数学（广东B卷） 2023年高考第二次模拟考试卷（全解全析）

2023年高考数学第二次模拟考试卷

数学•全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4={工,=2丫,了€1<},3={口,)，)仅=兀+1,%丫€1^},贝I]()

A.AB={1,2}B.A8={(1,2)}

C.A=B=RD.Ac\B=0

【答案】D

【解析】由题意可知集合4={巾=2*户€用为数集,集合8={(x,y)|y=x+l,x,yeR}表示点集，

二者元素类型不同，所以Ac8=0,

故选：D.

2.

2.“a=I”是“复数为纯虚数”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解Br]"2+i_(42+i)(l+i)_a2+/i+i-l_=-1、+1・

1-i-2-2-2+21'

22

。=1时±±1是纯虚数，充分；£口是纯虚数，则。=±1,不必要.

l-i1-i

故选：A

3.已知等差数列{%}的前〃项和S,，若见+%+《4+45=40,则，6=()

A.150B.160C.170D.与％和公差有关

【答案】B

【解析】因为｛%｝是等差数列，所以4+%+44+%=2(4+46)=40，

所以q+%=20,所以九=」(a；%)=3|竺=if。.

故选：B

4.在平行四边形ABCQ中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，^AF=xAB+^AD,

贝叱=()

【答案】C

【解析】由题可知AE=|(AB+AO),

:点F在BE上,

：.AF=AAB+(\-X)AE,

..•”=(|+孙可鸿小。.

故选：C.

5.将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿

者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【解析】根据题意，分2步进行分析：

①将5名大学生分为4组，有C；=10种分组方法,

②将分好的4组安排参加4个项目参加志愿活动，有A：=24种情况,

则有10x24=240种分配方案;

故选：C.

6.已知点P是椭圆片十片=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为A、F,且COSN£PK=

2,则△助巴的

94

面积为（）

A.6B.12C.V2D.2&

【答案】D

【解析】对于椭圆工+二=1有"=3,6=2,c=右，

94

设尸耳=〃i,尸片=〃，

则根据椭圆的定义得m+n=2a=6,

“厂+〃--(26)(加+〃)--2nm-20

乂cosN—P居=_3_6_-__2_n_m__-_2_0__1,

2mm2tnm2mm3

解得mn=6,

=

Szg2mnsinZF}PF2=

故选：D.

/、cos2a+—\

7.若且一―?=—71一~则u忸11#的最小值为（

)

cos1]-')sin(|+.5-cosa

A.上B.一更C.交D

101010-<

【答案】B

cos2a+一

[解析]由T-4]sin2a]

得一得一sin2a=tan/?,

sin(%sin/7cos尸

cos二为

tan/?-sin2a

sin2a2sincrcosa2tana_2

2-

因为5-cos2a5sin2a+4cos2a5tana+45tana+^_,

tana

因为所以tana>0,故5tana+，Nzjstana.，=4后，

\?)tanavtana

当且仅当5tana=」-,即tana=毡时，等号成立，

tana5

2V2=亚

故U44石-10，

5tana+----

tana

所以二in27之_@,所以.的最小值是一正,

5-cos%105-cos-a10

故选：B

8.己知函数/⑶，g(x)的定义域均为R,/*+1)是奇函数，且/(I—x)+g(x)=2,f(x)+g(x-3)=2,则

()

A./(x)为奇函数B.g(x)为奇函数

2020

C.Z/W=40D.Zg(Q=40

*=1hl

【答案】D

【解析】因为“x)+g(x—3)=2,所以〃x+3)+g(x)=2,又x)+g(x)=2,

则有〃x+3)=/(l—x),因为〃x+l)是奇函数，所以=

可得/(尤+3)=-f(x+l),即有」(x+2)=-/(x)与〃x+4)=-f(x+2),

即〃x+4)=〃x),所以f(x)是周期为4的周期函数，

故g⑺也是周期为4的周期函数.

