高考数学一轮复习 练案（66）第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第五讲 古典概型（含解析）-人教版高三数学试题

[练案66]第五讲古典概型A组基础巩固一、单选题1．(2020·甘肃兰州一中月考)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点分别为x，y，则log2xy＝1的概率为(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,36)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,2)[解析]要使log2xy＝1，则要求2x＝y，∴符合题意的基本事件数为3，而基本事件总数为36，∴概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).2．(2020·陕西汉中质检)中国将于今年9月3日至5日举行国家领导人第九次会晤．某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译．随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)[解析]P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).故选C.3．(2019·合肥二模)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2) D．eq\f(7,12)[解析]所求事件的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),A\o\al(2,4))＝eq\f(1,3).故选A.4.(2019·湖南岳阳一中质检)某市为加强城市的建设，计划对周边如图所示的A，B，C，D，E，F，G，H八个中小城市进行综合规划治理，第一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(2,3)[解析]P＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).故选A.5．第七届世界军人运动会于2019年10月18日在武汉举行，现有A，B，C，D，E,5名志愿者分配到甲，乙，丙三个体育馆参加志愿者活动，每个体育馆至少安排一人且A和B是同学需分配到同一体育馆，则甲体育馆恰好安排了1人的概率是(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)[解析]因为A和B是同学需分配到同一体育馆所以把A，B看成一个元素，又每个体育馆至少安排一人，所有的基本事件有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝eq\f(4×3,2)×3×2×1＝36，甲体育馆恰好安排了1人的基本事件有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝3×eq\f(3×2,2)×2×1＝18，甲体育馆恰好安排了1人的概率为eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).故选A.6．(2019·重庆巴蜀中学模拟)已知平面上有3个点A，B，C，在A处放置一个小球，每次操作时将小球随机移动到另一个点处，则4次操作之后，小球仍在A点的概率为(D)A．eq\f(11,16) B．eq\f(5,8)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,8)[解析]由图可知所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，故选D.7．(2020·江西新余期末)今年4月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的5名专家对石柱县的3个不同的乡镇进行调研，要求每个乡镇至少安排一名专家，则甲、乙两名专家安排在不同乡镇的概率为(A)A．eq\f(19,25) B．eq\f(17,20)C．eq\f(16,25) D．eq\f(19,40)[解析]记甲、乙两名专家被分配在同乡镇的事件为A,5名专家分到3个不同的乡镇，共有2种情况，1种情况为1,1,3人，另1种情况为1,2,2人．那么P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))A\o\al(3,3)＋\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))A\o\al(3,3))＝eq\f(6,10＋15)＝eq\f(6,25)，所以甲、乙两名专家不在同乡镇的概率为：P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝eq\f(19,25).故选A.8．(2019·河北省衡水中学一模)某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3︰2︰1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为(B)A．eq\f(2,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(25,36) D．eq\f(11,36)[解析]由题意可知青年组有eq\f(36,3＋2＋1)＝6(人)，从中抽取2人，故所求概率P＝1－eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(3,5)，故选B.二、多选题9．以下对各事件发生的概率判断正确的是(BCD)A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是eq\f(1,3)B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8＝3＋5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为eq\f(1,15)C．将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是eq\f(5,36)D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是eq\f(1,2)[解析]玩一局甲不输的概率为eq\f(2,3)，A错；不超过14的素数为2,3,5,7,11,13共6个，故从中任取两个数，其和等于14的概率为eq\f(1,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，B正确；对于C，点数之和为6的情况只有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种情况，所求概率P＝eq\f(5,C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(5,36)，C正确；对于D，所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，D正确．故选BCD.10．下列关于各事件发生的概率判断正确的是(ABC)A．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为eq\f(2,3)B．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是eq\f(1,4)C．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为eq\f(1,3)D．已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则该元素是集合A∩B中的元素的概率为eq\f(3,5)[解析]对于A，从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲、乙)，(甲、丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝eq\f(2,3)，故A正确；对于B，从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该试验属于古典概型．又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四种情况，而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种情况，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P＝eq\f(1,4)，故B正确；对于C，该树枝的树梢有6处，有2处能找1到食物，所以获得食物的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故C正确；对于D，因为A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是eq\f(3,7)，故D错误．故选ABC.三、填空题11．(2020·广东调研)某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人，他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为eq\f(1,210).[解析]由捆绑法可得所求概率P＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(3,3)A\o\al(4,4)A\o\al(3,3),A\o\al(9,9))＝eq\f(1,210).12．(2019·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为eq\f(2,9).[解析]根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为eq\f(2,9).13．(2019·武汉调研)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e>eq\r(5)的概率是eq\f(1,6).[解析]由e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>eq\r(5)，得b>2a.当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴所求事件的概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).四、解答题14．(2020·3月份北京市高考适应性考试)为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从A，B，C三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表(单位：厘米)：A组10111213141516B组12131415161718C组13141516171819假设所有植株的生长情况相互独立．从A，B，C三组各随机选1株，A组选出的植株记为甲，B组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙．(Ⅰ)求丙的高度小于15厘米的概率；(Ⅱ)求甲的高度大于乙的高度的概率；(Ⅲ)表格中所有数据的平均数记为μ0.从A，B，C三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次是14,16,15(单位：厘米)．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为μ1，试比较μ0和μ1的大小．(结论不要求证明)[解析](1)设“丙的高度小于15厘米”为事件M，因为丙的高度小于15厘米的有13厘米、14厘米的两株，所以P(M)＝eq\f(2,7).即丙的高度小于15厘米的概率为eq\f(2,7).(2)设“甲的高度大于乙的高度”为事件N.记A组7株植物依次分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7.B组7株植物依次分别为B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7.从A中选出甲，从B中选出乙共有7×7＝49种情况，其中满足甲的高度大于乙的高度的有：(A4，B1)、(A5，B1)、(A5，B2)、(A6、B1)、(A6、B2)、(A6、B3)、(A7，B1)、(A7，B2)、(A7，B3)、(A7，B4)共10种．所以P(N)＝eq\f(10,49).即甲的高度大于乙的高度的概率为eq\f(10,49).(3)μ0<μ1.15．(2019·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．[解析](1)由题意，所有可能的结果为33，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)，因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq\f(1,9).(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9)，因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq\f(8,9).B组能力提升1．(2020·郑州质检)现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发录取通知书，若这四名学生都愿意进入这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(9,16)C．eq\f(11,16) D．eq\f(7,24)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,4)·A\o\al(3,4),44)＝eq\f(9,16).2．(2020·广西柳州铁路一中、玉林一中联考)共有编号分别为1,2,3,4,5的五个座位，在甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数的概率为(A)A．eq\f(5,13) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,12)[解析]所求事件的概率P＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2),C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,3))＝eq\f(5,13)，选A.3．(2020·四川成都月考)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率(D)A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,6)[解析]每个人的选法有Ceq\o\al(2,4)＝6种，两人选的不同结果有36种，选法相同的有6种，故所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).故选D.4．(2020·安徽芜湖期末)某校高三年级有男生410人，学号为001,002，…，410；女生290人，学号为411,412，…，700对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这700名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为030)；再从这10名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是(D)A．eq\f(1,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(7,10) D．eq\f(4,5)[解析]由30＋70k≤410且k∈N知k＝0,1，…，5.∴抽取的10人中男生6人，女生4人