4={0,1,2,3,45678,9},即可判断；

对于B：根据定义，直接求出/^(n)的值域为口,2,3,4,5,9},即可判断；

对于C：求出产+i(l)=尸(/(1))=…=产(/(1))=/(1)=1,即可判断；

对于D：求出k=10时，"(n)的值域为{1},即可否定结论.

本题考查了合情推理，属于难题.

21.【答案】AC

【解析】解：复数z=x+yi,x,y€R,xy0,即％,y*0.

z+z=x+yi+x—yi=2xER>z—z=x+yi—(x—yi)=2yigR,

zz=(x+yi)(x—yi)=x2+y2G7?>

Z_x+yi(x+yi)2_，-y2+2秒j0R

zx-yi(x-yi)(x+yi)x2+y2x2+y2

故选：AC.

利用复数的运算法则、共规复数的运算性质及其有关知识即可判断出正误.

本题考查了复数的运算法则、共貌复数的运算性质及其有关知识，考查了推理能力与计

算能力，属于基础题.

22.【答案】BC

第20页，共37页

【解析】解：•・,/>%,

:.x<0或%>1,

v2*>2*,解得/>%,即x<0或%>1,

X-<1,X--1<0,—X<0,解得x<0或x>l,

由|x(x-1)1=x(x-1)可得-1)>0,解得％<0或x>1,

•••根据充要条件的定义可判断得出：BC选项符合，

故选：BC.

求解不等式得出相应的解集，利用充要条件的定义判断即可.

本题考查了充要条件的定义，关键转化为集合的关系判断即可，求解不等式，属于基础

题.

23.【答案】BCD

【解析】解：设直线F4的方程为y=3。+c)，与渐近线y=-《X联立可得8(三,弓)，

因为方=2屈，贝必(1拳勺，

将4的坐标代入双曲线的方程：鸟—昌=1,

9a29a2

可得c2=3a2,可得离心率e=(=8，所以B正确；

所以渐近线的方程为：丫=±2%=±立三％=±夜垢所以4不正确；

4到两条渐近线的距离did?=叫北猊::苗咏=警=寰=?,所以C正确；

AB==

k0A=_J=一^^a‘，所以.kAB=-1,

Zun“

所以。|。*=杵+c，1佃=«甘+|02+琮一勺2=,

故tan乙4。8=照=£所以。正确；

\OA\4

故选：BCD.

由题意设直线凡4的方程，与另一条渐近线联立求出B的坐标，再由题意可得4的坐标，

将4的坐标代入双曲线的方程，可得a,b的关系，进而求出渐近线的方程，判断4不正

确；求出离心率，可判断8正确；求出点4到两条渐近线的距离的乘积可判断C正确;

再求出直线044B的斜率，可得直线。4AB垂直，并求出|。川，|AB|的值，进而求出

4AOB的正切值，判断。正确，选出正确的结论.

本题考查双曲线的性质的应用及点到线的距离公式的应用，属于中档题.

24.【答案】ABD

【解析】解：即=a,2azi+]-。九。九+1=1,

l—2+an_an_1

Jttn+1l-1=-----1=------=----,f

2-an2-an2-an

对于选项A：当a=l时，有2a2-。2=1，@2=1，

二。3=/=1，&4=±=1,类比得数列｛斯｝为常数列，故选项人正确,

对于选项以当a=°时,有一=言=去

二数列｛六｝是以±=T为首项，-1为公差的等差数列，

Qn-1

二数列｛乙｝前10项之和为ioX(-1)+竽x(-1)=-55,故选项B正确，

an~~1N

对于选项C：当。="时，数列｛七｝是以六=日为首项，-1为公差的等差数列,

・•・当n=7时，0有最小值，。7=-77+1=-L故选项C错误,

n13—14

对于选项。：若数列｛。工为递增数列，则由4可知a41，

由B可知数列｛二1三｝是以1夫=1*为首项，-1为公差的等差数列,

•.•｛%｝为递增数列，•••三<1，

•••a<1,故选项£)正确，

故选：ABD.

当a=l时可得。2=1，。3=1,类比得数列｛斯｝为常数列，可判断4,利用构造法可得

数列｛±｝是以七为首项，一1为公差的等差数列，再利用等差数列的前n项和公式和

0n—1U1-1

通项公式可判断B,C,D.

本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的定义和通项公式，以及前n项和公式，

第22页，共37页

属于中档题.

25.【答案】5%-y+3=0

【解析】解：y=£*，可得、'=五餐，

XA।3人丁。，

所以ylx-i=5，

所以曲线y=会在点(一1,一2)处的切线方程为：y+2=5(x+1),

即5x-y+3=0.

故答案为：5x-y+3=0.

求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程.

本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题.

26.【答案】8TT

【解析】解：根据题意设外接球的球心为。，

如图所示：

由于，△48。和4BCD都是等腰直角三角形，AB=a,乙BAD=kCBD=p平面4BD1

平面CBD,

所以，根据直角三角形中的关系，

确定外接球的球心为0，

故三棱锥的外接球的半径为R,

所以BD=BC=2,

故R=R=gV22+22=V2,

所以S球=4-7T-(V2)2=87r.