因为-〃T)"(X+2),所以〃-X)=〃X),所以〃x)为偶函数.故A错误;

由〃x+l)是奇函数,则/⑴=0,所以/⑶=0,

又〃2)+〃4)=〃2)+〃())=0,

20

所以Zf(k)=5[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=0,所以c选项错误；

"1

由"1)=0得g(o)=2,所以B选项错误；

因为g⑵=2-〃5)=2-〃1)=2,

g(1)+g⑶=[2—〃4)]+[2—八6)]=4—"(4)+/(2)]=4,

20

所以g(O)+g⑴+g⑵+g(3)=8,所以Zg伙)=5[g(0)+g⑴+g⑵+g(3)]=40,

A=l

所以D选项正确.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数/(x)=sin2x+J§cos2x,则()

A..f(x)的最小正周期为不

B./(x)的一个对称中心坐标为(一看,0)

C./(x)的图象可由函数g(x)=2sin2x的图象向左平移方个单位得到

jr77r

D.在区间上单调递减

【答案】ABD

【解析】对A,/(x)=sin2x+\/3cos2x=2sin2x4-y,

由周期公式可得7=三2IT=五,A正确；

对B,因为/[q)=2sin]-g+])=0,故[-/o]为对称中心，B正确；

对C,g(x)=2sin2x的图象向左平移展个单位得到y=2sin12x+JC错误；

,_rit7兀1_兀「兀3兀

X']'D,'JXG—,—,2xH€一,—,

[1212」3|_22」

兀771

根据正弦函数X=sinx的图象与性质可知，/(X)在—单调递减，故D正确.

故选：ABD.

10.设单位圆。与x轴的左、右交点分别为A、B,直线/：xcos0-ysin0+l=0(其中0＜。＜兀)分别与

直线x+l=0、x—1=0交于C、。两点，则()

A.。=”时，/的倾斜角为[

36

B.兀)，点A、8到/的距离之和为定值

c.mew(o,兀)，使/与圆。无公共点

D.V6»e(o,7t),恒有OC_LO£>

【答案】BD

【解析】依题意A(-l,0),5(1,0),

乂寸于A：当。时直线/：xcos——ysin——4-1=0,BP—--x—y4-1=0，

33322”

所以直线/的斜率4=-且，所以直线/的倾斜角为等，故A错误；

36

对于B：点A到直线/的距离4=/18S.+,=卜©os6+1|,

Vcos26>+sin26>

点B到直线/的距离d2=/=|cos^+l|,

vcos6+sirr6

所以点A、8至|J直线/的距离之和为4=kcos，+l|+|cos，+”,

因为。€（0,兀），所以cosde（-1,1）,所以d=-cos6+l+cose+l=2,

即对V6«0,兀），点A、B到直线/的距离之和为定值2,故B正确;

…1,

对于C：坐标原点0到直线I的距离d0=-7=--------------=1,

Vcos"（9+sin2

所以直线/与单位圆相切，即直线/与单位圆必有一个交点，故C错误;

对于D：对于直线/：xcos0-ysine+l=0,令广-1,解得产二”"+!,

sin。

人.左力-cos^+1

令x=l,解得k工犷

1一cos6+n，cose+n

所以OC=1L笆。。=（1，安

Isin6JIsin0

「口、।八〃八八tcos0+1-COS0+1il-cos~0,sm~0„「山、|八二八

所以OCOO=-1+---------------------------=-1+--------------=-1+——=0,所以OC_LO£>，

sin。sin。sin0sin~0

即V8e（（U）,恒有OCJ_OD,故D正确;

故选：BD

11.下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的

天文计算.图中的AB，AC，BD，CO都是以。为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M,N,

K分别在线段。£>,OB,OA上，MN1OB,KNA.OB.记。=1408,/3=AAOC,y=NBOD,6=2C0D,

则（）

A.sin/?=sinycosSB.cos尸=cosycos5

sin§COS7COS(J

C.sina=--------Dcosa=-------------

COSPcos/

【答案】ACD

【解析】因为在矩形MNKC中，KN1MN.

又KN人OB,MNcOB=N,MN,OBu面BOD,所以MV1面

又ODu面3O£>,所以

因为在矩形MNKC中，CM//KN,所以CM_LO£),即

因为MNLOB,KN1MN,KNcOB=N,KN,O8u面(MB,

所以MN_L面04B,

又在矩形MNKC中，MN//CK,所以CKL面043,

又。4u面。4B,所以CK_LQ4,

同时，易知在矩形MNKC中，CM=KN,CK=MN,

CK

对于A,在RjCKO中，sin/7=—,

MN

在Rt八MNO中，sin/=-----,

OM

在RtZXCMO中，cos5=^^,

.cMNOMMNCK.“MAI

WrrHrIUsm/cos^=--=sin/?,故A止确;

