小学奥数经典解析 有关数的法则和方法+和差积商的变化规律

有关数的法则或方法

【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百

分数的读、写方法，见小学数学课本，此处略。）

“成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、

“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。它们也

常用分母为十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的

方法去读。

“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千

分号”一“％。”来写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7%。”，

读作“千分之七”。

【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以10的整数次嘉来表示

一个数的方法，叫做“科学记数法”。

利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a

X10“（iWaWlO,n是整数）”的形式。例如:

25700,把小数点向左移动四位，得1<2.57<10,但2.57比25700

小了10000倍，所以

25700=2.57X1010

0.00867,把小数点向右移动三位，得1<8.67V10,但8.67比0.00867

大了1000倍，所以

o67

000867=——=8.67X10-3o

1000

【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法

和进一法三种。

四舍五入法——省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如

果要舍去的尾数的最高位上的数是4,或者是比4小的数，就把尾数舍去;

如果要舍去的尾数的最高位上的数是5,或者是比5大的数，把尾数舍去

以后，要向它的前一位进一。这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。

例如，把8,654,000四舍五入到万位，约等于865万；把7.6239

四舍五入保留两位小数约等于7.62；把2,873,000,000四舍五入到亿

位，约等于29亿；把32.99506四舍五入精确到百分位约等于33.00。

去尾法——要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数

的方法叫做“去尾法”。

3

例如，y=0.428571428571……。若用去尾法，保留二位小数的近似值为

y«o.42,保留三位小数的近似值为，=0.428,……o

进一法——省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大

小，都向它的前一位进一。这种求近似数的方法，叫做“进一法”。

3

例如，用进一法处理亍=0.428571428571……时，取一位小数的近似值

是，3=05取两位小数的近似值是，3=0.43；取五位小数的近似值是亍3〜

0.42858。

显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似

值”，而用“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。

值得注意的是：在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必

须写上。例如，把1.5972四舍五入，保留两位小数得1.60,即1.5972

^1.60,最后的“0”不可去掉，否则，它只精确到十分位了。

【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。

（1）查表法。用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质

数：质数表上有的是质数，同一范围内的质数表上没有这个数，那它便是

个合数。

（2）试除法。如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用

试除来判断。

例如，要判定161和197是不是质数，可以把这两个数依次用2、3、

5、7、11、13、17、19……等质数去试除。这是因为一个合数总能表示成

几个质因数的乘积，若161或197不能被这个合数的质因数整除，那么也

一定不能被这个合数整除。所以，我们只要用质数去试除就可以了。

由161+7=23,可知161的约数除了1和它本身外，至少还有7和23。

所以，161是合数，而不是质数。

由197依次不能被2、3、5、7、11、13整除，而1974-17=11……10,

这时的除数17已大于不完全商11,于是可以肯定：197是质数，而不是

合数。因为197除了它本身以外，不可能有比17大的约数。假定有，商

也一定比11小。这就是说，197同时还要有比11小的约数。但经过试除,

比11小的质数都不能整除197,这说明比11小的约数是不存在的，所以

197是质数，不是合数。

【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。

(1)分解质因数法。先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质

因数连乘起来，就是所求的最大公约数。例如，求2940、756和168的最

大公约数：

2940=22X3X5X72,

756=22X33X7,

168=23X3X7；

2

，(2940,756,168)=2X3X7=84O

注:“(2940,756,168)=84”的意思，就是“2940、756和168

的最大公约数是84”。

(2)检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数

学课本介绍的那一种一般的求法，此处略。

(3)辗转相减法。较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减

法”：用大数减小数，如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求

差，直到出现两数相等为止。这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。

例如，求792和594的最大公约数。

,/(792,594)=(792-594,594)

=(198,594)=(594-198,198)

=(198,396)=(198,396-198)

=(198,198)=198,

...(792,594)=198o

用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求n个数的最大公

约数，具体做法是：可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较

小的数。这样逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。这个相等的差，

就是这些数的最大公约数。

例如，求1260、1134、882和如08的最大公约数。

,/(1260,1134,882,1008)

(1260-1134,882,1008-882,1134-882)

(126,126,882,252)

=(126,126,882-126X6,252-126)

