高考数学一轮复习 练案（74）高考大题规范解答系列（六）-概率与统计（含解析）-人教版高三数学试题

[练案74]高考大题规范解答系列(六)——概率与统计1．(2020·江西吉安期中)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人y人社会人士600人x人z人(1)已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．[解析](1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，所以eq\f(120＋x,3600)＝0.05，所以x＝60.所以持“无所谓”态度的人数共有3600－2100－120－600－60＝720，所以应在“无所谓”态度抽取720×eq\f(360,3600)＝72人．(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，所以在所抽取的6人中，在校学生为eq\f(120,180)×6＝4人，社会人士为eq\f(60,180)×6＝2人，则第一组在校学生人数ξ＝1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，即ξ的分布列为：ξ123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)∴E(ξ)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.2．(2019·湖南衡阳模拟)2018年2月25日，平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界．某校为了让学生更好地了解奥运，了解新时代祖国的科技发展，在高二年级举办了一次知识问答比赛．比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关；第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得分别为1,2,3分的积分奖励，高二(1)班对三关中每个问题回答正确的概率依次为eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，且每个问题回答正确与否相互独立．(1)记A表示事件“高二(1)班未闯到第三关”，求P(A)的值；(2)记X表示高二(1)班所获得的积分总数，求X的分布列和数学期望．[解析](1)令A1表示事件“高二(1)班闯过第一关”，A2表示事件“高二(1)班闯过第二关”，因为P(A1)＝(eq\f(3,4))2＝eq\f(9,16)，P(A2)＝(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)，所以P(A)＝P(eq\x\to(A1))＋P(A1eq\x\to(A2))＝(1－eq\f(9,16))＋eq\f(9,16)×(1－eq\f(4,9))＝eq\f(3,4).(2)随机变量X的取值为0,1,3,6，则P(X＝0)＝1－(eq\f(3,4))2＝eq\f(7,16)，P(X＝1)＝(eq\f(3,4))2×[1－(eq\f(2,3))2]＝eq\f(5,16)，P(X＝3)＝(eq\f(3,4))2×(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))＝eq\f(1,8)，P(X＝6)＝(eq\f(3,4))2×(eq\f(2,3))2×(eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2))＝eq\f(1,8)，故随机变量X的分布列为X0136Peq\f(7,16)eq\f(5,16)eq\f(1,8)eq\f(1,8)所以E(X)＝0×eq\f(7,16)＋1×eq\f(5,16)＋3×eq\f(1,8)＋6×eq\f(1,8)＝eq\f(23,16).3．(2020·百师联盟期中)为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男、女游戏玩家各200名，其中游戏水平为高级和非高级两种．(1)根据题意完善下列2×2列联表，并根据列联表判断是否有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？高级非高级合计女40男140合计(2)按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手；①若甲入选了10人名单，求甲成为参赛选手的概率．②设抽取的3名选手中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．附表：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0100.050.001k06.6357.87910.828[解析](1)性别高级非高级合计女40160200男60140200合计100300400K2＝eq\f(40040×140－160×602,200×200×100×300)≈5.333<6.635，所以没有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关．(2)①甲入选3人名单的概率为P＝eq\f(C\o\al(2,9),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)；②根据分层抽样的特征10人中男、女各5人，女生的人数X的所有取值为0,1,2,3；P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)；所以X的分布列为X0123Peq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(5,12)eq\f(1,12)数学期望E(X)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(5,12)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(3,2).4．(2020·河北省石家庄市质检)某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：年份2012201320142015201620172018投资金额x(万元)4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长y(万元)6.07.07.48.18.99.611.1(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？(结果保留两位小数)(2)现从2012年～2018年这7年中抽出三年进行调查，记λ＝年利润增长－投资金额，设这三年中λ≥2(万元)的年份数为ξ，求随机变量ξ的分布列与期望．参考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).参考数据：eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝359.6，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝259.[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝8.3,7eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝348.6，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(359.6－348.6,259－7×36)＝eq\f(11,7)≈1.571，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，那么回归直线方程为：eq\o(y,\s\up6(^))＝1.57x－1.13，将x＝8代入方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝1.57×8－1.13＝11.43，即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元．(2)由题意可知，年份2012201320142015201620172018λ1.521.92.12.42.63.6ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,7)；P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,7)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(2,7).则分布列为ξ123Peq\f(1,7)eq\f(4,7)eq\f(2,7)E(ξ)＝1×eq\f(1,7)＋2×eq\f(4,7)＋3×eq\f(2,7)＝eq\f(15,7).5．(2019·安徽合肥质检)每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如图的频率分布直方图：(1)求这100人睡眠时间的平均数eq\o(x,\s\up6(－))(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(2)由直方图可以认为，人的睡眠时间t近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似地等于样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似地等于样本方差s2，s2≈33.6.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2,50.8)的人数．附：eq\r(33.6)≈5.8.若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544.[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝0.06×34＋0.18×38＋0.20×42＋0.28×46＋0.16×50＋0.10×54＋0.02×58＝44.72≈45.(2)由题意得，μ－σ≈39.2，μ＋σ≈50.8，P(39.2<t<50.8)＝0.6826，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间(39.2,50.8)的人数约为10000×0.6826＝6826(人)．6．(2019·东莞模拟)为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下茎叶图．根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常．(1)依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？(2)以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X的分布列及数学期望．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k0)0.0250.0100.005k05.0246.6357.879[解析](1)由茎叶图可得2×2列联表：正常偏高合计男性16420女生12820合计281240K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(40×16×8－4×122,20×20×28×12)≈1.905<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系．(2)由样本数据可知，男性正常的概率为eq\f(4,5)，女性正常的概率为eq\f(3,5).此项血液指标为正常的人数X的可能取值为0,1,2,3,4，P(X＝0)＝(1－eq\f(4,5))2(1－eq\f(3,5))2＝eq\f(4,625)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)eq\f(4,5)(1－eq