OMOCOCOC

OK

对于B,在RtCKO中，cos/?=—,

ON

在RtZ\A/NO中,cos/=,

又3sB二卷,且在RtKNO中,0K为RtK7VO的斜边，则ONwOK,

GilCONOMONOK°口

yr以cos/coso=-------------=-----w------=cosp,古攵B错」天；

OMOCOCOC

KN

对于C,在RtKNO中,sin6z=——,

OK

在Rt^CWO中，sin(5=—,

p°OK丁

又cosB=-----w0,

OC

〜,Sin5CMOCCMKN〃

===sinaIf

所以---~Q='7^，故C正确；

cospOCOKOKOK

ON

对于D,在RtKNO中，cosa=—,

OK

「DOK八ONcOM

又cos/=-----#0,cosy=------,cost)=------,

OCOMOC

°ONOKONcONOMON

所rrK以Icosacos/=-----------=-----,cosycosd=--------------=,

OKOCOCOMOCOC

一，ccCOS7COS(51,一J

JVfWCOScrcos/7=cosycos,即cosa=------------,故D正确.

cosp

故选：ACD.

⑵已知“。，e,-广鬻恒成立，则下列说法正确的是()

A.若bw(0,e),则QW(0,+OO)B.a=]nb-]

1—Z7I

C.〃+方22怛成立D.•2的最大值为不

b-2e

【答案】ACD

【解析】对B,令/⑷=e"—：。一包单，则b>0,e"-：e4里恒成立等价为“0,恒成立.

bbbh

r(a)=e"-£单调递增，由/'(a)=0=a=l-ln〃，且

1-1吟,/⑷<0,f⑷单调递减;ae(l-ln^+^),/,(a)>0,〃a)单调递增.

X/(«)min=i/'(l-ln*)=^-^(l-lnZ>)-^^=0,：.a=\-\nb,B错;

对A,Z?e(O,e),a=l-lnZ?G(0,+oo),A对;

对C,a+b=\-\nb+b,=+(/?)=--+1,由g'(b)=0=>〃=l.

故b«0,l),g?)<0,g(A)单调递减；。«1,+8),[伍)>0,g(3单调递增.

故g(b)Ng⑴=2,C对；

对D,二^=竽，令〃(3=零,"㈤」一：，",由〃3)=0=>6=布.

故be(0,旬,g，e)>0,g(b)单调递增；人€(百+。)名，修)<0,g(b)单调递减.

故g(b)4g(V^)=瓦，D对.

故选：ACD.

三、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

2

13.在x+——y的展开式中，97的系数为

x

【答案】-720

2

【解析】由含尸的项中对应。+±)4的指数分别为3,7,

所以4=C：°(x+》(一y)7,

对于(X+4)3中含X的项为c*2.±=2C\x,

XX

所以含孙7的系数是-C；°x2C；=-720.

故答案为：-720.

14.已知数列｛q｝满足2。向=4+44”且4=1,5,为数列｛%｝的前〃项和，则$2。23=.

【答案】2026

4=---=___-____4

【解析［由2。向=4+4。T得一，则a"22-%__、=2--,

2-q二%

_2__424

则“鹏=一2==~=a",所以数列他“｝是以3为周期的数列，

2-4,

在2a“+|=4+中,令〃=2,得2%=4+a2a得2=4+4，得出=-2,

在2a“+|=4+a“a,”］中，令〃=1,^2a2=4+a,a2,得-4=4-2q,得q=4,

所以§2023=(4+%+/)+(4+%+&)++(02020+%)21+%022)+“2023

=674(4+%+4)+q=674(4-2+l)+4=2026.

故答案为：2026

15.在三棱锥P-ABC中，PALBC,BC=2PA=2AB=4,PC=2娓,点、M,N分别是PB,BC的中点，且

AMLPC,则平面4MN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是.

【解析】因为上4=他，历是尸8的中点，所以AMJLP8,

又AM_LPC,PBcPC=P,PB,PCu平面PBC,

所以4W_L平面PBC,又8Cu平面PBC,

所以AM_LBC,

又PA_L3C,PAcAM=A,PAA"u平面,

所以8CL平面以8,又PB,A8u平面附8,

所以8C_LA8,BC_LP8

在△ABC中，AB=2,BC=4,BC1AB,

所以AC=JAB2+8C2=2石,

在△%(7中，AC=2x/5,PA=2,PC=2限,所以AC?+24?=尸。2,所以A。，%,

取PC的中点O,又BCL尸B,AC_L用，

所以04=05=OC=OP,即点。是三棱锥P-ABC的外接球的球心，

因为PC=2«,故外接球半径为/?=#，

设。到平面AMN的距离为h,平面AMN截球。所得的截面圆的半径为/•,

因为是△P8C的中位线，所以。到平面4WN的距离等于8到平面AA1N的距离,

故％-刖=%_丽=/一砌，即；xgxgx&fxh=；x2xgx&x垃,得〃=3叵，

32323

所以产=R2-/j2号,

14

所以截面圆的面积为S="2=-7t.

