数值分析课后习题答案

第一章绪论

习题一

1.设x>0,x*的相对误差为8,求f(x)=lnx的误差限。

解：求Inx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式

(1.2.4)有

^*)=1也)-收*)|4印蒜I/'(X)IJ(x*)

|X-|

已知X*的相对误差3满足,而

穴x)=lnx,f(x)=—,|r-r*|<5(x*)=z.1x*1*

X9设

|Inx-Inx*凤*岗1I.11*鸟匚一；］吟

XI11一。5)

文八八|x-x*|1.3

即地1X”胃匚7"百

2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有

几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

x；=1.1021/；=0.031/；=560.40

解：直接根据定义和式(L2.2)(1.2.3)则得

x；有5位有效数字，其误差限次)冬幻°二相对误差限

x；有2位有效数字,取)当M⑶(女/尸

X；有5位有效数字，汉X；)41O”(X；»1L

3.下列公式如何才比较准确？

由+1~^1dx,N±l

(1)%1+x2

(2)

解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换

所给公式。

4.近似数x*=0.0310,是——位有数数字。

]

5.计算/=(逝-I)，取门口14,利用:(3+2舟式计算误差最小。

—T-1(3-2扬----,99-70应

(72+1)6(3+2*②3

四个选项:

第二、三章插值与函数逼近

习题二、三

1.给定Ax)=E的数值表

X0.40.50.60.7

Lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675

用线性插值与二次插值计算InO.54的近似值并估计误差限.

解：仍可使用n=l及n=2的Lagrange插值或Newton插值,

并应用误差估计(5.8)0线性插值时，用0.5及0.6两点，

用Newton插值

-0.510826+0.693147

In0.54«-0.693147+(0.54-0,5)=-0,620219

0.6-0.5

误差限离(x)K；%|(”0.5)(x-0.6)|,因

f(x)=lnx,f'(x)=--j'，峪=腹底06-7=4

x*,故

|^(z)|<ix4x0.04x0.06=0.0048

二次插值时，用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值

In0.54«-0.620219+/[0,5,0,6,0,7]

(0.54-0.5)(0.54-0,6)=-0,620219+(-1,40850)x0.04x(-0,06)=-0,616839

|/?2(x)|<1|(x-0.5)(x-0.6)(x-0.7)I，

22

仆)丁幅二鼠。，M16

故

|7?2(x)|<|xl6x0.04x0.06x0.16<0,001024

2.在-4<X<4上给出/(x)=eX的等距节点函数表，若用二次

插值法求产的近似值，要使误差不超过10,函数表的步长h

应取多少？

解：用误差估计式(5.8),%=2J(x)=eXj“3=]

%44|〃x)-%⑶|要小降斗建4骡X,”|(入一七_1)(工一石)(尤一号+1)|

令毛_1<x<xi+1,h=不一号口号_1=Xj-h,西+i=玉+%

21

中号<1°§

内5

得户<£^1X10^,A<0,0066

3.若/(x)=x'+x4+3x+l,求[2。,2】,…,27]和"。,*…？].

解：由均差与导数关系加。,々，…，/]V©

/(X)=♦+4+3x+1J⑺(X)=7!J⑻⑸=0

于是42。,21,…,27]=小7!=1/2。,21..,28]=0

4,若六X)=q+G)=(X-0)(X-X1)…炽-/),不(7=01,.../)互异，求

■f[^o，x1,—,xf]的值，这里pWn+1.

解：/(x)=4+G)J(&)=0(i=0,l,...M,由均差对称性

/(X。)

"‘'。‘勺'''/一勺4+1(可可知当P—有力两，Q…，小]=0

而当P=n+1时

/[xO>Xl»'"»Z»+ll=>*,>/(%)/4*2®2*+，=1

i-o/(x*+D

[0,P<n

■r口加力x0'Xi'…'X.=Sip「

于是得LP=n+1

u+、了£"匕=与「绿。

5.求证J-。.

解：解：只要按差分定义直接展开得

£△%=自（Ay川-的）

*>0

=Ay»-+以-i-+…+A乃-Ay0

=-Axo

6.已知/(X)=shx的函数表

X，00.200.300.50

RXi)00.201340.304520.52110

求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并

用均差的余项表达式估计误差.

