高考数学一轮复习 练案（53）第八章 解析几何 第四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（含解析）-人教版高三数学试题

[练案53]第四讲直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础巩固一、单选题1．(2019·温州十校联考)对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是(C)A．相离 B．相切C．相交 D．以上三个选项均有可能[解析]直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为eq\r(3)，而|AC|＝eq\r(2)<eq\r(3)，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交．2．(2020·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(B)A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0[解析]由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，圆心与切点连线的斜率为k＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0，选B.3．(2019·山东济宁期末)圆C1：x2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋4)2＋(y－1)2＝4的公切线的条数为(A)A．4 B．3C．2 D．1[解析]两圆的圆心距|C1C2|＝4>2＋1，∴4．(2020·河北沧州段考)已知直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(B)A．2 B．6C．4eq\r(2) D．2eq\r(10)[解析]∵圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4，∴圆心为C(2,1)，半径为2.由题意可得，直线l：x＋ay－1＝0经过圆C的圆心(2,1)，故有2＋a－1＝0，∴a＝－1，点A(－4，－1)．∵|AC|＝eq\r(－4－22＋－1－12)＝2eq\r(10)，|CB|＝R＝2，∴切线的长|AB|＝eq\r(40－4)＝6，故选B.5．(2019·铜川模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|<eq\r(2－02＋0－12)<2＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.选B.6．(2019·四川南充模拟)若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是(D)A．x＝0 B．y＝1C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.则易知定点P(0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，此时直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝eq\f(1－0,0－1)＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.7．(2019·唐山模拟)若方程eq\r(16－x2)－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围(B)A．－4eq\r(2)≤m≤4eq\r(2) B．－4≤m≤4eq\r(2)C．－4≤m≤4 D．4≤m≤4eq\r(2)[解析]由题意知方程eq\r(16－x2)＝x＋m有实数解，分别作出y＝eq\r(16－x2)与y＝x＋m的图象，若两图象有交点，需－4≤m≤4eq\r(2).二、多选题8．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，则直线的倾斜角可能为(AD)A．eq\f(5π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)[解析]由题意可知，圆心P(2,3)，半径r＝2，∴圆心P到直线y＝kx＋3的距离d＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，由d2＋(eq\f(2\r(3),2))2＝r2，可得eq\f(4k2,1＋k2)＋3＝4，解得k＝±eq\f(\r(3),3).设直线的倾斜角为α，则tanα＝±eq\f(\r(3),3)，又α∈[0，π)，∴α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的值可以是(AB)A．1 B．2C．3 D．4[解析]x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4，∵过P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P、圆心C、两切点构成正方形，PC＝2eq\r(2)，由题意知，直线y＝k(x＋1)与以C为圆心，以2eq\r(2)为半径的圆(x－2)2＋y2＝8相交，∴d＝eq\f(|2k－0＋k|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，即－2eq\r(2)≤k≤2eq\r(2)，故选AB.10．(2020·山东德州期末)已知点A是直线l：x＋y－eq\r(2)＝0上一定点，点P、Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是(AC)A．(0，eq\r(2)) B．(1，eq\r(2)－1)C．(eq\r(2)，0) D．(eq\r(2)－1,1)[解析]如下图所示：原点到直线l距离为d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，由图可知，当AP、AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值，连接OP、OQ，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝eq\r(2)|OP|＝eq\r(2)，由两点间的距离公式得|OA|＝eq\r(t2＋\r(2)－t2)＝eq\r(2)，设A(t，eq\r(2)－t)整理得2t2－2eq\r(2)t＝0，解得t＝0或eq\r(2)，因此，点A的坐标为(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0)，故选AC.三、填空题11．自圆外一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是__x2＋y2＝2__.[解析]由题意知四边形OMPN是正方形，所以|OP|＝eq\r(2)，于是点P的轨迹是圆心在原点，半径为eq\r(2)的圆，其方程是x2＋y2＝2.12．(2019·安徽安庆五校联盟联考)当圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0的圆心到直线l：mx＋y＋m－1＝0的距离最大时，m＝－eq\f(3,4).[解析]∵圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝16，∴圆C的圆心C(2，－3)，∵直线l的方程为mx＋y＋m－1＝0，∴直线l过定点A(－1,1)，∴圆心到直线l：mx＋y＋m－1＝0的距离最大为圆心C与点A(－1,1)，之间的距离∴kl·kAC＝－1，即－m·eq\f(－3－1,2－－1)＝－1，∴m＝－eq\f(3,4).13．