14

故答案为：了兀，

16.已知双曲线C：x2-y2=\,圆C2：(X-4)2+/=2,在G的第四象限部分取点P，过P作斜率为1的

直线/,若/与G交于不同的两点M,N,则|加卜|取|的最小值为

【答案】5

【解析】设PE是圆G的切线，E为切点,

圆G：(x-4y+)2=2的圆心为。2(4,0),半径为近，

由圆的切割线定理可知：\PEf^\PM\-\PN\,

另一方面，山圆的切线性质可知：|PE『=|PCj-(夜y=|pG『-2,

设直线/的方程为丫=犬+加，与圆c2的方程联立，得

y=x+m

(4『22n2%2+(2/n-8)x+/+14=0=A=(2加一8)2-8(/M2+14)>0^>-6</H<-2,

直线/的方程为y=x+〃"与双曲线C1：V-y2=i联立，

—in2—1

(y=x+fn2/np(~~"—l)

|x2-y2=1_m2-in12w，2m)'

y-c

2tn

112(-m2-1Y(7772-1Y1(21-Q8,|PC|2=-+8,+，］+30

IF=n...4J”+」+32+8，〃+…2

1/iLm)乙\mm)乙\rrtj

令机+'=f,,

m

设g0)=*2+8f+30),

因为函数〃，")=机+，在(-°0,T)上单调递增，

m

所以函数/(刃)=〃7+，在-6＜机＜一2」二单调递增，

375

故＜/(一2)=/£(

62

g(f)=*+8r+30)=*+4y+14],

当f=-4时，函数g(。有最小值，最小值为gxl4=7,

所以|PE『的最小值为7一2=5,

故答案为：5

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.（10分）

在锐角一45C中，内角A8,C所对的边分别为。，b,c

2

⑴若匕。=2accosB>证明:----------1-----------

tanAtanCtanB

（2）若a=2/?sinC,求tanAtanBtanC的最小值.

【解析】（1）因为力之=2occosb,所以sin?3=2sinAsinCeos8.

又sinB=sin（A+C）,所以sin（A+C）sinB=2sinAsinCcosi5,

所以（cosAsinC+cosCsinA）sinB=2cos3sinAsinC,

所以cosAsinCsinB+cosCsinAsinB=2cosAsinAsinC,

两边同时除以sinAsinBsinC可得警+笔2cos8

sinAsinesinB

2

所以言+氤

tanB

（2）因为a=2Z?sinC,所以siti4=2sin8sinC,

所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,所以，tanB+tanC=2tanBtanC.

tanB+tanCtanB+tanC

又4ABe为锐角三角形,所以tan4=->0,

1-tanBtanCtanBtanC-1

所以tanBtanC>1,即

tanAtanBtanC=-tan（B+C）tanBtanC

tanB+tanC___2tan2Btan2C-

=-------------------tanntanC=-----------------

1-tanBtanCtanBtanC-1

令tanBtanC-1=r>0,则tanBtanC=f+l,

.「2Q+1）22?+4r+2（

tanAtanBntanC=----------=---------------=l2/+—l+4>8.

当，=1,即tanBtanC=2时，tanB+tanC=4,tanA=4,

tanAtanBtanC的最小值为8.

18.（12分）

党的二十大胜利召开后，某校为调查性别因素对党史知识的了解情况是否有影响，随机抽查了男女教职工

各100名，得到如下数据：

不了解了解

女职工3070

男职工2080

（1）根据小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为对党史知识的了解情况与性别有关？

⑵为了增进全体教职工对党史知识的了解，该校组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛现有

两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题,

比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回

纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中，若第一支部从甲箱中抽取

了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第二支部答题，第二支部抽取第一题时，从乙箱中

抽取了题目.已知第二支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第一支部从甲箱中取出的是2个选择题的

概率.

附：八ntad-bcT

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0100.0050.001

%6.6357.87910.828

【解析】（1）零假设为“。：对•党史知识的了解情况与性别无关.