解：根据给定函数表构造均差表

Xif(xj一阶均差二阶均差三阶均差

00

0.200.201341.0067

0.300.304521.03180.08367

0.500.521121.08300.170670.17400

由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式

N3(x)=l.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)

由此可得

f(0.23)N3(0.23)=0.23203

由余项表达式(5.15)可得

R(0.23)|=/[xo.xpxj,弓。23陶(0.23)

由于川飞,马,心,吃,。23股0.033133

(0.23)区0.033133x0.23x0.03x0.07x0.27<4.32xlQ-6

7.给定f(x)=cosx的函数表

Xi00.10.20.30.40.50.6

1.000000.995000.980070.955340.921060.877580.82534

用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近

似值并估计误差

解：先构造差分表

f(xj

MW)A5Z(V5/)

1.00000

-0.00500

0.99500-0.00993

-0.014930.00013

0.98007-0.009800.00002

-0.024730.00025-o.00002

0.95534-0.009550.00010

-0.034280.00035-0.00001

0.92106-0.009200.00009

-o.043480.00044

-0.00876

-0.05224

0.85234

计算COS0.048,X=0.048M=(W=T=°48,用.4得Newton前插

公式

N4(^O=^)=JO+A/H■―-1)+"£一1)。-2)-I■--2)("3)

o

=1.。。。。。+。斗。.。。5。。-。.52](2^一1.52(等-2生芳)[

误差估计由公式(5.17)得

瓦(0.048)归等依-1)Q-2)«-3)«-4)旷工1.5845x10"

其中M*sin0.6|=0,565

计算cos0.566时用Newton后插公式

x=0.566,x=0.6,/==-0.34

(5.18)6h

v2/A3/A4/

cos0.566郃忆(方+纺)=/5+%£+^^“£+l)+^>"£+l)Q+2)+^^“2+l))Q+2)Q+3)

二。~叶。四+。可竿+】•网竿+*竽)

=0.84405

误差估计由公式(5.19)得

肉(0.566)|兰冬依+DQ+2)«+3)(/+4)苗<1,7064xlO-7

这里她仍为0.565

8.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足

p(0)=p>(0)=0,p(W，(l)=l,P(2)=l

解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处

可先造鸟⑸使它满足

^3(0)=0,p3(1)=^3(1)=1,显然P3(X)=/(2-X),再令

p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2

由p(2)=l.求出A=,于是

p(x)=x[2-X+|(X-1)2]=^X2(X-3)2

9.令“⑺=六7'"2°'s”称为第二类Chebyshev多项式，试

求外的表达式，并证明&｝是[-1,1]上带权。&)=□的正交

多项式序列。

解：因Q1S)=cos(«+1)arccosx

』)=々以(乃=辿平/1

M+1VI-X2

令工=cos®

2

JsK(x)sM(x)Vl-xdfx=Isin(«4-1)5sin(m+X)QiQ

0,m^n

=4兀

一,m-n

12

10.用最小二乘法求一个形如，=a+总的经验公式，使它拟合

下列数据，并计算均方误差.

由1925313844

%19.032.349.073.397.8

即加x）=L仍（x）=

解：本题给出拟合曲线y=a+方，故法方

程系数

（W%）=>*,忒0=5

44

（W仍）=Z，2=5327,（仍，仍）=22程4=7277699

i-0i-0

44

（Wy）=2>i=2714,（仍j）=Z鬲必=369321.5

i-0i-0

法方程为

5«+5327i=271.4

5327a+727769泌=369321.5

解得a=0.9726045,Z>=0.0500351

最小二乘拟合曲线为丁=09726045+0.050035》

均方程为

rt=Mr（仙一）-//M=0.0150321

怫=0.1226

11.填空题

(1)满足条件P(O)=W)=P。),或2)=2的插值多项式

p(x)=().

(2)财=2x3+5,则f[1,2,3,4]=(),f[1,2,3,4,5]

=().

(3)设Xi(HM23,4)为互异节点，《X)为对应的四次插值基函

将t(小泓⑶

数，则白=(),1=().

