小学奥数-立体几何讲义

小学奥数-立体几何讲义

教学目标：

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查

学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据

的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查.

知识点拨：

长方体和正方体

如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条

棱.

①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等.

（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形.）

②长方体的表面积和体积的计算公式是：

长方体的表面积：S氏方体=2（ab+be+cd）；

长方体的体积：V^=abc.

③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正

方形.

如果它的棱长为“，那么：S正方体=6/，/方体=/.

二、圆柱与圆锥

立体图形表面积体积

圆柱国S圆柱=侧面积+2个底面积=Inrh+2兀/Hatt="2〃

S网椎=侧面积+底面积=360兀r+兀广%锥体=§兀/〃

圆锥A/二.

注：/是母线，即从顶点到底面

圆上的线段长

例题精讲:

如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个d

长为8,宽为3,高为2的小长方体，那么新的q-K

几何体的表面积是多少？

我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几上二-------

何体的表面积仍为原立方体的表面积：10x10x6=600.

右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前/.........-

后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长（芟/

1厘米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是L

多少平方厘米？（图中只画出了前面、右面、上⑪皿

面挖去的正方体）J-----------

原正方体的表面积是4x4x6=96（平方厘米）.每一个面被挖去一个边长

是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具

的表面积的组成部分.总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米

的正方形.

从而，它的表面积是：96+4x6=120平方厘米.

【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去

一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？

对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方

向考虑.变化前后的表面积不变：50x50x6=15000（平方厘米）.

下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上

表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体

小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为

g厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法

和前两个相同为！厘米，那么最后得到的立体图

4

形的表面积是多少平方厘米？

我们仍然从3个方向考虑.平行于上下表面的各面面积之和：2x2x2=

8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2x2x4=16（平方厘米），lxlx4=4（平

方厘米），"*4=1（平方厘米），；Jx4=：（平方厘米），这个立体图形

22444

的表面积为:8+16+4+1+1=291（平方厘米）.

44

一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯

成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么

这24块长方体的表面积之和是多少？

锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次

数x2=增加的面数.

原正方体表面积：lx1x6=6（平方米），一共锯了（2-1）+（3一1）+（4一1）=6

次，

6+lxlx2x6=18（平方米）.

【巩固】(年走美六年级初赛)一个表面积为56cm。的长方体如图切成27个

小长方体，这27个小长方体表面积的和是cm2.

/z

每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所

以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为

56x3=168(cm2).

如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多

少？

当小积木互相重合的面最多时表面积最小.

设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个3x3x3的正方体时，表面

积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，

或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面

积为54.

要把12件同样的长a、宽6、高力的长方体物品拼装成一件大的长方体，

使打包后表面积最小，该如何打包？

(1)当6=2力时，如何打包？

⑵当C<2力时,如何打包?

⑶当C>2力时,如何打包?

图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长x长方体长，所以正面

的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8力+66,图3的周长是12加

4b.两者的周长之差为2(6一2力.

当6=2方时，图2和图3周长相等，可随意打包；当6<2分时，按图2打

包；当8>2力时，按图3打包.

图1图2

【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大

的长方体，表面积最小是多少？

考虑所有的包装方法，因为6=lx2x3,所以一共有两种拼接方式：

第一种按长宽高1x1x6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.

第二种按长宽高1x2x3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选

择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方

法.

其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.

如图,在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体,

求这个立体图形的表面积.

我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发

现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大

正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下

方向：大正方体的两个底面；四周方向（左右、前后方向）：小正方体的

四个侧面，大正方体的四个侧面.上下方向：5x5x2=50（平方分米）；侧面：

5x5x4=100（平方分米），4x4x4=64（平方分米）.这个立体图形的表面积为:

50+100+64=214（平方分米）.

（年“希望杯”五年级第2试）如图，棱长分别为I厘米、2厘米、3厘米、

5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是

平方厘米.

