新高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课时作业63 随机事件的概率（含解析）-人教版高三数学试题

课时作业63随机事件的概率一、选择题1．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为(D)A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红球、黑球各一个解析：红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”这个事件，故不是对立事件．2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一个产品是正品(甲级)的概率为(C)A．0.95 B．0.97C．0.92 D．0.08解析：记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq\f(1,2)，乙获胜的概率为eq\f(1,3)，则下列说法正确的是(A)A．甲获胜的概率是eq\f(1,6) B．甲不输的概率是eq\f(1,2)C．乙输了的概率是eq\f(2,3) D．乙不输的概率是eq\f(1,2)解析：“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，故A正确；“乙输了”等于“甲获胜”，其概率为eq\f(1,6)，故C不正确；设事件A为“甲不输”，则A是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)(或设事件A为“甲不输”，则A是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3))，故B不正确；同理，“乙不输”的概率为eq\f(5,6)，故D不正确．4．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为(D)A．15% B．20%C．45% D．65%解析：因为某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，现在能为A型病人输血的有O型和A型，故能为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.5．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为(C)A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6)C.eq\f(2,9) D.eq\f(5,18)解析：由18组随机数得，恰好在第三次停止摸球的随机数是142,112,241,142，共4组，所以恰好第三次就停止摸球的概率约为eq\f(4,18)＝eq\f(2,9)，故选C.6．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n21001000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(C)A.eq\f(7,15) B.eq\f(2,5)C.eq\f(11,15) D.eq\f(13,15)解析：由题意，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1200＋2100＝3300，由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为eq\f(3300,4500)＝eq\f(11,15).7．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为(D)A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45解析：设[25,30)上的频率为x，由所有矩形面积之和为1，即x＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45.8．(多选题)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是(ABC)A．P(B)＝eq\f(7,10) B．P(A∪B)＝eq\f(9,10)C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)解析：由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P(B)＝eq\f(7,10)，P(A)＝eq\f(2,10)，P(C)＝eq\f(1,10)，则P(A∪B)＝eq\f(9,10)，故A、B、C正确，D错误．故选ABC.二、填空题9．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋eq\x\to(B)发生的概率为eq\f(2,3).解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，显然A与eq\x\to(B)互斥，从而P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).10．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有6_912人．解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－eq\f(14,50)＝eq\f(18,25)，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9600×eq\f(18,25)＝6912(人)．11．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为eq\f(1,12).解析：从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数，有n＝eq\f(9×8,2)＝36(种)情形，其中一个数是另一个数的3倍的事件有{1,3}，{2,6}，{3,9}，共3种情形，所以由古典概型的概率计算公式可得其概率是P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).12．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为eq\f(10,21).解析：从袋中任取2个球共有Ceq\o\al(2,15)＝105(种)取法，其中恰有1个白球、1个红球共有Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,5)＝50(种)取法，所以所取的球恰有1个白球、1个红球的概率为eq\f(50,105)＝eq\f(10,21).三、解答题13．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为eq\f(6,300)＝eq\f(1,50)，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)方法1：设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝eq\f(4,15)，即这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(4,15).方法2：这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(3＋1,15)＝eq\f(4,15).14．一个盒子里装有三张卡片，分别标记为数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解：由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．(1)设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为eq\f(1,9).(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq\f(8,9).15．某同学同时掷两颗均匀的正方体骰子，得到的点数分别为a，b，则椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率e>eq\f(\r(3),2)的概率是eq\f(1,3).解析：同时掷两颗均匀的正方体骰子，得到的点数分别为a，b，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,6)种情况．当a>b时，离心率e＝eq\r(1－\f(b2,a2))>eq\f(\r(3),2)，所以a>2b，符合a>2b的有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,b＝1))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝1))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝1))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝1))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝2))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝2))，共6种情况．同理，当a<b时，符合离心率e>eq\f(\r(3),2)的情况也有6种．综上可知，离心率e>eq\f(\r(3),2)的概率为eq\f(6＋6,C\o\al(1,6)C\o\al(1,6))＝eq\f(1,3).16．无重复数字的五位数a1a2a3a4a5，当a1<a2，a2>a3，a3<a4，a4>a5时称为波形数，则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是eq\f(2,15).解析：∵a2>a1，a2>a3，a4>a3，a4>a5，∴a2