高考数学二轮专题复习 周周练 第二周 概率统计与数列 理-人教版高三数学试题

星期二(概率统计与数列)2016年____月____日1．概率统计知识(命题意图：考查独立重复试验的概率以及互斥事件的概率求解．) 现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲，乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ)． 解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为eq\f(1,3)，去参加乙游戏的概率为eq\f(2,3)，设“这4个人恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1,2，3，4)， 则P(Ai)＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(i)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4－i). (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27). (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4， 由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)·eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,9)，所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为eq\f(1,9). (3)ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq\f(8,27)， P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝eq\f(40,81)， P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝eq\f(17,81). 所以ξ的分布列是ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81) ∴随机变量ξ的数学期望 E(ξ)＝0×eq\f(8,27)＋2×eq\f(40,81)＋4×eq\f(17,81)＝eq\f(148,81).2．数列知识(命题意图：考查等差中项、等比中项公式的应用、等差数列的定义，错位相减求前n项和等，考查考生对数据的处理能力等．) 已知数列{an}，{bn}的各项均为正数，且对任意n∈N*，都有bn，an，bn＋1成等差数列．an，bn＋1，an＋1成等比数列，且b1＝6，b2＝12. (1)求证数列{eq\r(an)}是等差数列，并求an； (2)设Tn＝eq\f(2eq\r(a1)·b1,2)＋eq\f(2eq\r(a2)·b2,2)＋…＋eq\f(2eq\r(an)·bn,n＋1)，求Tn. (1)证明∵an，bn＋1，an＋1成等比数列， ∴beq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋1. 又数列{an}，{bn}各项均为正数， 所以bn＋1＝eq\r(an·an＋1)， 从而n≥2时，bn＝eq\r(an－1an). 又bn，an，bn＋1成等差数列， 所以2an＝bn＋bn＋1， 即当n≥2时，2an＝eq\r(an·an－1)＋eq\r(an·an＋1)， ∴2eq\r(an)＝eq\r(an－1)＋eq\r(an＋1)， ∴数列{eq\r(an)}为等差数列， 又b1＝6，b2＝12， ∴a1＝eq\f(b1＋b2,2)＝9，a2＝eq\f(beq\o\al(2,2),a1)＝eq\f(144,9)＝16， ∴数列{eq\r(an)}的公差为d＝eq\r(a2)－eq\r(a1)＝4－3＝1，首项为3的等差数列， ∴eq\r(an)＝eq\r(a1)＋(n－1)·d ＝3＋(n－1)·1 ＝n＋2， ∴an＝(n＋2)2. (2)解由(1)知，当n≥2时， bn＝eq\r(anan－1)＝eq\r(（n＋1）2（n＋2）2)＝(n＋1)(n＋2)， 又b1＝6适合上式， ∴bn＝(n＋1)(n＋2)． 令Cn＝eq\f(2\r(an)·bn,n＋1)，n∈N*， 则Cn＝eq\f(2n＋2·（n＋1）（n＋2）,n＋1)＝(n＋2)·2n＋2， ∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝3·23＋4·24＋…＋(n＋2)·2n＋2，① ∴2Tn＝3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2＋(n＋2)·2n＋3.② 由①－②可得： －Tn＝3·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋2)·2n＋3 ＝2·23＋(23＋24＋…＋2n＋2)－(n＋2)·2n＋3 ＝16＋23(1＋2＋…＋2n－1)－(n＋2)