(4)设.。)｝：=0是区间[0,1]上权函数为P(x)=x的

最高项系数为1的正交多项式序列，其中例⑶=1,贝仙依㈤心

=(),。2(力=()

答：

1

、9⑶=(5X+1)(%一1"0

(2)川23,4]=2,川,2,3,4,5]=0

44

/八2>"(。)=。23+245)=/+2

(3)i2i-0

JPjWk(x)dx=<'2"，上=0

[O.k^O

,、263

wXx)=x一一x+—

(4)510

第4章数值积分与数值微分

习题4

1.分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.

[―riix.w=8

Jo4+x2

解本题只要根据复合梯形公式(6.11)及复合Simpson

公式(6.13)直接计算即可。

对*x)=G,取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。

按式(6.11)求出4=0.1114024,按式(6.13)求得>=0.1115724,

riX

[-2-^^=0.11157178

积分」。4+/

2.用Simpson公式求积分口一“公，并估计误差

解：直接用Simpson公式(6.7)得

fl1-1.

(^-*办刊±(l+4g2+®T)=0.63233

由(6.8)式估计误差,因"乃=1，/'&)=尸,故

阿⑺|=(LY11e-<—■—<3,5x10^

121I180A2J18016

3.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量

高，并指明求积公式所具有的代数精确度.

(Dfo/(%)dxx«Af(0)++<7(1)

(2)"X)82A.j(-h)+4/(0)+A/⑶

(3)J：HR也口V(-h)+B/g)

解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式

的参数。

(1)令八X)/代入公式两端并使其相等，得

A+B+C=1

„c1

4-C=—

二1

+c=：

雨+c=(

_1

,-<4=—,5=—,C=—十日上

解此方程组得々乏636,于是有

J；/(x)<2?X«|/(0)+|.

+缄1)

6

P4,2/1、415

..、A“、4,r~tIXdxH—(一)+—=-

再令f(x)=/,得Jo32624

故求积公式具有3次代数精确度。

(2)令八x)="/代入公式两端使其相等，得

41+4+4=4%

/_](—〃)+4/=ot-J4_J+4=0

4(-〃)2+4%2=_|(2%)3-^A„+4=yA

OA

解出心=4=/&=一寸=，得

LRK/N=8(—&)2+&]N=0

而对了5)=/不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。

(3)令了。)=代入公式精确成立，得

A+B=2h

—kA+Bx]=0

/5+而;=2庐

1.3.,1.

解得々=/八D/月=正得求积公式

f/（x）dxa细（叫+3/&）]

23

对/'（x）=/

0=白口*刍（⑹3+3（扣3]=_#

故求积公式具有2次代数精确度。

IV

4.计算积分八1。“必加入，若用复合Simpson公式要使误差不

[乂[0-5「八"[

超过5,问区间1°'万｝要分为多少等分?若改用复合梯形公

式达到同样精确度，区间电自应分为多少等分？

解：由Simpson公式余项及/S）=SinX,/（4）（X）=sinX得

元

I凡S|M磊稔）军力叫到

=2L（ly（ly<lxio-5

3604J2

即/2665,北5%取n=6,即因旬°9分为12等分可使误差不

超过白2

对梯形公式同样黑q，G）|=i,由余项公式得

兄

|凡（丁）|二4（白工:xlO5,

14/%乙

2354

n„«>-（-）xl0<6.46xl0

]乂10-5

心254.2取n=255才更使复合梯形公式误差不超过2

21-x8

5.用Romberg求积算法求积分而卜"，取之=3

解：本题只要对积分【；尸"使用Romberg算法（6.20）,计算

到K=3,结果如下表所示。

，k

以

00.683940

10.6452350.632333

20.6354100.6321350.632122

30.6329430.6321210.6321200.632120

21

于是积分胃爻"，积分准确值为0.713272

6.用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.

