中考数学练习题含答案

中考数学练习题含答案

2.如图，矩形ABCD中，AB=2,40=3,点E、尸分别为A£＞、DC边上的点，且E尸=2,

点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则匕1+PG的最小值为（）

A.3B.4C.2娓D.5

3.在△ABC中，AB=3,AC=V3.当最大时，BC的长是（）

A.旦B.A/6C.&D.2M

22

4.如图，已知4B=4C=A。，ZCBD=2ZBDC,NBAC=44°,则NCA。的度数为（）

C.90°D.112°

5.如图，四边形A8CC中，DC//AB,8c=1,AB=AC=AD=2.则BD2的值为（）

A.14B.15C.18D.12

6.如图，在△OAB中，OA=OB,ZA0B=\5°,在△OCO中，OC=OD,ZCOD=45°,

且点C在边OA上，连接CB,将线段。8绕点。逆时针旋转一定角度得到线段OE,使

得DE=CB,则NBOE的度数为（）

A.15°B.15°或45°C.45°D.45°或60°

7.直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点N,边长为2的正方形0A8C一个顶点。在

坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P,若正方形绕着点。旋转一周，则点P到点

（0,2）长度的最小值是（)

c.等D.1

填空题（共5小题）

8.如图，在矩形ABC。中，AB=4,4。=6,E是边的中点，尸是线段BC边上的动点,

将AEB尸沿E尸所在直线折叠得到△EB'F,连接"D,则8'。的最小值是

9.如图，在△A8C中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,P是A8边上的动点（不与点8重

合），将ABCP沿CP所在的直线翻折，得到CP,连接"A,则8,A长度的最小

值是.

10.已知四边形ABC。中，AO+OB+BC=16,则四边形ABCQ的面积的最大值为.

11.如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。为线段AC上一动点，连接8£）,

过点C作C4,8。于从连接AH,则A"的最小值为.

12.如图，正方形ABC/）中，AB=2,动点E从点A出发向点。运动，同时动点尸从点/）

出发向点C运动，点£、产运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过

程中线段AF、3E相交于点P,M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为.

三.解答题（共2小题）

13.问题背景如图1,在△ABC中，BC=4,AB=2AC.

问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=,AC=,

问题再探如图2,在AC右侧作NCAO=NB,交BC的延长线于点£>,求CD的长.

问题解决求AABC的面积的最大值.

14.已知A(2,0),B(6,0),CBJ_x轴于点B,连接AC

画图操作：（1）在y正半轴上求作点P,使得NAPB=NACB（尺规作图，保留作图痕迹）

理解应用：（2）在（1）的条件下，

①若tan/AP8=L,求点P的坐标；

2

②当点尸的坐标为时，NAPB最大

拓展延伸：（3）若在直线y=?x+4上存在点P,使得NAPB最大，求点P的坐标.

参考答案与试题解析

2.如图，矩形A8C。中，AB=2,A£>=3,点E、尸分别为A。、OC边上的点，且所=2,

点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则以+PG的最小值为（）

【分析】因为EF=2,点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出OG=

1,所以G是以。为圆心，以I为半径的圆弧上的点，作4关于8c的对称点A',连接

A'D,交BC于P,交以。为圆心，以1为半径的圆于G,此时以+PG的值最小，最小

值为A'G的长；根据勾股定理求得A'D=5,即可求得A'G=A'£>-QG=5-l=4,

从而得出PA+PG的最小值.

【解答】解：；£：尸=2,点G为E尸的中点，

：.DG=\,

；.G是以。为圆心，以1为半径的圆弧上的点，

作A关于8c的对称点A',连接A'D,交BC于P,交以。为圆心，以1为半径的圆

于G,

此时出+PG的值最小，最小值为A'G的长；

'：AB=2,AD=3,

：.AA'=4,

0=5,

.•.A'G=A'D-DG=5-1=4,

...B4+PG的最小值为4,

故选:B.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，判断出G点的轨迹是解题的关键.凡是涉

及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要

作点关于某直线的对称点.

