高考数学一轮复习 练案（40）第六章 不等式、推理与证明 第三讲 简单的线性规划（含解析）-人教版高三数学试题

[练案40]第三讲简单的线性规划A组基础巩固一、单选题1．关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6≥0，,x－y－2≤0，,x＋y－4≤0))表示的平面区域的面积为(C)A．3 B．eq\f(5,2)C．2 D．eq\f(3,2)[解析]平面区域为一个直角三角形ABC，其中A(3,1)，B(2,0)，C(1,3)，所以面积为eq\f(1,2)|AB|·|AC|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(8)＝2，故选C.[方法总结]求平面区域的面积的方法平面区域的面积问题主要包括两类题型：(1)求已知约束不等式(组)表示的平面区域的面积；(2)根据平面区域面积的大小及关系求未知参数，求解时需抓住两点：(1)正确判断平面区域的形状，如果形状不是常见的规则平面图形，则要进行分割；(2)求参数问题一般涉及一条动直线，因此确定其位置显得更为关键，有时还要对动直线的位置进行分类讨论．2．(2020·黑龙江省大庆市模拟)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－y＋1≥0,x≤3))，则z＝2x－3y的最小值是(B)A．－7 B．－6C．－5 D．－3[解析]作出可行域：并作出直线l0：2x－3y＝0，平移l0到经过点E(3,4)时，目标函数z＝2x－3y，取得最小值为：zmin＝2×3－3×4＝－6.故选B.3．(2020·河北省唐山市模拟)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－3≤0,x＋y－1≥0,x－y＋1≥0))则z＝2x＋y的最大值为(C)A．1 B．2C．7 D．8[解析]作出线性约束条件的可行域，如图示：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－3＝0,x－y＋1＝0))，解得A(2,3)，由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，显然直线过A(2,3)时，z最大，最大值是7，故选C.4．(2020·浙江湖州、衢州、丽水三地市期中)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－6≤0,x＋y－2≥0，,y≥0))则x2＋y2的最小值是(B)A．eq\r(2) B．2C．4 D．8[解析]画出可行域如下图所示，x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方，由图可知，原点到可行域内的点的距离是原点到直线x＋y－2＝0的距离eq\f(|0＋0－2|,\r(2))＝eq\r(2)，其平方为2.故x2＋y2的最小值为2.故选B.5．(2018·天津，2)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤5，,2x－y≤4，,－x＋y≤1，,y≥0，))则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(C)A．6 B．19C．21 D．45[解析]由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示)．作出直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当经过点A(2,3)时，z取最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C.6．(2020·福建龙岩质检)已知实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0,x＋2y＋1≤0,3x＋y－2≤0))，则x－y的取值范围为(B)A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－∞，2] D．[－2,2][解析]设z＝x－y，则y＝x－z，作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)如图：平移直线y＝x－z，由图象可知当直线y＝x－z经过点A(－1,0)时，直线y＝x－z的截距最大，此时z最小，最小值z＝－1－0＝－1，继续向下平移直线y＝x－z，z值越来越大，∴x－y的取值范围为[－1，＋∞)故选B.7．(2020·河北省张家口市、沧州市联考)若x，y变量满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2≥0,x－y＋2≥0,y＋1≥0))，则使z＝x＋2y取得最小值的最优解为(C)A．(－3，－1) B．(－eq\f(6,7)，eq\f(8,7))C．(2，－1) D．(－eq\f(8,7)，eq\f(6,7))[解析]绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，联立直线方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0,y＋1＝0))，可得点的坐标为B(2，－1)．选择C.8．(2020·河北省衡水中学调研)已知x、y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0,x＋y≤2,y≥0))，则|3x＋4y－12|的最小值为(A)A．5 B．12C．6 D．4[解析]根据约束条件画出可行域，如图所示，令z＝3x＋4y－12，转化为斜截式为y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z＋12,4)，即斜率为－eq\f(3,4)的一簇平行线，eq\f(z＋12,4)是其在y轴的纵截距，直线过O(0,0)时，其纵截距最小；过B(1,1)时，其纵截距最大，即－12≤z≤－5，所以5≤|z|≤12，即|z|min＝5，故选A项．9．(2020·安徽黄山模拟)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0,2x－y－2≥0,x＋y－2≤0))，则eq\f(y＋1,x＋1)的取值范围是(A)A．[eq\f(1,3)，eq\f(5,7)] B．[eq\f(1,3)，eq\f(1,2)]C．[eq\f(1,2)，eq\f(5,7)] D．[eq\f(1,2)，2)[解析]画出x，y满足的可行域，如下图：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0,y＝0))，解得B(2,0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－2＝0,x＋y－2＝0))，解得，C(eq\f(4,3)，eq\f(2,3))，eq\f(y＋1,x＋1)可看作定点A(－1，－1)与动点P(x，y)连线的斜率，当动点P在B时，eq\f(y＋1,x＋1)取最小值为eq\f(1,3)，当动点P在C时，eq\f(y＋1,x＋1)取最大值为eq\f(\f(2,3)＋1,\f(4,3)＋1)＝eq\f(5,7)，故eq\f(1,3)≤eq\f(y＋1,x＋1)≤eq\f(5,7)，故答案为A.二、多选题10．若原点O和点P(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值可以是(BC)A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．2[解析]由题意得(－a)·(1＋1－a)<0，解得0<a<2，故选B、C.11．(2020·广东调研改编)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋4≥0，,x－2≤0，,x＋y－2≥0，))且z＝ax＋y的最大值为2a＋6，则a的取值可以是(ACD)A．1 B．－2C．－1 D．0[解析]作出约束条件表示的可行域，如图所示．因为z＝ax＋y的最大值为2a＋6，所以z＝ax＋y在点A(2,6)处取得最大值，则－a≤1，即a