fx'Zx

解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。

由于区间为[0J,所以先做变换

rl0rl1

/=x%vdx=J]目"+1)0。2dt

于是

I«A[Q.555556x(1.7745972e0887298+(1-0.774597)2e0112702)+0,888889e0;i]=0.718252

8

本题精确值j=e-2=0.718281828

7.用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分

I=f11

117T/

解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算

4加，

TJ1-/_14Lx*^1+X2

即/⑶二七

1

z«—2

于是〃+»屈，因n=2,即为三点公式，于是

2k+l,…_后_73

xk=cos---K,k=0,1,2即丽=彳,勺=0,盯=-y

8.试确定常数A,B,C,及a,使求积公式

1/⑶心«4/(—a)+中(0)+〃⑷

有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确

度是多少.它是否为Gauss型的求积公式？

解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令

八x)=l,x,』一对公式精确成立，得到

工+8+C=J]x=4（1）

-aA+aC=[xdx=0（2）

J-2

a2A+a2C=jrdx=?（3）

—（23J44-（23C=0（4）

由(2)(4)得A=C,这两个方程不独立。故可令小)=小,得

a2A+a4C=Cx^dx=—

J-25(5)

由⑶(5)解得。=±栏**,代入⑴得”蔡

则有求积公式

«y/（-用+/（。）+畀用

令敛）=/公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。

三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。

第五章解线性方程组的直接法

习题五

1.用Gauss消去法求解下列方程组.

'111c

尸+产+*=9

111o

铲i+产+产=8

++2x3=8

解本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公

式及回代公式直接计算即可。

111c

片1+丁2+针3=9

11,

———&X,=-4

602453

13y

—x2=—154

153

x3=-154x153=-177.69

x2=-60(-4+x3)=476.92

故…(9-卜一卜)=-22708

12x1-3X2+3X3=15

-18%1+3X2+3X3=-15

2.用列主元消去法求解方程组E+X2+X3=6并求出

系数矩阵A的行列式detA的值

解：先选列主元b=2,2行与1行交换得

—183-1-15

7

-183-1-150-15

3

［屋串I)12-3315

71731

11160

」消元618~6

-183-1-15-183-1-15

71731

717310

0~6

618~6618

72266

70

0-15TT

3行与2行交换3消元6

回代得解

G=3,与=2,X]=]

行列式得

722

det^=—=-66

67

(111

H针广9

111

-x1+-x2+-x3=8

5/+勺+2勺=8

3.用Doolittle分解法求的

解.

解：由矩阵乘法得

111

-456

41__1_

A=LU=-1

360-45

2-36113

15

再由3=5求得

^=(9,-4-154/

由“x=丁解得

x=(-227.08,476.92-177.69)r

4.下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解,分解式是

否唯一？

123-111,,126'

A=241,B=221,c=2515

46733161546

解：A中生=0,若A能分解，一步分解后，

=2-2+必22=u22=0,。32=4.2+0+0,相互矛盾,故A不能分解,

但det"0,若A中1行与2行交换，则可分解为LU

对B,显然△产餐=。，但它仍可分解为

1111

5=2100-1

1J|_O0/32-2_

-3自

分解不唯一，J为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯

-1][126

C=2113

6311

5.用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中

2-100o,,1

-12-1000

A=0-12-10,b=0

00-12-10

000-120

解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）

计算得

1234

月=-5,另=一彳，尾=一晨房二一5

°3456

al=24=于。3=0^4=牙°5=5

_1111lr_52111r

”"=（小亏'5'耳'看）

1648

45-4

6.用平方根法解方程组1-422

解：用4=想分解直接算得

4

L=12

2-33

由@=力及力x=y求得

1y=（-L2,6）r,x=（-[,4,2）r

7.设xel,证明帆4矶《赤卜L

解.M：=号鬻HKx；+君+…+W=IWIj

即风引乩，另一方面

寓=X；+君+…+X；V阀僻忖|=小|：

故凡工忘14

0.60.51

8.设八一10103］计算A的行范数，列范数及F-范数和2

范数

1

解：ML=^l4=08，MF=<7i=0.84

rro.370.331r

ArA=,\（Tn）=0.68534

0.330.34」方

故|阿=JO.68534=0.82785

9.设卜I为R*上任一种范数，PeRW”是非奇异的，定义

W,-M,证明ML*-同尸1

证明：根据矩阵算子定义和比定义，得

成a眼尸对

令丫=px,因P非奇异，故x与y为一对一，于是

Il4=^^p=|^l

io.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计问.