（法1）四个正方体的表面积之和为：（『+22+32+52）x6=39x6=234（平方厘米），

重叠部分的面积为：12x3+（22x2+12）+（32+2?+/）+（32+2?+/）=3+9+14+14=40（平方厘

米），

所以，所得到的多面体的表面积为：234—40=194（平方厘米）.

（法2）三视图法.从前后面观察到的面积为5、32+2、38平方厘米，从左右

两个面观察到的面积为52+32=34平方厘米，从上下能观察到的面积为52=25

平方厘米.

表面积为（38+34+25）x2=194（平方厘米）.

把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个

立体图形.，求这个立体图形的表面积.

从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示.因此，这个

立体图形的表面积为：2个上面+2个左面+2个前面.上表面的面积为：9

平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘

米.因此,这个立体图形的总表面积为：(9+8+10)x2=54(平方厘米).

上下面

【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图

形的表面积是多少平方厘米？

该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成.

该图形的表面积等于(9+7+7)x2=46个小正方形的面积，所以该图形表面积

为46平方厘米.

有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露

出的表面涂成红色.求被涂成红色的表面积.

4x4+(l+2+3+4)x4=56(平方米).

棱长是机厘米(加为整数)的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成

棱长是1厘米的小正方体.至少有一面红色的小正方体个数和表面没有

红色的小正方体个数的比为13:12,此时,〃的最小值是多少？

切割成棱长是1厘米的小正方体共有4个，由于其中至少有一面是红色

的小正方体与没有红色面的个数之比为13:12,而13+12=25,所以小正方体

的总数是25的倍数，即病是25的倍数，那么加是5的倍数.

当机=5时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正

面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5x5+5x4x2=65个,

表面没有红色的小正方体有

125-65=60个，个数比恰好是13:12,符合题意.因此，m的最小值是5.

有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30

个为黑色的.现将它们拼成一个4x4x4的大正方体，在大正方体的表面上

白色部分最多可以是多少平方厘米？

要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色

部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来.

在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有（4-2）3=8（个），用黑色的;

在面上但不在边上的小正方体有（4-2）2x6=24（个），其中30—8=22个用黑色.

这样，在表面的4x4x6=96个1x1的正方形中，有22个是黑色，96-22=74（个）

是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米.

三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个

顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂

一面，一个涂两面，一个涂三面.涂色后把三个长方体都切成棱长为1

厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？

每个长方体的棱长和是288+3=96厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和

是96+4=24厘米.因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个

连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、

7厘米.

要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方

体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少.所以，

涂一面的长方体应涂一个8x7面，有8x7=56个；

涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8x7面，有8x7x2=112个；若两

面相邻，应涂一个8x7面和一个9x7面，此时有7x（8+9-2）=105个，所以涂两

面的最少有105个；

涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个8x7面、一个9x7面，有

7x(8+8+9-4)=147个；若三面两两相邻，有(7-1)x(8-1)+(7-1)x(9-1)+(8-1)x(9-1)=146

个，所以涂三面的最少有146个.

那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56+105+146=307个.

把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正

方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少

要把这个大长方体分割成多少个小正方体？

设小正方体的棱长为1,考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、

高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况.

当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其

中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的

那些.因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设ioo=axA,那

么分成的小正方体个数为

(a+2)x(b+2)xl=〃+2(a+"+4=2(a+A)+104,为了使小正方体的个数尽量少,应使

(〃+6)最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当a“=10时它们的和

最小，此时共有

(10+2)x(10+2)=144个小正方体.

当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去

掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个

面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是

100+4+2x3=31.由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的

个数尽量少，应该令31=2+2+27,此时共有2x2x27=108个小正方体.

因为108044,所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体.

把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形.用红、黄、蓝三种颜

色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用

红色染的正方形最多有多少个？

一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）.因为染有5个红色方格

的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格.

其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4

个红色方格（见上中图）.因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以

相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格.最后剩下两个相对的

面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）.所以，红色方格最多

有5x2+4x2+2x2=22（个）.

