概率论与数理统计1.1随机事件

概率论与数理统计1.1随机事件汇报人：AA2024-01-19contents目录随机事件及其概率古典概型与几何概型条件概率与独立性随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征随机事件及其概率01在一定条件下进行的、结果不确定的试验，称为随机试验。例如抛硬币、掷骰子等。随机试验样本空间样本点随机试验所有可能结果的集合，称为样本空间。通常用大写字母S表示。样本空间中的每一个元素，称为样本点。030201随机试验与样本空间

随机事件随机事件随机试验中满足某一特定条件的结果组成的集合，称为随机事件。通常用大写字母A、B、C等表示。必然事件包含样本空间中所有样本点的随机事件，称为必然事件。记作S。不可能事件不包含任何样本点的随机事件，称为不可能事件。记作∅。如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记作A⊆B。包含关系如果事件A和事件B同时发生，且它们的结果集合相同，则称事件A与事件B相等，记作A=B。相等关系如果事件A和事件B至少有一个发生，则称这两个事件的并为和事件（并事件），记作A∪B。和事件（并事件）事件间的关系与运算对立事件如果两个事件中必有一个发生且仅有一个发生，则称这两个事件为对立事件。对立事件的概率和为1。积事件（交事件）如果事件A和事件B同时发生，则称这两个事件的交为积事件（交事件），记作A∩B或AB。差事件如果事件A发生而事件B不发生，则称这两个事件的差为差事件，记作A−B。互斥事件如果两个事件不可能同时发生，则称这两个事件为互斥事件。事件间的关系与运算概率的定义概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示事件A发生的概率。概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。对于任何随机事件A，有P(A)≥0。对于必然事件S，有P(S)=1。对于任意两个互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。对于任意随机事件A，其逆事件的概率为P(A′)=1−P(A)。非负性可加性逆事件的概率规范性概率的定义与性质古典概型与几何概型02计算公式在古典概型中，事件A发生的概率P(A)等于事件A包含的样本点个数与样本空间包含的样本点个数之比，即P(A)=m/n，其中m是事件A包含的样本点个数，n是样本空间包含的样本点个数。定义古典概型是一种基于等可能性的概率模型，其中每个样本点发生的可能性相同。适用范围古典概型适用于样本空间有限且每个样本点发生的可能性相同的情况。古典概型定义几何概型是一种基于几何度量的概率模型，其中样本点的发生概率与其在几何空间中的度量（如长度、面积、体积等）成正比。计算公式在几何概型中，事件A发生的概率P(A)等于事件A在几何空间中占据的度量与整个样本空间在几何空间中占据的度量之比。具体计算方式取决于所使用的几何空间和度量方式。适用范围几何概型适用于样本空间可以表示为某个几何空间中的一部分，且样本点的发生概率与其在几何空间中的度量成正比的情况。几何概型古典概型与几何概型的比较古典概型和几何概型都是基于等可能性的概率模型，即每个样本点发生的可能性相同。同时，它们都可以通过计算事件包含的样本点个数或占据的几何度量来求解事件发生的概率。相同点古典概型和几何概型的区别在于它们的样本空间和计算方式。古典概型的样本空间是有限的，而几何概型的样本空间可以表示为某个几何空间中的一部分。此外，古典概型通过计算事件包含的样本点个数来求解概率，而几何概型则通过计算事件在几何空间中占据的度量来求解概率。不同点条件概率与独立性03在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。条件概率定义对于任意两个事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)，即事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率与在事件A发生的条件下事件B发生的概率的乘积。乘法公式条件概率与乘法公式全概率公式如果事件B1，B2，…，Bn构成一个完备事件组，即它们两两互斥，其和为全集，并且都有正概率，则对任一事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)。贝叶斯公式在全概率公式的假定之下，贝叶斯公式将条件概率P(A|Bi)和全概率P(A)建立了联系，即P(Bi|A)=[P(A|Bi)P(Bi)]/∑[P(A|Bj)P(Bj)]。全概率公式与贝叶斯公式独立性定义如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，即P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。独立性判断判断两个事件是否独立，需要验证它们是否满足独立性的定义。如果不满足，则称两个事件相依。在实际问题中，可以通过数据或经验来判断两个事件是否独立。事件的独立性随机变量及其分布04随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的取值是有限个或可列个，而连续型随机变量的取值则是充满一个区间。随机变量的概念分类定义离散型随机变量的分布律可用概率质量函数来描述，它表示随机变量取各个值的概率。分布律常见的离散分布包括二项分布、泊松分布、几何分布等。这些分布各自有不同的应用场景和性质。