240

-179一黑山,即Ax=A

240-319.5

-179.5240,即（力+幽）（x+加）

解：记

'240-3191「0-0.5'

A=,54=

-179240J0,50_

则4=小的解X=（4,3/,而5+M（X+而）=5的解（X+画=（8,6/

故卜L=4,|矶=4

而

Ai1「2403191H.....

=薪［17924O］'C（叽=MLWL=626.2

1巩=05团］|幽「0.56012

由（3.12）的误差估计得

....3d⑷9

<-----------=056012<1,274

x倒0.43988

"心1—C"d⑷°债

向LG274|也<5.10

表明估计网L=4略大，是符合实际的。

11.是非题（若〃是〃在末尾（）填+,〃不是〃填-）：题目中

x=5,…/）小父,/=（%）©&**

（1）若A对称正定，女W，贝Ijl比=（4㈤”2是十上的一种向量

范数（）

（2）定义区⑴=吗好⑷是一种范数矩阵（）

（3）定义㈤⑶=住/严是一种范数矩阵（）

（4）只要det/wo,则A总可分解为A=LU,其中L为单位下

三角阵，U为非奇上三角阵（）

（5）鹿detnwo,则总可用列主元消去法求得方程组的

解（）

（6）若A对称正定，则A可分解为总=£*其中L为对角元

素为正的下三角阵（）

(7)对任何熊心“都有ML之Ml22Mli()

(8)若A为正交矩阵，贝！⑷2=1()

答案：(1)(4)(2)(T(3)(4)(4)一)

(5)(书(6)(-R(7)(T(8)仆)

第六章解线性方程组的迭代法

习题六

1.证明对于任意的矩阵A,序列L收敛于

零矩阵

解：由于M归时而同=°

lim1/_0

故小方

2.方程组

’5々+2X2+x3=-12

<一/+4X2+2X3=20

-3X2+10X3=3

(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.

(2)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以

“⑼=Q0,。)7■计算到产+"一<I。"为止

'521'

A=-142

解：因为L-310.

具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。

(2)J法得迭代公式是

X严=_；（12+2斓）+耳对）

铲）」（20+染-2岁）

铲）=#―2$+3制对），上=0,1,…

取"=。0妒,迭代到18次有

”8）=（-3.999996,2.999974,1.99999尸

||x（17）-x（18）|L<0,4145x10^

GS迭代法计算公式为

X产=-,12+2斓）+其对）

工产）=1（20+铲1）-2铲）

x产）=奈（3一2x产）+3铲））需=0,1,-

取7°）=（-4,000036,2,999985,2,000003）r

||x（7）-x（8）|L<0,9156xlO-4

3.设方程组

41勺+如盯=瓦,ye、

,（旬1，。22K0）

421五1+々22二2=如

证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同

时收敛或发散

<々11

康）」电-

解：Jacobi迭代为〔&2

其迭代矩阵

a

012

a

B=n

_.21o。⑶=

」，谱半径为

,而Gauss-Seide

迭代法为

染=-L氏-呼尸)

an

xrW_1(h-n力对、

2—S«21不)

的2

其迭代矩阵

0以120

G=«11

0412%

洵如」，其谱半径为,°1322

由于。2（3）=°（5，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同

时收敛或同时发散。

4.下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解,

是否收敛？

,12-2

A=111

221

解：Jacobi法的迭代矩阵是

02-222-2

B=D-1(Z+Z7)=-101,det(〃-B)=121=0

220222

即det⑷-8)=%=0,故Q⑶=0,J法收敛、

GS法的迭代矩阵为

-1

-100--0-22-0-22

G=(3-£)-】U=11000-1=02-3

221__000__002

2-2

det(Af—@=02-23=—2)2=O,Aj=。，兀2=々=2

002-2

故9)=2>1,解此方程组的GS法不收敛。

110a0

A=b10b

5.设°。,detAWO,用a,b表示解方程组Ax=f

的J法及GS法收敛的充分必要条件.