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2eq\r(3)，则a＝__1__.[解析]两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇔y＝eq\f(1,a)，又a>0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知eq\f(1,a)＝eq\r(22－\r(3)2)＝1⇒a＝1.四、解答题14．(2019·江西赣州)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若不经过坐标原点的直线l与圆C相切，且直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)设点P在圆C上，求点P到直线x－y－5＝0距离的最大值与最小值．[解析](1)圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，即圆心的坐标为(－1,2)，半径为eq\r(2)，因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，所以可设直线l的方程为x＋y＋m＝0，于是有eq\f(|－1＋2＋m|,\r(1＋1))＝eq\r(2)，得m＝1或m＝－3，因此直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)因为圆心(－1,2)到直线x－y－5＝0的距离为eq\f(|－1－2－5|,\r(1＋1))＝4eq\r(2)，所以点P到直线x－y－5＝0距离的最大值与最小值分别为5eq\r(2)和3eq\r(2).15．(2017·课标Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．[解析](1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为eq\f(－1,x1)·eq\f(－1,x2)＝－eq\f(1,2)，所以不能出现AC⊥BC的情况．(2)证明：由BC的中点坐标为(eq\f(x2,2)，eq\f(1,2))，可得BC的中垂线方程为y－eq\f(1,2)＝x2(x－eq\f(x2,2))．由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－eq\f(m,2).联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(m,2)，,y－\f(1,2)＝x2x－\f(x2,2)，))又xeq\o\al(2,2)＋mx2－2＝0，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(m,2)，,y＝－\f(1,2).))所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－eq\f(m,2)，－eq\f(1,2))，半径r＝eq\f(\r(m2＋9),2).故圆在y轴上截得的弦长为2eq\r(r2－\f(m,2)2)＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．B组能力提升1．(2018·课标Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(A)A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)][解析]由圆(x－2)2＋y2＝2可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝eq\r(2)，△ABP的面积记为S，点P到直线AB的距离记为d，则有S＝eq\f(1,2)|AB|·d.易知|AB|＝2eq\r(2)，dmax＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(12＋12))＋eq\r(2)＝3eq\r(2)，dmin＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(12＋12))－eq\r(2)＝eq\r(2)，所以2≤S≤6，故选A.2．(2019·山东济宁期末)已知圆M：(x－a)2＋y2＝4(a>0)与圆N：x2＋(y－1)2＝1外切，则直线x－y－eq\r(2)＝0被圆M截得线段的长度为(D)A．1 B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)[解析]由题意，eq\r(a2＋1)＝2＋1，∴a＝2eq\r(2)，圆心M(2eq\r(2)，0)到直线x－y－eq\r(2)＝0的距离d＝eq\f(|2\r(2)－0－\r(2)|,\r(2))＝1，∴直线x－y－eq\r(2)＝0被圆M截得线段的长度为2eq\r(4－1)＝2eq\r(3)，故选D.3．(2020·枣庄模拟)已知点A(0，－6)，B(0,6)，若对圆(x－a)2＋(y－3)2＝4上任意一点P，都有∠APB为锐角，则实数a的取值范围是(D)A．(－5eq\r(5)，5eq\r(5))B．(－eq\r(55)，eq\r(55))C．(－∞，－5eq\r(5))∪(5eq\r(5)，＋∞)D．(－∞，－eq\r(55))∪(eq\r(55)，＋∞)[解析]若对圆(x－a)2＋(y－3)2＝4上任意一点P，都有∠APB为锐角，则圆(x－a)2＋(y－3)2＝4与圆x2＋y2＝36外离，即圆心距大于两圆的半径之和，eq\r(a2＋32)>6＋2，解得a2>55，a>eq\r(55)或a<－eq\r(55).选D.4．(2020·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq\r(6)，则圆C的方程为__(x－1)2＋(y＋1)2＝2__.[解析]解法一：所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a)．又∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为eq\r(6)，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq\f(|2a－3|,\r(2))，∴d2＋(eq\f(\r(6),2))2＝r2，即eq\f(2a－32,2)＋eq\f(3,2)＝2a2，解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.解法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝eq\f(|a－b－3|,\r(2))，∴r2＝eq\f(a－b－32,2)＋eq\f(3,2)，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③联立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r＝\r(2)，))故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.5．(2019·天津市和平区模拟)已知a，b为正数，若直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2eq\r(3)，则aeq\r(1＋2b2)的最大值是eq\f(9\r(2),8).[解析]由题意知圆心到直线的距离d＝eq\r(4－3)＝1，∴eq\f(|2|,\r(4a2＋b2))＝1，即4a2＋b2＝4.∴aeq\r(1＋2b2)＝eq\f(1,2\r(2))·2eq\r(2)a·eq\r(1＋2b2)≤eq\f(1,2\r(2))·eq\