根据列联表中的数据，经计算得到/=喟黑就等Z667<7.879f5

根据小概率值a=0.005的独立性检验，没有充分的理由说明不成立，则不能认为对党史知识的了解情况

与性别有关;

（2）设事件A为"第二支部从乙箱中抽出的第1个题是选择题”,

事件"为"第一支部从甲箱中取出2个题都是选择题",

事件与为"第一支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”,

事件纥为“第一支部从甲箱中取出2个题都是填空题”,

则与、鸟、纭彼此互斥，且耳B,=Q,

P⑻噌⑸=詈=京⑻+胃

尸（形”M（小2）］，尸（幽）q，

P(A)=P(B1)XP(A|B,)+P(B2)XP(>I|B2)+P(B3)XP(A|B3)

56155347

=—X—H---X—4---X—=一

所求概率即是4发生的条件下用发生的概率:

56

P(周力=绊?「(耳)”闯=基二型

v"7P(A)P(A)L49

12

19.(12分)

在加(加之2)个不同数的排列利与中，^\<i<j<m^Pi>Pj(即前面某数大于后面某数)，则称2与P,

构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(〃+1)〃(〃-1)321的逆序数为

a,,如排列21的逆序数4=1,排列43排的逆序数%=6.

⑴求包，生，并写出。”的表达式;

(2)令+证明2〃<4+4++hn<2w+3,"=1,2,

“〃+1"n

【解析】(1)根据题意得4=1+2+3+4=10,

%=1+2+3+4+5=15,故。4=I。,%=15,%=〃+(/2-1)++2+]=〃(〃+D.

⑵・"“=2+'=—+3>2、叵n+2_1_

-------=2,〃=1,2,

a”+ian〃+2〃vn+2n

/.b{+b2++bn>2n.

nn+222

又-----------1-----------2+----------=,

〃+2nnn+2

22

=2〃+3-------------------<2〃+3.

n+\n+2

综上，2n<b}+b2+勿<2〃+3/=1,2,.

20.(12分)

在三棱锥P—ABC中，PA=PB,ZBAC=90°,M为棱3c的中点.

R

(1)证明：ABLPM；

(2)若平面BAB_L平面ABC,PA=PB=&，AB=AC=2,E为线段PC上一点，2PE=EC,求点E到平

面附例的距离.

【解析】(1)取A8的中点为0,连OP,OM,因为=则。PIAfi；

又M为棱BC的中点，则QW为△ABC的中位线，所以0M〃AC,

因为ZBAC=90。，则AB1AC,则工。W：

由于OPcOM=O,OPu平面尸OM,OMu平面POM,

则"二平面尸。M,因为尸Mu平面POM,所以ABLPM.

(2)由(1)得。P上4},且平面平面ABC,平面E钻平面ABC=AB,OPu平面R4B,

则QP_L平面45C,又ABJ.OM,

则以。为原点，OB,OM,0P所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

因为PA=P8=&，AB=2,则/^+尸出=川^,则0p=i,

则P(O,O,1),A(T,O,O),M(0,1,0),C(-1,2,0),

I1?1

因为2P£=EC,Wi]PE=-PC=

则PA=(-1,0,7),AM=(1,1,0),

设"=(x,y,z)为平面PA〃的一个法向量,

PAn=-x-z=0i

则〈，令x=l,则y=-l,Z=-1,得〃=(1,-1,一1),

AM•〃=x+y=0

又设点E到平面PAM的距离为d,

,121|

则八年4=三耳1]=及，

|n|69

则点E到平面PAM的距离为乎.

21.（12分）

设抛物线C:x2=2p)，(p>())的焦点为尸，过焦点的直线与抛物线C交于A8两点，抛物线在AB两点切线

交于点尸，当直线AB垂直N轴时，,/A8面积为4.

(1)求抛物线的方程；

(2)若=求直线AB的方程.

【解析】⑴由x?=2py,得y吟,则有y'=",直线AB"轴时，不妨设《衅涨卜若

曲线C在点A处切线R4的斜率为左="=1,切线方程为：y=x-4,

P2

同理切线总的方程为：y=-x-g

联立方程得尸5,/=/=4,则。=2,得抛物线的方程V=今

(2)设直线AB方程:y^kx+l,4(占,凶),8(%,%),

与抛物线方程联立方程组得：/一46一4=0,则有占+々=44,工也=-4,

2

由丁=4>，得y=1,则有y'=3,所以号“♦即L竽=-1,

424

切线AP方程：y=罟-今，切线3尸方程：丫=管-1，联立得尸(2怎-1),

MkpB=-l,ZAPB=90,又/PAB=3NPBA,得NPAB-NPBA=45，

-1-11

又kpF=1丁=一］勺平•心8=7，所以PFLAB，

2kk

(必一»)"2+4

(y+1)(%+1)+4标+4

2

_k®-xjJ4k2+4_士痛々+%)2-4中2-d4k。+4_±k(Sk+8)_+^_(

2