解J法迭代矩阵为

aa

0工0

0-ioio

bbbb

B=0一B)=2

"10"ToToTo="才-篝=。

aa

000A

-55

/nx1I,1100

X5)=-<i,故J法收敛的充要条件是网<T。GS法迭

代矩阵为

1

00

-1io

'100o'0-a0[0-a0

b1

G=b10000-b—000-b

10010

0a5000_000

—ab—a1

500505

由八⑦=需<1得GS法收敛得充要条件是他<T

6.用SOR方法解方程组(分别取(o=1.03,<0=1,(o=l.1)

’4彳］-x2=1

<一彳1+4X2一句=4

-^2+4药=-3

♦_11T

精确解、飞'」5),要求当忖-X,卜5X10^时迭代终止，并

对每一个3值确定迭代次数

解：用S0R方法解此方程组的迭代公式为

X产1)=(1_助或)+£(1+■))

・铲)=(1-O)¥+?4+X严)+姗))

铲)=(1-附承+/(-3+铲))需=0,1,…

取M=(0,0,0)"当⑶=1.03时，迭代5次达到要求

工⑸=(0.5000043,1.0000002-0.4999995)r

若取。=口,迭代6次得

/)=(0.5000035,0.9999989,-0.5000003/

7.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速

度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使

旷一出L"5X10-那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?

解：J法的迭代矩阵为

12

0020

T4

21_22

B=0,det(2Z-5)=2=^——2=0

44448

11

0002

4~4

4=0人,3=±；%故"⑶=：凡因A为对称正定三对角阵,

最优松弛因子

22,

5=----厂.=----7==1.033.

1+1一［。⑸2鹏

J法收敛速度

R(B)=-Inp(B)=-ln1^=1.03972

由于。9)='⑻4,故

R(Gj=-Inp(GJ=3.4001

若要求卜"=卜、”'L"'I。叩叱=5x10;于是迭代次数

R(B)R(B)

i-In£_15.425

对于J法福玩，取K=15

-lns_1M25

对于GS法''R(6-2.07944d',取K=8

上田土一事之454

对于SOR法&(邑)3.4001-一，取K=5

8.填空题

'a10'

A=1

0-

⑴2]要使:1=0应满足（）.

12…X]瓦

(2)已知方程组1°32JU&],则解此方程组的

Jacobi迭代法是否收敛().它的渐近收敛速度R(B)=().

[2-1,

(3)设方程组Ax=b,其中词其J法的迭代矩

阵是().GS法的迭代矩阵是().

%+ax2=4

(4)用GS法解方程组上眄+4=与，其中a为实数，

方法收敛的充要条件是a满足O.

1卜]平

(5)给定方程组I。"图同,a为实数.当a满足

(),且0V3V2时S0R迭代法收敛.

答:

⑴团＜1

(2)J法是收敛的，R，)=(-必。⑻=-In0.8=0.223)

0-0-

B=2G=2

21

(3)J法迭代矩阵是L-3°J,GS法迭代矩阵〔°-3_

(4)。满足®

⑸礴足

第七章非线性方程求根

习题七

1.用二分法求方格2”7=0的正根，使误差小于0.05

解使用二分法先要确定有根区间M切。本题

f(x)=x2-x-l=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间［1,2］为有根

区间。另一根在内，故正根在［1,2］内。用二分法

计算各次迭代值如表。

N即%治F(球)符号

0121.5-

11.521.75+

21.51.751.625+

31.51.6251.5625-

41.56251.6251.59375-

T、，-I-A—X<—=—<0.05

々=1.59375其误差I12532

2.求方程/一-7=。在而=1.5附近的一个根，将方程改

写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.

(1)"=1+7,迭代公式总.

(2)一=1+月迭代公式》=(1+蝗心.

11

(3)1?~,迭代公式”「反

试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种收敛最快的方

法求具有4位有效数字的近似根

12

解：(1)取区间口3同武力=1+了次41.3,1§且伊，田=一/,

在［1.3,1对且伊㈤=一手,在［1.3,1月中0488引0(初《0.911,则在1,

满足收敛定理条件，故迭代收敛。

(2)0(»=班+7,在[1,3,1,6]中(P(x)e[1.3,1.6],且

wQ)=9(1+/)3,在[[3,]向中有同(小0.46=£<1,故迭代收敛。

⑶矽6目'研"二一5(1：在X-1.5附近WM>i,故

迭代法发散。

在迭代(1)及(2)中，因为(2)的迭代因子L较小，

故它比(1)收敛快。用(2)迭代，取而=