=(126,126,126,126)=126,

/.(1260,1134,882,1008)=126。

(4)辗转相除法(欧几里得算法)。

用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下：

光用较小数去除较大的数，得到第一个余数；

再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数；

又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数；

这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。这时，

余数“0”前面的那个余数，便是这两个数的最大公约数。

求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相

当麻烦的，而采用“辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。

例如，求437和551的最大公约数。具体做法是：先将437和551

并排写好，再用三条竖线把它们分开。然后依下述步骤去做：

(1)用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外，并求得

余数为U4o

4375511

437

114

(2)用余数114去除437,把商数“3”写在比114大的数(437)

的线外，并求得余数为95。

34375511

342437

95114

(3)用余数95去除114,把商数“1”写在114右边的直线外，并

求得余数为19o

（4）用余数19去除95,把商数“5”写在95左边的直线外面，并

求得余数为0。

（5）当余数为0时，就可断定余数0前面的那一个余数19,就是437

和551的最大公约数。

又如，求67和54的最大公约数，求法可以是

由余数可知，67和54的最大公约数是1。也就是说，67和54是互

质数。

辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造

出来的。早在我国古代的《九章算术》上，就有“以少减多，更相减损”

的方法求最大公约数的记载。一般认为，“辗转相除法”即源于此。这比

西方人欧几里得等人的发现要早600年以上。

辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。如果要求三个或三个以

上数的最大公约数，可以用它先求出其中两个数的最大公约数，再求这个

最大公约数与第三个数的最大公约数。这样依次下去，直到最后一个数为

止。最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的最大公约数。

【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分

数。一组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大

公约数，应得整数。

求一组分数的最大公约数的方法是:

（1）先将各个分数中的带分数化成假分数;

(2)再求出各个分数分母的最小公倍数a；

(3)然后求出各个分数分子的最大公约数b；

(4)a作分母，b作分子，？即为所求。

a

例如，求5W、2m和6x的最大公约数；

689

先将各分数分别化成假分数，得3、3和

ooy

再求出三个分母的最小公倍数，得72；

然后求出三个分子35、21和56的最大公约数，得7；

以72为分母，以7为分子，得《，京就是5联2羡和6^|•三个分数的最

1272689

大公约数。即

5527

(56-28169)=72°

【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。

(1)分解质因数法。先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，

每一个取出指数最大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小

公倍数。

例如，求120、330和525的最小公倍数。

V120=23X3X5,

330=2X3X5X11,

525=3X52X7；

A[120,330,525]=23X3X52X7X11=46200

注:“[120,330,525]=46200”表示“120、330和525三个数的最

小公倍数是46200”。

(2)检验公约数法。“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法

的求法”，也就是小学数学课本上介绍的一般方法，此处略。

(3)先求最大公约数法。由于“两个数的乘积等于这两个数的最大

公约数与最小公倍数的乘积”，即

a,b=(a,b)•[a,b]

所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最

大公约数来求得。即

例如，求[42,105]。

2421052

4284(42,105)=21

-02T

42X105

[42,105]==210

21

若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最

小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小

公倍数与第四个数的最小公倍数，……，如此依次做下去，直到最后一个

数为止。最后求得的那个最小公倍数，就是所要求的这几个数的最小公倍

数。

例如，求[300,540,160,720]

300X540162000

■.,[300,540]=

(300,540)60

=2700

2700X160432000

[2700,160]=

(2700,160)20

=21600

21600X720

[21600,720]=

(21600,720)

1555200

720

=21600

/.[300,540,160,7201=21600

【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分

数。一组分数的最小公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这

组分数中各个分数的整数倍数。

求一组分数的最小公倍数，方法是：

(1)先将各个分数中的带分数化成假分数；

(2)再求出各个分数分子的最小公倍数a；

(3)然后求出各个分数分母的最大公约数b；

(4)用a作分子，b作分母，得1即为所求。

bb

例如，求55=、25]和的2最小公倍数：

689

先将各带分数都化成假分数，得年和工；

689

再求各分数分子的最小公倍数，得

[35,21,56]=840；

然后求各分数分母的最大公约数，得

(6,8,9)=1

用840作分子，用1作分母，得罕，即840,840就是这三个分数的最

小公倍数。用式子表达出来，就是

552840

[5-T>2p,6-]=—j—=840

00^71

【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、

小数、分数和百分数，成数(或折数)、分数和百分数，它们之间可以互

化，互化的方法见小学数学课本，此处略。

化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。例如

0.19=0.191919……(1)

0.19X100=19.191919..........(2)

(2)-(1),得019X99=19。

19

.-.0,19=—»

99

又如，0.37X10=3.777……(1)

0.37XI00=37,777……(2)

