高考数学一轮复习 练案（8）第二章 函数、导数及其应用 第五讲 幂函数与二次函数（含解析）-人教版高三数学试题

[练案8]第五讲幂函数与二次函数A组基础巩固一、选择题1．(2020·河北武邑中学调研)若幂函数的图象过点(2，eq\f(1,4))，则它的单调递增区间是(D)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)[解析]设y＝xα，则eq\f(1,4)＝2α，∴α＝－2，∴y＝x－2，故选D.2．若函数f(x)＝－x2＋4ax在[1,3]内不单调，则实数a的取值范围是(D)A．[eq\f(1,2)，eq\f(3,2)] B．[eq\f(1,2)，eq\f(3,2))C．(eq\f(1,2)，eq\f(3,2)] D．(eq\f(1,2)，eq\f(3,2))[解析]由题意得：1<2a<3，得eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).3．(2020·湖北鄂东南省级示范高中教育改革联盟期中)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为(D)A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<mC．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1[解析]取x＝eq\f(1,2)，由图易知eq\f(1,2)<(eq\f(1,2))m<1<(eq\f(1,2))n<(eq\f(1,2))－1，∴－1<n<0<m<1.故选D.4．(2020·柳州模拟)已知幂函数f(x)＝x－eq\f(1,2)，若f(a＋1)<f(10－2a)，则实数a的取值范围是(C)A．(－1,3) B．(－∞，5)C．(3,5) D．(3，＋∞)[解析]由题意得，幂函数f(x)＝x－eq\f(1,2)在定义域(0，＋∞)上单调递减，所以由f(a＋1)<f(10－2a)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>10－2a，,10－2a>0，))解得3<a<5.5．(2020·河北唐山一中模拟)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(C)A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0[解析]因为f(x)的对称轴为x＝－eq\f(1,2)，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示，由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0，故选C.6．(2020·沧州质检)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x都有f(x＋1)＝f(－x)，那么(D)A．f(－2)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(－2) D．f(0)<f(2)<f(－2)[解析]由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)的图象关于直线x＝eq\f(1,2)对称，又抛物线f(x)开口向上，∴f(0)<f(2)<f(－2)．7．(2020·吉林长春外国语学校期中)已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(C)A．[1，＋∞) B．[0,2]C．[1,2] D．(－∞，2][解析]y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1，此时ymin＝2，故m≥1，又x＝0时y＝3，x＝2时y＝3，因此m≤2，故选C.二、多选题8．(2020·江西上饶潘阳一中第一次月考改编)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则mA．1 B．2C．0 D．3[解析]由幂函数定义知m2－3m＋3＝1，得m＝1或m＝2，经检验m＝1和m9．如图给出四个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是(BCD)A．①y＝xeq\f(1,3) B．②y＝x2C．③y＝xeq\f(1,2) D．④y＝x－1[解析]根据常见幂函数的图象判断或取特殊值，逐个验证知B、C、D正确．10．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象不可能是(ABC)[解析]由a＋b＋c＝0和a>b>c知a>0，c<0，由c<0，不可能是A，B，又a>0，不可能是C.故选A、B、C.三、填空题11．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为__1__[解析]∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而当m＝0或2时，f(x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f(x)＝x－4为偶函数．∴m＝1.12．设二次函数f(x)＝ax2＋bx－2(a≠0)，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝__－2__.[解析]由对称性知f(x1＋x2)＝f(－eq\f(b,a))＝a×eq\f(b2,a2)＋b×(－eq\f(b,a))－2＝－2.13．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围是__(－∞，－3]__.[解析]只需要在x∈(0,1]时，(x2－4x)min≥m即可．因为函数f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，(x2－4x)min＝1－4＝－3.所以m≤－3.14．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，不等式f(x)<－2x的解集为(1,3)，且方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，则f(x)的解析式为__f(x)＝x2－6x＋3__[解析]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)．由题意得方程f(x)＝－2x的两个根分别是1,3，即ax＋(b＋2)x＋c＝0的两个根分别是1,3，故由一元二次方程根与系数的关系可得－eq\f(b＋2,a)＝4，eq\f(c,a)＝3，∴b＝－4a－2，c＝3a，所以f(x)＝ax2－2(2a＋1)x＋3a.再根据方程f(x)＋6a＝0，即ax2－2(2a＋1)x＋9a＝0有两个相等的实根，得Δ＝4(2a＋1)2－36a2＝0，解得a＝1或a＝－eq\f(1,5)(舍去)，∴f(x)＝x2－6x＋3.B组能力提升1．(2020·吉林模拟)已知幂函数f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的图象关于y轴对称，则下列选项正确的是(B)A．f(－2)>f(1) B．f(－2)<f(1)C．f(2)＝f(1) D．f(－2)>f(－1)[解析]由幂函数f(x)＝xn的图象关于y轴对称，可知f(x)＝xn为偶函数，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，则f(－2)＝f(2)＝eq\f(1,4)，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)<f(1)，故选B.2．(多选题)(2020·甘肃武威模拟改编)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：其中正确的结论是(AD)A．b2>4ac B．2a－C．a－b＋c＝0 D．5a<b[解析]∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1,2a－b＝0.B错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，又函数的图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即53．(2020·陕西黄陵中学模拟)中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，后来用它表示上、下两个底面均为矩形(不能全为正方形)、四条侧棱的延长线不交于一点的六面体．关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一，”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为(B)A．eq\f(39,2) B．eq\f(75,2)C．39 D．eq\f(601,16)[解析]设下底面的长、宽分别为x，y，则2(x＋y)＝18，x＋y＝9，则x∈[eq\f(9,2)，9)．则“刍童”的体积为eq\f(1,6)×3×[2(6＋x)＋(2x＋3)y]＝eq\f(1,2)(30＋2xy＋y)＝eq\f(1,2)(－2x2＋17x＋39)＝－x2＋eq\f(17,2)x＋eq\f(39,2)，当x＝eq\f(9,2)时，“刍童”的体积取得最大值，最大值为eq\f(75,2)，故选B.4．已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则aA．eq\f(5,4) B．1或eq\f(5,4)C．－1或eq\f(5,4) D．－5或eq\f(5,4)[解析]f(x)＝－4(x－eq\f(a,2))2－4a，对称轴为x＝eq\f(a,2)，①当eq\f(a,2)≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上递增，∴ymax＝f(1)＝－4－a2，令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．②当0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2时，ymax＝f(eq\f(a,2))＝－4a，令－4a＝－5，得a＝eq\f(5,4).③当eq\f(a,2)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上递减，∴ymax＝f(0)＝－4a－a2，令－4a－a得a＝－5或a＝1(舍去)，综上所述，a＝eq\f(5,4)或－5.故选D.5．函数f(x)＝x2＋2x，若f(x)>a在区间[1,3]上满足：①恒有解，则实数a的取值范