高考数学一轮复习 练案（9）第二章 函数、导数及其应用 第六讲 指数与指数函数（含解析）-人教版高三数学试题

[练案9]第六讲指数与指数函数A组基础巩固一、单选题1．化简：(aeq\s\up7(\f(2,3))beq\s\up7(\f(1,2)))·(3aeq\s\up7(\f(1,2))beq\s\up7(\f(1,3)))÷(eq\f(1,3)aeq\s\up7(\f(1,6))beq\s\up7(\f(5,6)))等于(C)A．6a B．－aC．9a D．9[解析]原式＝eq\f(3,\f(1,3))×aeq\s\up4(\f(2,3)＋\f(1,2)－\f(1,6))beq\s\up4(\f(1,2)＋\f(1,3)－\f(5,6))＝9a.故选C.2．(2020·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2ax－1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是(A)A．(1,6) B．(1,5)C．(0,5) D．(5,0)[解析]当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过点P(1,6)．故选A.3．(2020·德州一模)已知a＝(eq\f(3,5))eq\s\up4(\f(2,5))，b＝(eq\f(2,5))eq\s\up4(\f(3,5))，c＝(eq\f(2,5))eq\s\up4(\f(2,5))，则(D)A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<c<a[解析]因为y＝(eq\f(2,5))x在R上为减函数，eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，所以b<c.又因为y＝xeq\s\up4(\f(2,5))在(0，＋∞)上为增函数，eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，所以a>c，所以b<c<a.故选D.4．(2020·山东菏泽联考)函数y＝(eq\f(1,2))2x－x2的值域为(A)A．[eq\f(1,2)，＋∞) B．(－∞，eq\f(1,2)]C．(0，eq\f(1,2)] D．(0,2][解析]设t＝2x－x2，t≤1，所以y＝(eq\f(1,2))t，t≤1，所以y∈[eq\f(1,2)，＋∞)，故选A.5．(2020·辽宁模拟)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0,0≠1)满足f(1)＝eq\f(1,9)，则f(x)的单调递减区间是(B)A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2][解析]由f(1)＝eq\f(1,9)得a2＝eq\f(1,9).又a>0，所以a＝eq\f(1,3)，因此f(x)＝(eq\f(1,3))|2x－4|.因为y＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．故选B.二、多选题6．(2020·河北保定调研改编)函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则aA．4 B．3C．2 D．1[解析]由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a7．函数f(x)＝ax－eq\f(1,a)(a>0，a≠1)的图象不可能是(ABC)[解析]通解：当a>1时，将y＝ax的图象向下平移eq\f(1,a)个单位长度得f(x)＝ax－eq\f(1,a)的图象，A，B都不符合；当0<a<1时，将y＝ax的图象向下平移eq\f(1,a)个单位长度得f(x)＝ax－eq\f(1,a)的图象，而eq\f(1,a)大于1，故选A、B、C.优解：函数f(x)的图象恒过点(－1,0)，只有选项D中的图象符合．8．(2020·安徽江淮名校联考改编)已知函数f(x)＝eq\f(1,ex＋1)－eq\f(1,2)，则f(x)是(AC)A．奇函数B．偶函数C．在R上是减函数D．在(0，＋∞)上是增函数[解析]函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝eq\f(1,e－x＋1)－eq\f(1,2)＝eq\f(ex,ex＋1)－eq\f(1,2)，则f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数，函数f(x)＝eq\f(1,ex＋1)－eq\f(1,2)显然是减函数．故选A、C.三、填空题9．(2020·保定模拟)函数f(x)＝eq\r(\f(1,2)x－2)的定义域是__(－∞，－1]__.[解析]若使函数f(x)＝eq\r(\f(1,2)x－2)的有意义，自变量x须满足：(eq\f(1,2))x－2≥0，解得：x∈(－∞，－1]，故函数f(x)＝eq\r(\f(1,2)x－2)的定义域为：(－∞，－1]．10．(2020·日喀则模拟)函数f(x)＝ax(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大eq\f(a,2)，则a的值为eq\f(1,2).[解析]因为0<a<1，所以函数f(x)＝ax在[1,2]内是减函数，因为函数f(x)＝ax(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大eq\f(a,2)，所以f(1)－f(2)＝a－a2＝eq\f(a,2)，解得a＝eq\f(1,2)，或a＝0(舍)．11．若函数y＝(a2－1)x在R上为增函数，则实数a的取值范围是a>eq\r(2)或a<－eq\r(2).[解析]由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为增函数，得a2－1>1，解得a>eq\r(2)或a<－eq\r(2).12.