高考数学一轮复习 练案（19）第三章 三角函数、解三角形 第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数（含解析）-人教版高三数学试题

[练案19]第三章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数A组基础巩固一、单选题1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(D)A．10π B．9πC．eq\f(9π,10) D．eq\f(10π,9)[解析]单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×eq\f(π,180)＝eq\f(10π,9)，由弧度数的定义知eq\f(10π,9)＝eq\f(l,r)，所以l＝eq\f(10π,9).故选D.2．(2020·河北唐山一中模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为(B)A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]由题意得，点P到原点的距离r＝eq\r(64m2＋9)，∴cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，∴m>0，∴eq\f(4m2,64m2＋9)＝eq\f(1,25)，即m＝eq\f(1,2).3．(2020·河南省驻马店市期末)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]因为点P(tanα，cosα)在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα<0,cosα<0))，所以α为第二象限角，故选B.4．(2020·福建莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R.由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θR＝6，,\f(1,2)θR2＝6.))解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C.5．在△ABC中，若sinA·cosB·tanC<0，则△ABC的形状是(B)A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．不能确定[解析]∵△ABC中每个角都在(0，π)内，∴sinA>0.∵sinA·cosB·tanC<0，∴cosB·tanC<0.若B，C同为锐角，则cosB·tanC>0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.6．集合{α|kπ＋eq\f(π,4)≤α≤kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(C)[解析]当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此时α表示的范围与eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)表示的范围一样，结合图形知选C.7．已知A＝{α|α＝eq\f(k,4)π＋eq\f(π,12)，k∈Z}，当k＝k0(k0∈Z)时，A中的一个元素与角－eq\f(17π,12)终边相同，若k0取最小正值为a，最大负值为b，则a＋b＝(C)A．－12 B．－10C．－4 D．4[解析]与－eq\f(17,12)π终边相同的角的集合为：{β|β＝2kπ－eq\f(17,12)π，k∈Z}，当k＝1时，β＝eq\f(7,12)π，此时A＝{α|α＝eq\f(kπ,4)＋eq\f(π,12)，k∈Z}中的k0取值为2；当k＝0时，β＝－eq\f(17,12)π，此时A＝{α|α＝eq\f(kπ,4)＋eq\f(π,12)，k∈Z}中的k0取值为－6，∴a＋b＝2－6＝－4.8．已知角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sinα等于(D)A．sin2 B．－sin2C．cos2 D．－cos2[解析]因为r＝eq\r(2sin22＋－2cos22)＝2，由任意三角函数的定义，得sinα＝eq\f(y,r)＝－cos2.故选D.二、多选题9．某人从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是(BD)A．eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C．60° D．－60°[解析]因为分针是按顺时针方向旋转的，故分针走过的角是负角，又分针旋转了10分钟，故分针走过的角是－60°.故选B、D.10．(2020·吉林长春普通高中模拟改编)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq\r(3)x上，则角α的取值集合是(AD)A．{α|α＝2kπ－eq\f(π,3)，或α＝2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}B．{α|α＝2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}C．{α|α＝kπ－eq\f(2π,3)，k∈Z}D．{α|α＝kπ－eq\f(π,3)，k∈Z}[解析]因为直线y＝－eq\r(3)x的倾斜角是eq\f(2π,3)，所以终边落在直线y＝－eq\r(3)x上的角的取值集合为{α|α＝2kπ－eq\f(π,3)或α＝2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}或{α|α＝kπ－eq\f(π,3)，k∈Z}．故选A、D.三、填空题11．－2020°角是第__二__象限角，与－2020°角终边相同的最小正角是__140°__，最大负角是__－220°__.[解析]∵－2020°＝－6×360°＋140°，∴－2020°角的终边与140°角的终边相同．∴－2020°角是第二象限角，与－2020°角终边相同的最小正角是140°.又是140°－360°＝－220°，故与－2020°终边相同的最大负角是－220°.12．在直角坐标系xOy中，O是原点，A(eq\r(3)，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为(－1，eq\r(3)).[解析]依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cos120°＝－1，y＝2sin120°＝eq\r(3)，即B(－1，eq\r(3))．13．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq\f(2,3)，面积等于圆面积的eq\f(5,27).则扇形的弧长与圆的周长之比为eq\f(5,18).[解析]设圆的半径为r，则扇形的半径为eq\f(2r,3)，记扇形的圆心角为α，则eq\f(\f(1,2)α\f(2r,3)2,πr2)＝eq\f(5,27)，所以α＝eq\f(5π,6).所以扇形的弧长与圆的周长之比为eq\f(l,c)＝eq\f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq\f(5,18).14．(2020·郑州模拟)函数y＝lg(2sinx－1)＋eq\r(1－2cosx)的定义域为[2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(5π,6))(k∈Z).[解析]要使原函数有意义，必须有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx－1>0，,1－2cosx≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx>\f(1,2)，,cosx≤\f(1,2)，))如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(5π,6))(k∈Z)．B组能力提升1．(2020·河北石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin150°，cos150°)，则α＝(C)A．150° B．135°C．300° D．60°[解析]sin150°＝eq\f(1,2)>0，cos150°＝－eq\f(\r(3),2)<0，角α终边上一点的坐标为(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sinα＝－eq\f(\r(3),2)，又0°≤α<360°，所以角α为300°，故选C.2．(2020·唐山模拟)函数f(x)＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)＋eq\f(tanx,|tanx|)的值域为(D)A．{3,2,1} B．{－1,2,1}C．{－1,0,1} D．{－1,3}[解析]由sinx≠0，cosx≠0，知x终边不在坐标轴上，若x为第一象限角，f(x)＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(cosx,cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝3.若x为第二象限角，f(x)＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(cosx,－cosx)＋eq\f(tanx,－tanx)＝－1.若x为第三象限角，f(x)＝eq\f(sinx,－sinx)＋eq\f(cosx,－cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝－1.若x为第四象限角，f(x)＝eq\f(sinx,－sinx)＋eq\f(cosx,cosx)＋eq\f(tanx,－tanx)＝－1.故选D.3．(2020·河南省洛阳市高三统考)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P(3,4)，则eq\f(sinα＋2cosα,sinα－cosα)＝(A)A．10 B．eq\f(1,10)C．5 D．eq\f(1,5)[解析]根据角α的终边过P(3,4)，利用三角函数的定义，得tanα＝eq\f(4,3)，所以有eq\f(sinα＋2cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋2,tanα－1)＝eq\f(\f(4,3)＋2,\f(4,3)－1)＝eq\f(\f(10,3),\f(1,3))＝10.故选A.4．(2020·广东广州花都模拟)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是《算经十书》中最重要的一种，其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积的计算公式为弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(简称为弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(简称为弧田弦)围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6m，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为eq\f(7,2)m2，则cos∠AOB＝(D)A．eq\f(1,25) B．eq\f(3,25)C．eq\f(1,5) D．eq\f(7,25)[解析]设矢为xm，则由弧田面积公式得eq\f(7,2)＝eq\f(1,2)(6x＋x2)，解得x＝1或x＝－7(舍去)，设圆O的半径为Rm，则