（另解）事实上上述的解法并不严密，”如果最初的假设并没有两个相

对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方

格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质

原因入手，可严格说明22是红色方格数的最大值.

对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至

少有一半的格子可以染成红色.但是现在需要染色的是一个正方体的表

面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：

⑴如图，每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以

8个角上最多只能有8个方格染成红色.

⑵如图，阴影部分是首尾相接由9个方格组成的环，这9个方格中只能有

4个方格能染成同一种颜色（如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相

邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的

分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格），像这样的环，在正

方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及

的18个方格中最多能有8个可染成红色.

⑶剩下6x3x3-8x3-9x2=12个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6

个能染成红色.

综上所述，能被染成红色的方格最多能有8+8+6=22个格子能染成红色，第

一种解法中已经给出22个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是

最多的情况.

一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面

尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个

正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下

的体积是多少立方厘米？

本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:12=7:5:4,为了方

便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.

因为7>5>4,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切

时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米

的正方体符合要求.

那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘

米和6厘米，所以剩下的体积应是：21x15x12-"+9,+6'）=1107（立方厘米）.

有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻（有

公共面）的积木颜色不同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？

A

分层来看，如下图（切面平行于纸面）共有黑色积木17块.

【巩固】这个图形，是否能够由1x1x2的长方体搭构而成？

每一个1x1x2的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色

正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15块，所以该图形不能够由

1x1x2的长方体搭构而成.

【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个

数字（不同的立方体可以写相同的数字）先将写着2的立方体与写着1

的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻（见

左下图）.依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字

之和是多少？

1

32

第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1（见下图）.

654

543

432

第一层第二层第三层

上面的9个数之和是27,由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和

都是27.同理，下面的9个数之和是45,下面、左面、后面的所有数之

和都是45.所以六个面上所有数之和是(27+45)x3=216.

(05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个5x5x5的立方体，在一个方

向上开有1x1x5的孔，在另一个方向上开有2x1x5的孔，在第三个方向上开

有3x1x5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？

求体积：

开了3x1x5的孔，挖去3x1x5=15,开了1x1x5的孔,

挖去1x1x5-1=4；开了2x1x5的孔，

挖去2xlx5-(2+2)=6,

剩余部分的体积是：5x5x5-(15+4+6)=100.

(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图:

得到总体积为:22x4+12=100・

求表面积：

表面积可以看成外部和内部两部分.外部的表面积为5x5x6-12=138,内部

的面积可以分为前

后、左右、上下三个方向，面积分别为2x(2x5+lx5—lx2-lx3)=20、

2x(lx5+3x5-lx3-l)=32>2x(lx5+lx5-lxl-2)=14,所以总的表面积为

138+20+32+14=204.

(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露

正方形个数：

前后方向：32

上下方向：30左右方向：40

总表面积为2x（32+30+40）=204.

【总结】“切片法”：全面打洞（例如本题，五层一样），挖块成线（例如本

题，在前一层的基础上，一条线一条

线地挖），这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！

【巩固】（年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大

正方体是由125个小正方体所构成的.其中有些小正方体已经被挖除，图中

涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分.请问剩下的部分共有多

少个小正方体？

///////

对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）

的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体

图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的

体积或小正方体数目，最后再把它们相加.

采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示

挖除掉的部分.

从图中可以看出，第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个、11

个、11个、6个、22个，所以总共还剩下22+11+11+6+22=72（个）小正方

体.

【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方

体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽

空的状态.右图中剩下的小正方体有多少个？

解法一：（用“容斥原理”来解）由正面图形抽出的小正方体有5x5=25个，

由侧面图形抽出的小正方体有5x5=25个，由底面图形抽出的小正方体有

4x5=20个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有Ix2+2xl+2x2=8个，

正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有Ix3+2x2=7个，底面图形和侧

面图形重合抽出的小正方体有Ix2+lxl+2x2=7个，三个面的图形共同重合

抽出的小正方体有4个.根据容斥原理，25+25+20一8-7一7+4=52,所以共抽

出了52个小正方体.125-52=73,所以右图中剩下的小正方体有73个.

