概率论与数理统计统计量样本及抽样分布

概率论与数理统计统计量样本及抽样分布汇报人：AA2024-01-19目录CONTENTS概率论基础数理统计基本概念参数估计方法假设检验原理及应用方差分析与回归分析初步随机过程简介及在金融领域应用举例01概率论基础事件在一定条件下，并不总是发生（或说必然发生）的现象。概率反映随机事件出现的可能性大小。事件的运算包括事件的包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件、互斥事件及对立事件等。事件与概率在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。条件概率如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与B相互独立。事件的独立性用于计算两个事件的交事件的概率。乘法公式条件概率与独立性随机变量定义在样本空间上的实值函数，把随机试验的结果同实数对应起来。连续型随机变量在其支撑集上取值的概率是连续的随机变量。离散型随机变量全部可能取到的值是有限个或可列无限多个的随机变量。随机变量及其分布二项分布、泊松分布等。离散型分布正态分布、均匀分布、指数分布等。连续型分布包括期望、方差、矩等，用于描述随机变量的统计特性。分布的性质和特征常见的离散型和连续型分布02数理统计基本概念总体研究对象的全体个体组成的集合，通常用大写字母表示，如$X$。样本从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。样本量通常用$n$表示。个体总体中的每一个元素，即研究对象的具体表现。样本空间所有可能样本的集合。总体与样本样本的函数，用于描述样本的特征。常见的统计量有样本均值、样本方差、样本标准差等。统计量不依赖于任何未知参数。统计量的概率分布。由于样本是随机的，因此统计量也是随机的，具有一定的概率分布。常见的抽样分布有$chi^2$分布、$t$分布、$F$分布等。统计量与抽样分布抽样分布统计量样本均值样本中所有观测值的算术平均数，用$bar{x}$表示。样本方差样本中各个观测值与样本均值之差的平方的平均数，用$s^2$表示。样本标准差样本方差的算术平方根，用$s$表示。样本矩描述样本形状特征的统计量，如一阶原点矩（均值）、二阶中心矩（方差）等。常用的统计量第二季度第一季度第四季度第三季度无偏性一致性有效性充分性抽样分布的性质指统计量的期望值等于被估计的总体参数。无偏性是对统计量最基本的要求之一。随着样本量的增加，统计量的值逐渐接近总体参数的真值。一致性是评价统计量好坏的重要标准之一。指在同样样本量下，统计量的方差越小越好。有效性反映了统计量的精确程度。如果样本中包含了关于总体参数的全部信息，则称该统计量是充分的。充分性是对统计量的更高要求，它保证了从样本中能够获取尽可能多的信息来推断总体。03参数估计方法定义点估计是用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，估计结果也以一个点的数值表示，所以称为点估计。优点简单易行，能够提供总体参数的近似值。缺点无法给出估计的精度和置信度。点估计优点能够给出总体参数估计的精度和置信度，提供更全面的信息。缺点相对于点估计来说更复杂一些。定义区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。区间估计极大似然估计法优点具有一致性、无偏性和有效性等优良性质，应用广泛。缺点在某些情况下，极大似然估计可能不存在，或者存在但不唯一。定义贝叶斯估计法是基于贝叶斯定理而衍生出用于估算统计量的发生概率的方法。贝叶斯估计和极大似然估计法都是参数估计的常用方法，但前者考虑了被估计量的先验概率分布，而后者则没有。优点能够利用先验信息，对于小样本数据也能得到较好的估计结果。缺点需要先验概率分布的信息，如果先验信息不准确或者没有先验信息，则会影响估计结果的准确性。