(2)-(1),得0.37X90=37-3

37-33417

••0.37=---------=—=—o

909045

由这些实例，可以得循环小数化分数的法则如下：

(1)纯循环小数化分数的法则。纯循环小数可以化成这样的分数：分子

是一个循环节的数字所组成的数；分母的各位数字都是9,“9”的个数

同循环节的位数相同。

(2)混循环小数化分数的法则。混循环小数可以化成这样的分数：分子

是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不

循环数字所组成的数所得的差；分母的头几个数字是9,末几位数字是0,

“9”字的个数同循环节的位数相同，“0”字的个数和不循环部分的位数

相同。

【分数化有限小数判断法】

(1)对于既约(最简)真分数;，如果它的分母只含有质因数2、5,即

b

分母b=2m-5%那么，这样的分数便可以化成有限小数。

若进一步研究，它又有以下的三种情况：

①在分母b=2加♦5"中，当m=n时，分数;的分母就成为10的嘉，即

b

aaa

b~2m*5n~10r

例如，蒜"on。

②在分母b=2R•54中，当m〉n时，可以用5mx乘分数小二的分子

2♦J

和分母，即

aaa•5m-na•5ffi-na•5m-n

--=------------=---------------------=,=-----------

b2m.5n2m♦手♦于-n2m.5mjQm

HMn111111x52275c…

例如’而"赤石=否充克=方=°275。

a

③在分母b=2m♦511中，当m〈n时,可以用2皿乘分数的分子

2m.5tt

和分母，即

一”一m

aaa*za♦2a.2Am

2m.n

b2m*5n2m.5n•2n-m510n

111111X2211X4

例如,=0.044o

2502X532X53.22103

（2）对于既约（最简）真分数;，如果它的分母或者不包含质因数2,

b

5（即与10互质），或者除2和5以外，还包含其他的质因数，那么，这

样的分数就不能化成有限小数，而只能化成无限循环小数。

这里，又有以下的两种情况：

①当既约真分数;中的分母b与10互质时，即分母b不包含质因数2

b

和5时，这样的分数就可以化成纯循环小数。循环节内数字的个数，跟数

列

9,99,999,9999,.......

各项中，能被分母b整除的最小的数所含“9”字的个数相同。

例如1方9，因为分母37与10互质，所以它能化成纯优环小数；又因为用

分母37去除9,99,999,9999,……,能整除的

最小的数是999,即

99937（即“999能被37整除”，""是整除符号；亦可逆读为“37

能整除999”）

也可以表示为37I999（即“37能整除999”，“|"也是整除符号;

亦可逆读为“999能被37整除”。）

这里“999”，含有3个“9”，所以它化成的纯循环小数循环节内数

字的个数也是3个：

—=0.513513513'

=0.513

②当既约真分数:中的分母不仅含有质因数2,5,而且还含有2和5

以外的质因数，那么这样的分数就可以化成混循环小数。它的不循环部分

数字的个数，跟2和5在分母内最高乘方的指数相同；循环节内数字的个

数，跟数列

9,99,999,9999,....

各项中，能被分母内2和5以外的质因数的积所整除的最小的数，所

含“9”字的个数相同。

5353」,

例如‘高TAX"，它的分母不仅含有2和5的质因数，而且还含

质因数11,所以这分数可以化成混循环小数。不循环部分数字的个数是3

个（最高乘方23的指数为3）,循环部分的循环节数字是两个（11I99,

“9”的个数为2个）：

—=0.120454545……

440

=0.12045

概括起来，把分数化成小数，判断其得数的情况，不外乎以下三种:

（1）若分母只含质因数2,5,则化得的小数是有限小数;

（2）若分母不含质因数2,5,则化得的小数是纯循环小数；

（3）若分母既含质因数2,5,又含2和5以外的质因数，则化得的

小数是混循环小数。

注意：判断的前提是分数必须是既约（最简）分数，否则很容易出错。

【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液

浓度，叫做溶液的百分比浓度。求法是

百分比浓度=溶剂罐糯质量X100%

或者是百分比浓度=鬻|乂100%

例如，用白糖（溶质）1千克，开水（溶剂）4千克混合以后，所得

的糖水（溶液）的百分比浓度是

]=-7=0.2=20%

1+45

和差积商的变化规律

【和的变化规律】

（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么

它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是

如果a+b=c,那么（a+d）+b=c+d；

（a-d）+b=c-d»

（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它

们的和不变。用字母表达就是

如果a+b=c,那么（a+d）+（b-d）=c。

【差的变化规律】

（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的

差也增加（或减少）同