高考数学一轮复习 练案（55）第八章 解析几何 第六讲 双曲线（含解析）-人教版高三数学试题

[练案55]第六讲双曲线A组基础巩固一、单选题1．(2019·河北保定模拟)若方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是(A)A．m<2或m>6 B．2<m<6C．m<－6或m>－2 D．－6<m<－22．(2020·福建漳州质检)已知点M为双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的左支上一点，F1，F2分别为C左、右焦点，则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|(B)A．1 B．4C．6 D．8[解析]由a2＝1，b2＝8，得a＝1，c＝3则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝|MF1|－|MF2|＋|F1F2|＝－2a3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,2)[解析]因为F是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点，所以F(2,0)．因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．因为P是C上一点，所以4－eq\f(y\o\al(2,P),3)＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以S△APF＝eq\f(1,2)×|PF|×1＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).故选D.4．(2018·课标全国Ⅲ卷)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(2)，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(D)A．eq\r(2) B．2C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)[解析]∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝eq\r(2)，且a>0，b>0，∴eq\f(b,a)＝1，∴C的渐近线方程为y＝±x，∴点(4,0)到C的渐近线的距离为eq\f(|4|,\r(2))＝2eq\r(2).5．(2019·河南中原名校、大连市、赤峰市联考)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是(D)A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．eq\r(5) D．eq\r(6)[解析]抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，联立双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1，解得|y|＝eq\f(\r(1－a2),a)，由题意得eq\f(\r(1－a2),a)＝2，所以a2＝eq\f(1,5)，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋5)＝eq\r(6)，故选D.6．(2019·河南非凡联盟4月联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝(C)A．2或14 B．2C．14 D．2或10[解析]由题意知eq\f(3,a)＝eq\f(3,4)，故a＝4，则c＝5.由|MF2|＝6<a＋c＝9，知点M在C的右支上，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1|＝14.7．(2019·湖南省湘潭市模拟)以双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为(B)A．x2－y2＝1 B．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,9)－y2＝1[解析]由题可知，所求双曲线的顶点坐标为(±3,0)，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以a＝b＝3，则该双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,9)＝1.8．(2020·福建南平质检)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为(C)A．8eq\r(3) B．6eq\r(3)C．4eq\r(3) D．2eq\r(3)[解析]在△F1PF2中，由余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2得4c2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2由||PF1|－|PF2||＝2a，得|PF1|·|PF2|＝4b2△F1PF2的面积为eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝4eq\r(3).故选C.9．(2019·湖北省武汉市部分重点高中联考)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y－2)2＝3相切，则该双曲线的离心率为(B)A．eq\f(4\r(3),3) B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\r(3) D．2eq\r(3)[解析]令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，故双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0.由题意得eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))＝eq\r(3)，整理得a2＝3b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3).选B.二、多选题10．已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，则下列结论正确的是(ACD)A．双曲线C的渐近线方程为y＝±xB．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1D．ΔPF1F2[分析]求出双曲线C渐近线方程，焦点F1，F2，△PFE的面积即可判断．[解析]A．代入双曲线渐近线方程得y＝±x，正确．B.由题意得F1(eq\r(2)，0)，F2(－eq\r(2)，0)，则以F1F2为直径的圆的方程不是x2＋y2＝1，错误．C.F1(eq\r(2)，0)，渐近线方程为y＝x，距离为1，正确．D.由题意得F1(eq\r(2)，0)，F2(－eq\r(2)，0)，设P(x0，y0)，根据eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，解得x0＝±eq\f(\r(6),2)，y0＝±eq\f(\r(2),2)，则△PF1F2的面积为1.正确．故选：ACD.11．双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是(BC)A．