三、填空题12．(2018·课标全国Ⅲ，15)若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3≥0，,x－2y＋4≥0，,x－2≤0，))则z＝x＋eq\f(1,3)y的最大值是__3__.[解析]本题考查简单的线性规划．解法一：根据约束条件作出可行域，如图所示．z＝x＋eq\f(1,3)y可化为y＝－3x＋3z.求z的最大值可转化为求直线y＝－3x＋3z纵截距的最大值，显然当直线y＝－3x＋3z过A(2,3)时，纵截距最大，故zmax＝2＋eq\f(1,3)×3＝3.解法二：画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为(2,3)，(2，－7)，(－2,1)，将三点坐标代入，可知zmax＝2＋eq\f(1,3)×3＝3.13．(2018·北京，13)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是__3__.[解析]由x＋1≤y≤2x作出可行域，如图中阴影部分．设z＝2y－x，则y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y＝x＋1，))得A(1,2)．由图可知，当直线y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)z过A(1,2)时，z取得最小值，zmin＝3.14．(2020·广西桂林、贺州、崇左联合调研)某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥5，,x－y≤2，,x<6.))则该学校今年计划招聘的教师人数最大值为__10__.[解析]设z＝x＋y，作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y>5，,x－y≤2，,x<6.))对应的平面区域如图：由z＝x＋y得y＝－x＋z，平移直线y＝－x＋z，由图象可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的截距最大，此时z最大，但此时最大值取不到，由图象当直线经过整点E(5,5)时，z＝x＋y取得最大值，代入目标函数z＝x＋y得z＝5＋5＝10，即目标函数z＝x＋y的最大值为10，故答案为10.15．(2020·海南五校模拟)已知实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x－y≥－2，,y≥1，))则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为__13__.[解析]画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x－y≥－2，,y≥1))表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.B组能力提升1．设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－2y≤0，,2x＋y≤4，))向量a＝(2x,1)，b＝(1，m－y)，则满足a⊥b的实数m的最小值为(B)A．eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C．eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)[解析]由向量a＝(2x,1)，b＝(1，m－y)，a⊥b得2x＋m－y＝0，整理得m＝y－2x，根据约束条件画出可行域，将求m的最小值转化为求y＝2x＋m在y轴上的截距的最小值，当直线y＝2x＋m经过点A时，m最小，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,2x＋y＝4，))解得A(eq\f(8,5)，eq\f(4,5))，则实数m的最小值为－2×eq\f(8,5)＋eq\f(4,5)＝－eq\f(12,5).故选B.2．(2020·广东省中山市第一中学模拟)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,4x＋3y≤12，))则eq\f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范围是(B)A．[eq\f(2,3)，11] B．[eq\f(3,2)，11]C．[3,11] D．[1,11][解析]eq\f(x＋2y＋3,x＋1)＝1＋2×eq\f(y＋1,x＋1)，表示动点P(x，y)，与定点M(－1，－1)，连线斜率k的两倍加1，由图可知，当点P在A(0,4)点处时，k最大，最大值为11；当点P在B(3,0)点处时，k最小，最小值为eq\f(3,2)；从而eq\f(x＋2y＋3,x＋1)的取值范围是[eq\f(3,2)，11]．3．(2020·河北唐山一中质检)已知a>0，x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3，))若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(B)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．1 D．2[解析]画出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1,x＋y≤3))所表示的区域，作直线z＝2x＋y与直线x＝1交于点A(1，－1)，则点A必在直线y＝a(x－3)上，∴－1＝a(1－3)，∴a＝eq\f(1,2)，故选B.4．(2020·湛江模拟)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≥2，,3x－y－6≤0，))则目标函数z＝(eq\f(1,2))2x＋y的最大值为eq\f(1,8).[解析]绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)．要求解目标函数z＝(eq\f(1,2))2x＋y的最大值，只需求解函数z′＝2x＋y的最小值，结合函数z′＝2x＋y的几何意义可知，函数z′＝2x＋y在点C(1,1)处取得最小值z′min＝2＋1＝3，则目标函数z＝(eq\f(1,2))2x＋y的最大值为(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8).5．(2020·广东江门市模拟)在直角坐标系xOy中，记eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x