3.在△ABC中，AB=3,AC=V3.当N8最大时，BC的长是（）

A.B.V6C.退D.2M

22

【分析】根据同一个三角形中大边对大角当NB最大时，AC最长，再根据垂线段最短可

得AC1BC时AC最长，然后利用勾股定理列式计算即可得解.

【解答】解：根据题意得ACLBC时NB最大，

22=22=,

止匕时BC=7AB-AC73-（V3）^

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理，利用大边对大角判断出4c最长时的情况是解题的关键.

4.如图，已知AB=AC=AO,ZCBD=2ZBDC,ZBAC=44°,则NCAO的度数为（）

C.90°D.112°

【分析】如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明NCAO=2/CB£）,ZBAC=2ZBDC,

结合已知条件NCB£>=2NBCC,得到NC4O=2NBAC,即可解决问题.

【解答】解：如图，,：AB=AC=AD,

...点B、C、。在以点4为圆心，

以AB的长为半径的圆上；

：ZCBD=2ZBDC,

ZCAD=2ZCBD,NBAC=2NBDC,

：.ZCAD=2ZBAC,而NA4c=44°,

.*.ZCAD=88°,

故选：B.

【点评】该题主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的方法

是作辅助圆，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知

识点来分析、判断、推理或解答.

5.如图，四边形ABC。中，DC//AB,BC=\,AB=AC=AD=2.则8O2的值为（）

A.14B.15C.18D.12

【分析】作AMLBC于点M,ANLBD于点、N,根据题给条件及等腰三角形的性质证明

△A2N四继而求出AN的值，在RtAABN中，利用勾股定理求解即可.

【解答】解：作AM_LBC于点M,AN1BD于点、N,

"：AC=AB,

...△ABC为等腰三角形，

也是△A2C的中线和角平分线（三线合一）,

/CW=ZBAM,

,JAB//CD,AC=AD,

：.ZADC=ZACD=ACAB,

ZADB=/ABD=NCDB,

ZADB^LZADC=ZMAB,

2

：.ZMAB=ZDBA,

又：AB=AB,

.'△ABN丝△BAM(AAS),

.•.AN=LC=L

22

'：AB=2,

.".BN1—AB2-AW2=—,

4

.".BD2=4B7V2=15.

故选：B.

【点评】本题考查了梯形的知识，同时涉及了等腰三角形的性质和勾股定理的知识，难

度适中，解题关键是正确作出辅助线.

6.如图，在△OAB中，OA=OB,ZAOB=\5°,在△0C£)中，OC=OD,ZCOD=45Q,

且点C在边0A上，连接C8,将线段OB绕点。逆时针旋转一定角度得到线段OE,使

得DE=CB,则/BOE的度数为()

A.15°B.15°或45°C.45°D.45°或60°

【分析】分两种情况进行讨论：OE在内部，OE在NB。。外部，分别根据全等三

角形的性质以及角的和差关系进行计算，即可得到/8OE的度数.

【解答】解：如图，当OE在/BO。内部时，若NDOE=NCOB=15°,则

由OD=OC,/DOE=NCOB,OB=OE可得，/\ODE^/\OCB,

故QE=CB,

此时/BOE=45°-15°-15°=15°；

当OE在/80。外部时，则

由OO=OC,NDOE=NCOB,OB=OE可得，△OOE丝△OCB,

故OE=CB,

此时NBOE=45°-15°+15°=45°；

故选:B.

E'

【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等，旋

转前、后的图形全等.

7.直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点M,N,边长为2的正方形OABC一个顶点。在

坐标系的原点，直线AN与相交于点P,若正方形绕着点。旋转一周，则点P到点

D.1

c・噜

【分析】首先证明△MOC丝△NOA,推出/MPN=90°,推出P在以MN为直径的圆上,

所以当圆心G,点尸，C(0,2)三点共线时，尸到C(0,2)的最小值.求出此时的PC

即可.