贝叶斯估计法04假设检验原理及应用假设检验的基本思想是基于小概率原理，即在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。小概率原理在假设检验中，通常需要设立两个相互对立的假设，分别为原假设（$H_0$）和备择假设（$H_1$）。假设的设立为了判断原假设是否成立，需要构造一个合适的检验统计量，并根据该统计量的分布及显著性水平做出决策。检验统计量根据检验统计量的值和显著性水平，可以确定拒绝或接受原假设的决策规则。决策规则假设检验的基本思想单侧检验是指备择假设的方向是单向的，即只关心参数是否大于或小于某一特定值。单侧检验可以分为左侧检验和右侧检验。单侧检验双侧检验是指备择假设的方向是双向的，即关心参数是否不等于某一特定值。在双侧检验中，需要同时考虑参数大于和小于特定值的情况。双侧检验单侧检验与双侧检验t检验是用于比较两组均数是否有差异的常用方法，包括单样本t检验、两独立样本t检验和配对样本t检验等。t检验F检验卡方检验F检验是用于比较两组或多组方差是否有差异的常用方法，通常用于方差分析（ANOVA）等场合。卡方检验是用于比较两个或多个总体率或构成比是否有差异的常用方法，常用于分类资料的统计分析。常见的假设检验方法第一类错误第一类错误是指原假设为真时拒绝原假设的错误，也称为弃真错误。第一类错误的概率通常用显著性水平α表示。第二类错误第二类错误是指原假设为假时接受原假设的错误，也称为取伪错误。第二类错误的概率通常用β表示，而1-β称为检验功效或把握度。假设检验中的两类错误05方差分析与回归分析初步方差分析原理及应用方差分析广泛应用于医学、社会科学、经济学等领域，如比较不同药物疗效、评估不同教学方法效果等。方差分析应用方差分析是一种通过比较不同组别间均值差异，推断总体参数是否存在显著差异的统计方法。方差分析定义方差分析基于样本数据间的变差，将总变差分解为组间变差和组内变差，通过比较组间变差与组内变差的比值，判断不同组别间是否存在显著差异。方差分析原理回归分析原理回归分析基于最小二乘法等数学原理，通过最小化预测值与实际值之间的误差平方和，得到最优的回归模型参数。回归分析应用回归分析广泛应用于预测、控制、优化等方面，如股票价格预测、产品质量控制、生产计划优化等。回归分析定义回归分析是一种研究自变量与因变量之间关系，通过构建回归模型预测因变量取值的统计方法。回归分析原理及应用线性回归模型建立根据自变量和因变量的观测数据，构建线性回归模型，即因变量与自变量之间的线性关系式。线性回归模型检验通过显著性检验、拟合优度检验等方法，对构建的线性回归模型进行检验，判断模型是否有效。线性回归模型预测利用通过检验的线性回归模型，对新的自变量数据进行预测，得到因变量的预测值。线性回归模型的建立与检验030201非线性回归模型的简介当因变量与自变量之间呈现非线性关系时，需要构建非线性回归模型进行拟合和预测。非线性回归模型类型常见的非线性回归模型包括指数模型、对数模型、幂函数模型等。非线性回归模型应用非线性回归模型在生物学、医学、工程学等领域有广泛应用，如生物生长曲线拟合、药物剂量反应关系研究等。非线性回归模型定义06随机过程简介及在金融领域应用举例随机过程定义随机过程是一族随时间变化的随机变量，用于描述随机现象的动态演变。随机过程的数字特征包括均值函数、方差函数、协方差函数等，用于刻画随机过程的统计特性。随机过程的分类根据随机过程的性质，可分为平稳过程、马尔科夫过程等。随机过程的基本概念01马尔科夫链是一种时间和状态都离散的随机过程，具有“无后效性”，即未来状态只与当前状态有关。马尔科夫链定义02如预测股票价格变动、评估信用风险等。马尔科夫链在金融中的应用03通过历史股票价格数据，构建马尔科夫链模型，预测未来股票价格走势。举例马尔科夫链及其应用举例布朗运动定义布朗运动与股票价格模型举例布朗运动是一种描述微小粒子在气体或液体中受到分子无规则碰撞而产生的随机运动。布朗运动与股票价格的关系股票价格的变化往往呈现出布朗运动的特性，即价格的变动是随机的、不可预测的。基于布朗运动理论，建立股票价格模型，如几何布朗运动模型，用于描述股票价格的随机波动。