注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是

最让人头疼的事.

但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿

过“花墙

这里，化虚为实的思想方法很重要.

解法二：（用“切片法”来解）

可以从上到下切五层，得：

⑴从上到下五层,如图:

请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向.

比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况,

即——

如果挖第二层：第⑴步，把中间这些位置的四块挖走如图:

第⑵步，把从右向左的两块成线地挖走.（请注意挖通的效果就是

成线挖去），如图：

第⑶步，把从前向后的一块（请注意跟第二层有关的只是一块!）挖成线!

如图：

（迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸

⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑩是同样的等腰直角三角

形，⑪是正方形.那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑩⑪为平面展开图的立体图形的

体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍.

本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形,

可得到如下两图：

其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正

三角形的正四面体，右图以⑸(6)⑺⑻(9)(10)(11)为平面展开图的立体图形，

是一个不规则图形，底面是(1D,四个侧面是⑺⑻⑼(10),两个斜面是⑸(6).

对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我

们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们

与基本立体图形相比，缺少了哪些部分.

由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三

角形，想到都用正方体来套.

对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去

ABDA,.CBDC,、RAGD、瓦AQ)；而对于右图来说，相当于由一个正方体切

去2个角后得到(如下右图，切去BACB,、DACD).

假设左图中的立方体的棱长为0,右图中的立方体的棱长为则以⑴⑵

⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：=

233

以(5)(6)⑺⑻(9)(10)(11)为平面展开图的立体图形的体积为"二后x1k2=2".

233

由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形(ID的边长，而左图中的立方

体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角

形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长

是左图中的立方体的棱长的2倍，即6=2”.

那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻(9)(10)(11)为

平面展开图的立体图形的体积的比为：。'当32/：＜(24=1：16,也就是说

3333v7

以⑸⑹⑺⑻(9X10)(11)为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面

展开图的立体图形体积的16倍.

图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所

有的边长都相同.请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起

来的立体图形的体积的几倍？

图⑵

首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图:

对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形

来套，这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其

计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从

这个模型入手.

我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到

图⑴与图⑶的图形位置的微妙关系：

1

和图3一致!

图⑶图

（4）

由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了8个角后的立体

图形的体积相等.

假设立方体的1条边的长度是1,那么一个角的体积是9999上!，

2222348

所以切掉8个角后的体积是

486

再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线

段相等，所以应该用边长为：的立方体来套.如果把图⑵的立体图形放

入边长为』的立方体里的话是可以放进去的.

2

这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为，，所

48

以图⑵的体积是：lxlxl-±x4.-L,那么前者的体积是后者的倍.

2224824624

如图，用高都是I米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成

一个物体.问这个物体的表面积是多少平方米？（兀取3.14）

从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为2X3.14X1.52=14.13（立方米），

侧面积为2x3.14x（0.5+1+1.5）x1=18,84（立方米），所以该物体的表面积是

14.13+18.84=32.97（立方米）.

有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个

圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）.如果将这个

零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为

6nx10+itx（-）2x2+4?tx5=6O7t+18TT+20n=987t=：307.72（平方厘米）.

（第四届希望杯2试试题）圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘

米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是立方厘米.（结

果用兀表示）

当圆柱的高是12厘米时体积为"（3））12=亚（立方厘米）

2兀兀

当圆柱的高是12厘米时体积为"（c）叼0=独（立方厘米）.所以圆柱体的

2兀71

体积为您立方厘米或图立方厘米.

71兀

如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油

桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积.（兀=314）

^2_______________________

----------16.56m---------►

圆的直径为：16.56+（1+3.14）=4（米），而油桶的高为2个直径长，即为：4x2=8（m）,

故体积为100.48立方米.