【解答】解：在△MOC和△NO4中,

r0A=0C

<NMOC=/AON，

0I=0N

:AMOC空ANOA,

：.NCMO=4ANO,

VZCMO+ZMCO=90°,NMCO=NNCP,

：.ZNCP+ZCNP=90°,

NMPN=90°

:.MPLNP,

在正方形旋转的过程中，同理可证，...NCMOn/ANO,可得/MPN=90°,MP1NP,

在以MN为直径的圆上，

'：M(-4,0),N(0,4),

二圆心G为(-2,2),半径为2、历，

:PG-GCWPC,

当圆心G,点P,C(0,2)三点共线时，PC最小,

,:GN=GM,CN=CO=2,

.**GC=~^~OM=2,

2

这个最小值为GP-GC=2亚-2.

【点评】本题考查一次函数与几何变换、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是

发现点尸在以MN为直径的圆上，确定点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型.

二.填空题（共5小题）

8.如图，在矩形ABCO中，AB=4,AD=6,E是A8边的中点，尸是线段BC边上的动点，

将△EBF沿E尸所在直线折叠得到△E8'F,连接B'D,则8'。的最小值是，近二

2.

A.--------------

C

BF

【分析】如图所示点B'在以E为圆心E4为半径的圆上运动，当。、B'、E共线时时，

止匕时夕。的值最小，根据勾股定理求出OE,根据折叠的性质可知夕E=BE=2,即可

求出8'D.

【解答】解：如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当。、夕、E共线

时时，此时B'。的值最小，

根据折叠的性质，4EBF出/\EB'F,

：.EB'IB'F,

：.EB'=EB,

是48边的中点，48=4,

：.AE=EB'=2,

'：AD=6,

•'•DE=yJ22=2<yY5,

【点评】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的

综合运用；确定点8'在何位置时，B'。的值最小是解决问题的关键.

9.如图，在△4BC中，NACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点（不与点8重

合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到^夕CP,连接8'A,则夕A长度的最小

值是1.

【分析】首先由勾股定理求得4c的长度，由轴对称的性质可知BC=C8'=3,当8,A

有最小值时，即AB'+CB'有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B'、C三点在一

条直线上时，AB'有最小值.

【解答】解：在Rtz^ABC中，由勾股定理可知：^=^^2_5（：2=^52_32=4,

由轴对称的性质可知：BC=CB'=3,

当A、夕、C三点在一条直线上时，B'A有最小值,

：.B'Amin^AC-B'C=4-3=l.

故答案为：L

【点评】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质，将求"A的最小值

转化为求+C8'的最小值是解题的关键.

10.己知四边形A8CD中，AD+DB+BC=\6,则四边形48CD的面积的最大值为32.

【分析】先画图，由于S四边彩ABCD=SAABO+SABCO,那么当NAOB=NBCD=90°时，S

z^BD、SMC。有最大值，也就是四边形A3CZ)有最大值，再结合4Z)+O8+BC=16,可求

SnaiKABCD^BD-LBD1,再利用二次函数的求最值问题，即可求四边形4BCD的面积.

2

【解答】解：如右图所示，连接8。，

""S四边心ABCO=SAABO+S/\BCO，

S^ABD=—AD*BDsinZADB,

2

S&BCD——BD,BCsinZBCD，

2

...当NACB=NQBC=90°时，SAABO、SABCD有最大值,

S四边形ABCD=S^ABD+S^BCD-D,BD+—BD*BC>

22

5L'：AD+BC=\6-BD,

二S四边彩ABCD=LB£>(16-BD)=8BD-J-8D2,

22

-L<0,

2

2

...当3。=-且=8时，四边形A8C£>的面积有最大值=%£心_=32.

2a4a

故四边形A8CO的最大面积是32.

D

【点评】本题考查了四边形面积的计算、二次函数的性质.已知两边和夹角，可利用夹

角的正弦来求面积.要使三角形面积最大，则夹角应等于90°.