该双曲线的离心率为eq\f(5,4)B．该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)xC．点P到两渐近线的距离的乘积为eq\f(144,25)D．若PF1⊥PF2，则△PF1F2[解析]由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝5，∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，A错；渐近线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝0，即y＝±eq\f(4,3)x，B正确；设点P坐标为(x，y)，则16x2－9y2＝144，且点P到两渐近线距离的乘积为eq\f(|4x－3y|,5)·eq\f(|4x＋3y|,5)＝eq\f(144,25)，C正确；∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(||PF1|－|PF2||＝6,|PF1|2＋|PF2|2＝100))，∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－36,2)＝32，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝16，D错；故选BC.12．已知F1、F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值可能为(BCD)A．2 B．3C．4 D．5[解析]不妨设过点F2(c,0)与双曲线的一条渐近线平行的直线为y＝eq\f(b,a)(x－c)，与双曲线另一条渐近线y＝－eq\f(b,a)x交点为P(eq\f(c,2)，－eq\f(bc,2a))，因为点P在以线段F1F2为直径的圆外，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))>0，即(－eq\f(3c,2)，eq\f(bc,2a))·(eq\f(c,2)，eq\f(bc,2a))>0，－eq\f(3c2,4)＋eq\f(b2c2,4a2)>0，－3a2＋b2>0.－3a2＋c2－a2>0，e2>4，∴e>2，故选BCD.三、填空题13．(2020·3月份北京市高考适应性考试)已知双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，则a＝__1__.[解析]双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(x,a)，即x±ay＝0(a>0)，由题意知a＝1.14．(2020·北京清华附中检测)过点P(2，－2)，且与双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.[解析]设双曲线方程为eq\f(x2,2)－y2＝λ，则λ＝eq\f(4,2)－4＝－2，∴双曲线方程为eq\f(x2,2)－y2＝－2，即eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.15．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝eq\f(π,6)，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)X.[解析]根据已知可得，|PF1|＝eq\f(2b2,a)且|PF2|＝eq\f(b2,a)，故eq\f(2b2,a)－eq\f(b2,a)＝2a，所以eq\f(b2,a2)＝2，eq\f(b,a)＝eq\r(2)，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.16．(2020·河南顶尖名校联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右顶点为A1，A2，右焦点为F1，B为虚轴的上端点，在线段BF1上(不含端点)有且只有一点P满足eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PA2,\s\up6(→))＝0，则双曲线离心率为eq\f(1＋\r(5),2).[解析]由题意，F1(c,0)，B(0，b)，则直线BF1的方程为bx＋cy－bc＝0，在线段BF1上(不含端点)有且只有一点满足eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PA2,\s\up6(→))＝0，则PO⊥BF1，且PO＝a.∴a＝eq\f(bc,\r(b2＋c2))，即a2＝eq\f(b2c2,b2＋c2).∵a2＋b2＝c2，∴c4－3a2c2＋a2＝0，e4－3解得e2＝eq\f(3＋\r(5),2)，∴e＝eq\f(1＋\r(5),2).B组能力提升1．(2019·辽宁盘锦模拟)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(D)A．eq\r(5) B．2C．eq\r(3) D．eq\r(2)[解析]如图，作MD⊥x轴于点D，在Rt△MBD中，|BD|＝a，|MD|＝eq\r(3)a，∴M(2a，eq\r(3)a)∴M点在双曲线上，∴a2＝b2，即a＝b.∴e＝eq\r(2).2．(2018·天津高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(C)A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1[解析]由题意知右焦点到渐近线的距离b＝eq\f(d1＋d2,2)＝3，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝eq\r(1＋\f(3,a)2)＝2，∴a2＝3，故双曲线方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，选C.3．(2019·安徽省淮南市模拟)已知点P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋eq\f(1,3)S△IF1F2成立，则双曲线的渐近线方程为(A)A．2eq\r(2)x±y＝0 B．8x±y＝0C.eq\r(2)x±y＝0 D．3x±y＝0[解析]设内切圆半径为r，∵S△IPF1＝S△IPF2＋eq\f(1,3)S△IF1F2，∴eq\f(1,2)|PF1|r＝eq\f(1,2)|PF2|·r＋eq\f(1,3)·eq\f(1,2)|F1F2|·r，∴|PF1|－|PF2|＝eq\f(1,3)|F1F2|，根据双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝∴3a＝c，b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(2)a，eq\f(b,a)＝2eq\r(2)，可得双曲线的渐近线方程为y＝±2eq\r(2)x，即为2eq\r(2)x±y＝0，故选A.4．(2020·四川省联合诊断)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限交点为P，|OP|＝|OF|，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为(D)A．eq\f(5,3) B．eq\f(5,4)C．eq\r(5) D．5[解析]如图所示：∵直线4x－3y＋20＝0