【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正

好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来

长方形铁皮的面积是多少平方厘米？（兀=3.14）

做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与

旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：

2x7txlO=62.8（厘米），

原来的长方形的面积为：00x4+62.8）x（10x2）=2056（平方厘米）.

把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体

的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米.原来的圆柱体的体

积是多少立方厘米？

沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面

积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面

周长为12.56+2=6.28厘米，底面半径为6.28+3.14+2=1厘米，所以原来的圆柱

体的体积是兀xFx8=8兀=25.12（立方厘米）.

一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米.将它的底面平

均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面

积增加了多少平方厘米？（，=3.14）

从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，

长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的

表面积就是长方体左右两个侧面的面积.

（法1）这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱

体底面半径.

可知，圆柱体的高为50.24+（3.14x22）=4（厘米），所以增加的表面积为2x4x2=16

（平方厘米）；

（法2）根据长方体的体积公式推导.增加的两个面是长方体的侧面，侧

面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积.由于长方体的体积与圆

柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面

周长的一半，为3.14x2=6.28厘米，所以侧面长方形的面积为50.24+6.28=8平方

厘米，所以增加的表面积为8x2=16平方厘米.

（年“希望杯”五年级第2试）一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水（如

图），由图中的数据可推知瓶子的容积是立方厘米.金取3-4）

（单位：厘米）

由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变,

从图中可以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为

10.8=2厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：

7tx（-）2x（6+2）=3.14x32=100.48（立方厘米）.

【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图.已知它

的容积为26.4兀立方厘米.当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；

瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米.问：瓶内酒精的体积是多少立方

厘米？合多少升？

由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此

可知液体体积是空余部分体积的6+2=3倍.所以酒精的体积为

26.4兀x3=62.172立方厘米，而62.172立方厘米=62.172毫升=0.062172升.

3+1

【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为1。平方厘

米，（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是一

由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为7.5=25，从而水与空着的

部分的比为4:2=2:1,由图1知水的体积为10x4,所以总的容积为

40+2x（2+l）=60立方厘米.

一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15

厘米.今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容

器中.求这时容器的水深是多少厘米？

若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水

的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：拉等3=17.72（厘米）.

它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中.

于是所求的水深便是17.72厘米.

有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中

盛有适量的水.甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位

下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢.问：这

时乙杯中的水位上升了多少厘米？

两个圆柱直径的比是1:2,所以底面面积的比是1:4.铁块在两个杯中排开

的水的体积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的

1,即2」=0.5（厘米）.

44

如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的g,乙容器中水的

高度是锥高的比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是

少的的几倍？

贝I」有V容器=；口，,

1Z1/2、22783lz12』1/2、22,192,

匕水=-K（―r）x—n=­兀广〃,K］人=-nrh—兀（―r）x—//=一兀广〃,

乙水33381平水333381

豆小

口=j=12,即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的空倍.

“，88

81

（年仁华考题）如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为

20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，

则薄膜展开后的面积是平方米.

薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜

展开后的面积为

8400兀+0.04=659400平方厘米=65.94平方米.

另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积.

由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为兀,居）-冲图：84兀（平方

厘米），展开后为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84兀+0.04=6594厘米，

所以展开后薄膜的面积为6594x100=659400平方厘米=65.94平方米.

【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径

为6厘米的卷轴.已知纸的厚度为04毫米，问：这卷纸展开后大约有

多长？

将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等

于面积除以宽.这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积.

因此，纸的长度：

〜纸卷侧面积_3.14x102-3.14x323.14x(100-9)=71435(厘米)

~纸的厚度(X04-0X)4-

所以,这卷纸展开后大约7L4米.

如图，48c是直角三角形，A3、AC的长分别是3和4.将AA8C绕AC旋转

一周，求AABC扫出的立体图形的体积.(71=3.14)

如右上图所示，WC扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径

为3,高为4,

体积为：，X71x32x4=12兀=37.68.