11.如图，Rt/SABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。为线段AC上一动点，连接8。，

过点C作于H,连接AH,则A”的最小值为2亚-2.

【分析】取BC中点G,连接”G,AG,由直角三角形的性质可得“G=CG=8G=LBC

2

=2,由勾股定理可求AG=2泥，由三角形的三边关系可得A/72AG-//G,当点“在线

段AG上时，可求AH的最小值.

【解答】解：如图，取BC中点G,连接HG,AG,

在RtAACG中，AG=Q/、CG2=2娓

在△AHG中，AH2AG-HG,

即当点H在线段AG上时，AH最小值为2泥-2,

故答案为：-2

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，确定使AH

值最小时点H的位置是本题的关键.

12.如图，正方形ABCQ中，AB=2,动点E从点A出发向点。运动，同时动点尸从点。

出发向点C运动，点E、尸运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过

程中线段AF、BE相交于点是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为—近一.

【分析】首先作出点。关于BC的对称点。'从而可知当点在一条直线上时,

路径最短，当点E与点D重合，点产与点C重合时，PG和GD'均最短，即最短,

然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：PG=\,GD'=3,最后由勾股定理即

可求得P。’的长，从而可求得MD+MP的最小值.

【解答】解：如图作点。关于BC的对称点。'，连接P。'，

由轴对称的性质可知：MD=D'M,CD=CD'=2

：.PM+DM=PM+MD'=PD'

过点P作PE垂直。C,垂足为G,

易证故可知P的轨迹为以A8为直径的四分之一圆弧上，当点£与点。重合,

点F与点C重合时，PG和GO'均最短，

...止匕时，PD'最短.

•.,四边形48C。为正方形，

•••PG=/AD=I，GC=1DC=1.

：.GD'=3.

在Rtz^PG。'中，由勾股定理得：PD'=7PG2+GDy2=V12+32=V1O,

故答案为：VlO.

【点评】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出

点P的位置是解题的关键.

三.解答题（共2小题）

13.问题背景如图1,在△ABC中，BC=4,AB=2AC.

问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：A8=6,AC=3.

问题再探如图2,在AC右侧作交8C的延长线于点£>,求C£>的长.

问题解决求△ABC的面积的最大值.

【分析】问题初探：设AC=x,则AB=2r,根据三角形三动间的关系知2x-x<4且2x+x

>4,解之得出x的范围，在此范围内确定AC的值即可得出答案；

问题再探：设CD=a、AD=b,证得上，据此知<,?

ADBDABb=1

4+a~2

解之可得；

问题解决：设AC=，”、则A8=2，〃，根据面积公式可得SAABC=2,"4]_CO由余弦

定理可得cosC,代入化简SAABC=J_L（2+空3结合机的取值范围，利用

V16kX9,9

二次函数的性质求解可得.

【解答】解：问题初探，设AC=x,则AB=2x,

,:BC=4,

：.2x-x<4R2x+x>4,

解得：A<X<4,

3

取尸3,则AC=3、A8=6,

故答案为：6、3；

问题再探，'：ZCAD^ZB,ND=ND,

：.^\DAC^/\DBA,

则型=延=星_,

ADBDAB

设CD=a、AD=hf

.b-2

b__1_

4+a~2

f4

a至

解得：。，

14

即CD=A；

3

问题解决，设AC=〃?、则A8=2/〃，

根据面积公式可得SAA8C==-AC・3CsinC

=2/M,sinC=2/nAyi_coS2C，

由余弦定理可得cosC=16f,

8m

•••SAABC=2闻-cos2c

=2小号£)2

V8m

=J-16-^-m4+10ro2

V16

=9(■/280、24096i

NW(x9)-81]

=M(X2JO2+256

V16'X979

由三角形三边关系知&<w<4,

3

所以当〃?时，SAABC取得最大值」

33-,

【点评】本题主要考查三角形三边关系、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用,

解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、余弦定理及二次

函数的性质.

14.已知A（2,0）,B（6,0）