故答案为：8兀.

首先根据三棱锥体确定球的球心位置，进一步求出球的半径，最后求出球的表面积.

本题考查的知识要点：三棱锥和外接球的关系，球的半径的求法，球的表面积公式，主

要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

27.【答案展

【解析】解：如图,

由题知，\AF1\-\AF2\=2a,四边形4F/a的是平行四边形，\^\+\AF2\=^,

联立解得，\AF1\=a+l，\AF2\=l-a,

v0伤=60。，.••四边形班利的面积S=圣班||4尸2|=曰((一a?),

...p2=萼5,；.p2=T^q《_a2),即p2=64a2,

由|F#2『=M0|2+|4尸2『一M&IMF2I=(M&I-|咽1)2+m\AF2\,

可得4c2=4a2+--a2=3a2+4a2=7a2,

16

哈:，得e=3・

故答案为：立.

2

由题知，\AF.\-\AF2\=2a,再由四边形4&8七的周长为P，可得4&1+|4尸2|=今求

出|明|=。+(,|4F2|=.a,结合面积公式以及已知条件求出7a2=”,然后求解

双曲线的离心率.

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

第24页，共37页

28.【答案】(一4,一2)U(-2,-l)U&l)uC《)

【解析】解：不等式Iog3，(x)+11<o等价为o<yL

lf")+i|<i，T

即0</(%)+1<1或一1</(x)+1<0,

即一1</(X)<0或一2</(x)<—1,,।।二

-3-2/4O~7123-x

•・•/(%)是奇函数，且且/(-2)=-1,/(I)=0,一74

•••/(2)=1,——-2-/---------------------

•・•当%>0,y>0W/(xy)=/(x)+f(y),

・,・函数/(乃为对数函数模型，

即当工>。时,设/(%)=logax,

•・•奇函数/(%)在区间(-8,0)上是增函数,

二函数/(%)在区间(0,+8)上是增函数，

则Q>1,

v/(2)=l,.-./(2)=loga2=l,则a=2,

即当％>0时,f(x)=log2x,

若％VO,则一%>0,贝行(一%)=log式-%)=—/(%)，

即/(%)=-1%(一%)，%V0，

则函数/(x)的图象如图：

若x>0,由-1V/(%)<0或一2V/(%)<一1得一1<log2x<。或一2<log2x<-1,

B|j1<x<1或;<%<|,

若x<0,由一1<<(%)<0或一2</(x)<一1得一1<-log2(-x)<0或一2<

-log2(-x)<-1,

即0Vlog2(-x)<1或1Vlog2(-x)<2,

即1V—%<2或2V-x<4,

即一2<xV—1或一4<xV—2,

综上不等式的解集为(-4,-2)U(-2,-l)U&1)U

故答案为：(一4,-2)U(-2,-1)U(i,1)U(；［).

根据对数函数的单调性将不等式进行转化，根据函数奇偶性和单调性的关系以及抽象函

数关系，利用特殊值法进行求解即可.

本题主要考查不等式的求解，根据抽象函数关系转化为对数函数模型是解决本题的关

键.根据函数奇偶性和单调性的关系结合数形结合进行求解是解决本题的突破点.

29.【答案】|

【解析】解：根据题意，五=(3,4),3=(2j),

若五1则五•另=6+4%=0,解可得％=-|,

则3=(2,-)则|行|=+

故答案为：

根据题意，由数量积的坐标计算公式求出x的值，即可得了的坐标，进而计算可得答案.

本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题.

30.【答案】3

【解析】解：%>0,•,•%+：N2〃=4,当且仅当％=2时等号成立，.,.%+：N4,

y>0,.%4y-y2=-(y-2)2+4<4,此时y=2,

・,・%+£=4y—y2=4,x=y=2,

.2Q

­•x+-=3,

y

故答案为：3.

利用基本不等式求最值得到x+^>4,利用二次函数求最值得到4y-y2<4,即可得

到答案.

本题考查了基本不等式在求最值中的应用，二次函数求最值，属于中档题.

31.【答案】g

【解析】解：设直线4P的斜率为k,倾斜角为a,

方程为：y—1=k(x—V3)=>fcx—y+1—V3k=0，

当直线4P是圆/+*=i的切线时，

有譬^=1今k=0或k=所以有0</c<V3,

第26页，共37页

即0Wtana<V3=>0<a<p

直线4P倾斜角的最大值会

故答案为:小

根据圆的切线性质进行求解即可.

本题主要考查圆的几何性质，圆中的最值与范围问题等知识，属于中基础.

32.【答案】［—黑］［py］

【解析】解：当一］+2kn<x<^4-2/c7r,fcGZ时,/(%)=sinx+V3cosx=2s讥(％+§,

当］+2kn<%<y+2kn,keZ时，/(%)=sinx-\［3cosx=2sm(x-》

令