3

已知直角三角形的三条边长分别为3cm,4cm,5cm,分别以这三边轴，

旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(兀取

3.14)

以3cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm,高是3cm的圆锥体,

体积为gx3.14乂4葭3=50.24(cmb

以4cm的边为轴旋转一■周所得到的是底面半径是3cm,局是4cm的圆锥体,

体积为-x3.14x32x4=37.68(cm3)

3

以5cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高3x4+5=2.4cm

的两个圆锥，高之和是5cm的两个圆的组合体，体积为

12?

-X3.14X2.42X5=30.144(cm3)

【巩固】如图，直角三角形如果以抬边为轴旋转一周，那么所形成的圆

锥的体积为麻，以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为3，

那么如果以转为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？

cA

设3C=a,AC斗，那么以3c边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为竽，

以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为中，由此可得到两

条等式：

收、48,两条等式相除得到将这条比例式再代入原来的方程中就能

得到根据勾股定理，直角三角形的斜边钻的长度为5,那么斜边上

也=4

的高为2.4.

如果以为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆

锥叠在一起，底面半径为2.4,高的和为5,所以体积是理2=9.6兀.

如图，ABCD是矩形，BC=6cm,AB=10cm,对角线AC、8。相交O.E、尸分

别是犯与5c的中点，图中的阴影部分以防为轴旋转一周，则白色部分

扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(兀取3)

BFCB

扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后

所形成的图形.

两个圆锥的体积之和为2乂u兀832*5=30兀=90（立方厘米）；

3

圆柱的体积为兀X32X10=270（立方厘米）,

所以白色部分扫出的体积为270-90=180（立方厘米）.

【巩固】（2006年第十一届华杯赛决赛试题）如图,ABCD是矩形，8c=6cm,

A8=10cm,对角线AC、处相交O.图中的阴影部分以CO为轴旋转一周，则

阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？

设三角形8。以8为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V,贝山等于

高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥，减去2个高为5厘米，底面半

径是3厘米的圆锥的体积后得到.

所以，V=-x7tx62xl0-2x-x7tx32x5=90n（立万厘米）,

33

那么阴影部分扫出的立体的体积是"=180/540（立方厘米）.

（人大附中分班考试题目）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通

一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞.已知正方体

边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的

洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积.

⑴先求表面积.表面积可分为外侧表面积和内侧表面积.

外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个

直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：10x10x6-4x4x4-兀x2?x2=536-8兀（平

方厘米）；

内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图

形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内

侧表面积为：

4x3xl6+2x（4x4-7tx22）+27tx2x3x2=192+32-87t+247t=224+1671（平方厘米）,

所以，总表面积为：224+16兀+536-8兀=760+8兀=785.12（平方厘米）.

⑵再求体积.计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要

求出这个几何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可.

挖出的几何体体积为：4x4x3x4+4x4x4+兀x2?x3x2=192+64+24兀=256+24兀（立方厘

米）；

所求几何体体积为：10x10x10-（256+24兀）=668.64（立方厘米）.

（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去

一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积

是多少？（写出符合要求的全部答案）

按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；

按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；

按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；

按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米.

一个酒瓶里面深30cm,底面内直径是10cm,瓶里酒深15cm.把酒瓶塞紧后

使其瓶口向下倒立这时酒深25cm.酒瓶的容积是多少？(兀取3)

30

观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变.

当酒瓶倒过来时酒深25cm,因为酒瓶深30cm,这样所剩空间为高5cm的圆

柱，再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积.酒的体积：15兀xWx竺=375兀

22

瓶中剩余空间的体积(30-25)兀x"x3=125兀，酒瓶容积：375兀+125兀=50071=15(X)(011)

22

如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1

米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则

模型涂刷油漆的面积是多少平方米？

斗

该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是+4?=21平方米，从上

面观察到的面积是4'16平方米，由于下面不