常见离散分布离散型随机变量及其分布律概率密度函数连续型随机变量的概率分布可用概率密度函数来描述，它表示随机变量在某个区间内取值的概率大小。常见连续分布常见的连续分布包括正态分布、均匀分布、指数分布等。这些分布各自有不同的特点和应用场景。连续型随机变量及其概率密度随机变量的函数的分布函数的分布当随机变量通过某个函数进行变换后，所得到的新的随机变量的分布称为原随机变量的函数的分布。求解方法求解随机变量的函数的分布通常需要使用概率论中的变换技巧，如卷积公式、期望和方差的性质等。多维随机变量及其分布05定义01设$X$和$Y$是两个随机变量，定义在同一概率空间$(Omega,mathcal{F},P)$上，称$(X,Y)$为二维随机变量。联合分布函数02对于任意实数$x,y$，二元函数$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$称为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数。联合概率密度函数03如果存在非负函数$f(x,y)$，使得对于任意实数$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，则称$f(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数。二维随机变量及其联合分布边缘分布与条件分布边缘分布函数二维随机变量$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布函数分别定义为$F_X(x)=F(x,+infty)$和$F_Y(y)=F(+infty,y)$。边缘概率密度函数如果$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)$，则$X$和$Y$的边缘概率密度函数分别为$f_X(x)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dy$和$f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)dx$。条件分布函数设二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数为$F(x,y)$，边缘分布函数分别为$F_X(x)$和$F_Y(y)$。在给定$Y=y$的条件下，$X$的条件分布函数定义为$F_{X|Y}(x|y)=frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$。条件概率密度函数在给定$Y=y$的条件下，如果$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)$，则$X$的条件概率密度函数为$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$。设二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数为$F(x,y)$，边缘分布函数分别为$F_X(x)$和$F_Y(y)$。如果对于任意实数$x,y$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称随机变量$X$和$Y$是相互独立的。定义如果随机变量$X$和$Y$是相互独立的，那么对于任意实数集合$A,Bsubseteqmathbb{R}$，事件${XinA}$和${YinB}$也是相互独立的。性质随机变量的独立性多元正态分布：设$mathbf{X}=(X_1,X_2,ldots,X_n)^T$是一个$n$维随机向量，如果存在一个常数向量$mu=(mu_1,mu_2,ldots,mu_n)^Tinmathbb{R}^n$和一个正定矩阵$Sigma=(sigma_{ij})_{ntimesn}$，使得$mathbf{X}$的概率密度函数为$$f(mathbf{x})=frac{1}{(2pi)^{n/2}|Sigma|^{1/2}}expleft[-frac{1}{2}(mathbf{x}-mu)^TSigma^{-1}(mathbf{x}-mu)right],$$则称$mathbf{X}$服从多元正态分布，记作$mathbf{X}simN_n(mu,Sigma)$。多维随机变量及其分布的应用举例多元均匀分布：设$\mathbf{X}=(X_1,X_2,\ldots,X_n)^T$是一个定义在区域$\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$上的随机向量，如果$\mathbf{X}$的概率密度函数为多维随机变量及其分布的应用举例$$f(mathbf{x})=begin{cases}frac{1}{text{Vol}(Omega)},&text{if}mathbf{x}inOmega多维随机变量及其分布的应用举例0,&\text{otherwise}多维随机变量及其分布的应用举例end{cases},$$则称$mathbf{X}$服从多元均匀分布多维随机变量及其分布的应用举例随机变量的数字特征06VS描述随机变量取值的“平均水平”，是随机变量所有可能取值与其对应概率的乘积之和。方差衡量随机变量取值与其数学期望的偏离程度，即随机变量取值的波动性或分散程度。数学期望数学期望与方差衡量两个随机变量变化趋势的相似程度，正值表示两变量同向变化，负值表示反向变化。标准化后的协方差，消除了量纲影响，更直观地反映两变量间的线性相关程度。协方差相关系数协方差与相关系数矩描述随机变量分布形态的特征数，如一阶原点矩为数学期望，二阶中心矩为方差。协方差矩阵多个随机