(2020·北京丰台一模)已知奇函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x>0，,gx，x<0.))如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝__－2x(x<0)__.[解析]依题意，f(1)＝eq\f(1,2)，所以a＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝(eq\f(1,2))x，x>0.当x<0时，－x>0.所以g(x)＝－f(－x)＝－(eq\f(1,2))－x＝－2x.故填－2x(x<0)．四、解答题13．已知函数f(x)＝(eq\f(2,3))|x|－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于eq\f(9,4)，求a的值．[解析](1)令t＝|x|－a，则f(x)＝(eq\f(2,3))t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y＝(eq\f(2,3))t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是eq\f(9,4)，且eq\f(9,4)＝(eq\f(2,3))－2，所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，即g(0)＝－2，从而a＝2.14．(2020·吉林汪清第六中学月考)已知函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0，且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3,8)．(1)求实数k，a的值；(2)若函数g(x)＝eq\f(fx－1,fx＋1)，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．[解析](1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k·a0＝1，,k·a－3＝8))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1,a＝\f(1,2))).(2)g(x)＝eq\f(\f(1,2)x－1,\f(1,2)x＋1)，因此g(－x)＝eq\f(\f(1,2)－x－1,\f(1,2)－x＋1)＝eq\f([\f(1,2)－x－1]\f(1,2)x,[\f(1,2)－x＋1]\f(1,2)x)＝eq\f(1－\f(1,2)x,1＋\f(1,2)x)＝－g(x)，所以g(x)＝eq\f(\f(1,2)x－1,\f(1,2)x＋1)为奇函数．B组能力提升1．(2020·吉林省实验中学期中)设函数f(x)＝(eq\f(1,2))|x|，则使得f(－3)<f(2x－1)成立的x的取值范围是(B)A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)[解析]∵f(x)＝(eq\f(1,2))|x|，∴函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．∵f(－3)<f(2x－1)，∴|－3|>|2x－1|，∴－3<2x－1<3，解得－1<x<2，∴x的取值范围是(－1,2)．2．已知(eq\f(1,2))x＋(eq\f(1,2))－y>(eq\f(1,2))－x＋(eq\f(1,2))y，则下列关系式正确的是(A)A．x<y B．x>yC．x<－y D．x>－y[解析]不等式可化为(eq\f(1,2))x－(eq\f(1,2))－x>(eq\f(1,2))y－(eq\f(1,2))－y，又f(x)＝(eq\f(1,2))x－(eq\f(1,2))－x在R上单调递减，故必有x<y.故选A.3．(2020·陕西宝鸡月考)若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则aA．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(0，eq\f(1,2))[解析]方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不相等的实数根可转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a的图象有两个交点．①当0<a<1时，如图1，∴0<2a<1时，即0<a<eq\f(1,2).②当a>1时，如图2，而y＝2a综上，0<a<eq\f(1,2).故选D.4．函数f(x)＝(eq\f(1,4))x－(eq\f(1,2))x＋1在[－3,2]上的值域是[eq\f(3,4)，57]，单调增区间为__[1,2]__.[解析]因为x∈[－3,2]，若令t＝(eq\f(1,2))x，则t∈[eq\f(1,4)，8]，y＝t2－t＋1＝(t－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4).当t＝eq\f(1,2)时，ymin＝eq\f(3,4)；当t＝8时，ymax＝57.∴函数的值域为[eq\f(3,4)，57]．又t＝(eq\f(1,2))x为减函数，y＝t2－t＋1的减区间为[eq\f(1,4)，eq\f(1,2)]由eq\f(1,4)≤(eq\f(1,2))x≤eq\f(1,2)得，1≤x≤2，∴f(x)的单调增区间为[1,2]．5．(2020·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝2x－eq\f(1,2|x|).(1)若f(x)＝eq\f(3,2)，求x的值；(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．[解析](1)当x<0时，f(x)＝0，此时f(x)＝eq\f(3,2)无解；当x≥0时，f(x)＝2x－eq\f(1,2x)，由2x－eq\f(1,2x)