高考数学一轮复习 练案（14）第二章 函数、导数及其应用 第十一讲 导数的概念及运算（含解析）-人教版高三数学试题

[练案14]第十一讲导数的概念及运算A组基础巩固一、单选题1．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)cosx，则f(π)＋f′(eq\f(π,2))＝(C)A．－eq\f(3,π2) B．－eq\f(1,π2)C．－eq\f(3,π) D．－eq\f(1,π)[解析]f(π)＝eq\f(－1,π)，f′(x)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)，f′(eq\f(π,2))＝－eq\f(2,π)，∴f(π)＋f′(eq\f(π,2))＝－eq\f(3,π).故选C.2．(2020·江西上高二中月考)函数f(x)＝eq\f(e2x,x)的导函数为(B)A．f′(x)＝2e2x B．f′(x)＝eq\f(2x－1e2x,x2)C．f′(x)＝eq\f(2e2x,x) D．f′(x)＝eq\f(x－1e2x,x2)[解析]f′(x)＝eq\f(e2x′x－e2x·x′,x2)＝eq\f(2e2x·x－e2x,x2)＝eq\f(2x－1e2x,x2).故选B.3．(2020·福建福州八县联考，11)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lneq\f(1,x)，则f(1)＝(B)A．－e B．2C．－2 D．e[解析]由已知得f′(x)＝2f′(1)－eq\f(1,x)，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.4．(2020·广东深圳模拟)已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq\f(2,x)是奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的倾斜角为(B)A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(2π,3)[解析]由函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋eq\f(2,x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，可得a＝0，则f(x)＝x＋eq\f(2,x)，f′(x)＝1－eq\f(2,x2)，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝1－2＝－1，可得所求切线的倾斜角为eq\f(3π,4)，故选B.5．(2020·湖北黄冈模拟，4)已知直线y＝eq\f(1,m)是曲线y＝xex的一条切线，则实数m的值为(B)A．－eq\f(1,e) B．－eC．eq\f(1,e) D．e[解析]设切点坐标为(n，eq\f(1,m))，对y＝xex求导得y′＝(xex)′＝ex＋xex，若直线y＝eq\f(1,m)是曲线y＝xex的一条切线，则有y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，此时有eq\f(1,m)＝nen＝－eq\f(1,e)，∴m＝－e.故选B.6．(2020·湖南娄底二模，5)已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－eq\f(x,x－2)，则函数图象在x＝－1处的切线方程是(A)A．2x－y＋1＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y－1＝0 D．x＋2y－2＝0[解析]当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－eq\f(x,x＋2)，∴f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x<0)，又f′(－1)＝2，f(－1)＝－1，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.故选A.7．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(B)A．－1 B．0C．2 D．4[解析]由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－eq\f(1,3)，即f′(3)＝－eq\f(1,3)，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×(－eq\f(1,3))＝0.二、多选题8．(2020·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是(ACD)A．(x＋eq\f(1,x))′＝1＋eq\f(1,x2)B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(3x)′＝3x·log3eD．(x2cosx)′＝－2xsinx[解析]因为(x＋eq\f(1,x))′＝1－eq\f(1,x2)，所以选项A不正确；因为(log2x)′＝eq\f(1,xln2)，所以选项B正确；因为(3x)′＝3xln3，所以选项C不正确；因为(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以选项D不正确．故选A、C、D.9．已知f′(x)是函数f(x)的导函数，如果f′(x)是二次函数，f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，eq\r(3))，那么曲线y＝f(x)上任一点处的切线的倾斜角α的值可能为(CD)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(5π,12)[解析]依题意得f′(x)≥eq\r(3)，即曲线y＝f(x)在任意一点处的切线斜率不小于eq\r(3)，故其倾斜角为不小于eq\f(π,3)的锐角，故选C、D.10．(2020·山东模拟改编)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中不具有T性质的是(BCD)A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝ex D．y＝x3[解析]设函数y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，则由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可．y＝f(x)＝sinx的导函数为f′(x)＝cosx，则f′(x1)·f′(x2)＝－1有无数组解，故函数y＝sinx具有T性质；y＝f(x)＝lnx的导函数为f′(x)＝eq\f(1,x)，则f′(x1)·f′(x2)＝eq\f(1,x1x2)>0，故函数y＝lnx不具有T性质；y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)＝ex，则f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2>0，故函数y＝ex不具有T性质；y＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，则f′(x1)·f′(x2)＝9xeq\o\al(2,1)xeq\o\al(2,2)≥0，故函数y＝x3不具有T性质．故选B、C、D.三、填空题11．(1)(2018·天津，10)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__e__；(2)(2020·长春模拟)若函数f(x)＝eq\f(lnx,x)，则f′(2)＝eq\f(1－ln2,4)；(3)函数y＝x·tanx的导数为y′＝tanx＋eq\f(x,cos2x).[解析](1)本题主要考查导数的计算．∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝ex(lnx＋eq\f(1,x))，∴f′(1)＝e1×(ln1＋1)＝e.(2)由f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，得f′(2)＝eq\f(1－ln2,4).(3)y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·(eq\f(sinx,cosx))′＝tanx＋x·eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝tanx＋eq\f(x,cos2x).12．(2020·广州调研)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为__1＋ln_2__.[解析]由y＝xlnx得，y′＝lnx＋1.设直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切于点P(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(lnx0＋1)(x－x0)，又直线y＝kx－2恒过点(0，－2)，所以点(0，－2)在切线上，把(0，－2)以及y0＝x0lnx0代入切线方程，得x0＝2，故P(2,2ln2)．把(2,2ln2)代入直线方程y＝kx－2，得k＝1＋ln2.13．(2020·上饶模拟)若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为eq\r(2).[解析]因为定义域为(0，＋∞)，由y′＝2x－eq\f(1,x)＝1，解得x＝1，则在P(1,1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).B组能力提升1．(2020·湖南长沙长郡中学模拟)等比数列{an}中，a2＝2，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)(x－a3)，则f′(0)＝(B)A．8 B．－8C．4 D．－4[解析]f′(x)＝(x－a1)(x－a2)(x－a3)＋x[(x－a1)(x－a2)(x－a3)]′，∴f′(0)＝－a1a2a3＝－aeq\o\al(3,2)＝－8.2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(D)[解析]由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.3．(2020·山西太原模拟)已知函数f(x)＝xlnx＋a的图象在点(1，f(1))处的切线经过原点，则实数a的值为(A)A．1 B．0C．eq\f(1,e) D．－1[解析]∵f(x)＝xlnx＋a，∴f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，f(1)＝a，∴切线方程为y＝x－1＋a，∴0＝0－1＋a，解得a＝1.故选A.4．(2020·四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(C)A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)[解析]设f′(3)，f(3)－f(2)＝eq\f(f3－f2,3－2)，f′(2)分别表示直线n，m，l的斜率，数形结合知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选C.5．已知函数f(x)＝asinx＋bx3＋4(a，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2014)