高考数学二轮复习 专题过关检测（十五）空间几何体与空间位置关系 文-人教版高三全册数学试题

专题过关检测（十五）空间几何体与空间位置关系A级——“12＋4”提速练1．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的关系为()A．平行 B．相交C．直线b在平面α内 D．平行或直线b在平面α内解析：选D依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．2.如图，正方形O′A′B′C′的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是()A．12cm B．16cmC．4(1＋eq\r(3))cm D．4(1＋eq\r(2))cm解析：选B由直观图可得原图如图所示，且OA＝2cm，OB＝2O′B′＝4eq\r(2)cm，所以AB＝6cm，所以周长为16cm.3．(2019·广东省七校联考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线AC与A1B所成的角为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选C如图，连接CD1，AD1，则A1B∥CD1，∴∠ACD1是异面直线AC与A1B所成的角或其补角．易知△ACD1是等边三角形，∴∠ACD1＝60°，∴异面直线AC与A1B所成的角为60°.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为()A．2π B．5πC．8π D．10π解析：选C由题得几何体原图是球被切割后剩下的eq\f(1,4)，所以它的表面积由三个部分组成，所以S＝eq\f(1,4)×4π×22＋eq\f(1,2)×π×22＋eq\f(1,2)×π×22＝8π.5．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题中错误的是()A．如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥βB．如果m⊂α，α∥β，那么m∥βC．如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥lD．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β解析：选D对于A，如果m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，因为n⊥β，则α⊥β，故正确；对于B，如果m⊂α，α∥β，那么m与β无公共点，则m∥β，故正确；对于C，如果α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l，故正确；对于D，如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α与β的关系不确定，故错误．6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A．2 B．4＋2eq\r(2)C．4＋4eq\r(2) D．4＋6eq\r(2)解析：选C由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC­A1B1C1，其直观图如图所示，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝eq\r(2)，∠C＝90°，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋2eq\r(2))×2＝4＋4eq\r(2).7.如图，在三棱锥P­ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：选BA中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.8．如图，圆锥形容器的高为h，容器内水深为h1，且h1＝eq\f(1,3)h，若将圆锥形容器倒置，水深为h2，则h2＝()A.eq\f(2,3)h B.eq\f(19,27)hC.eq\f(\r(3,6),3)h D.eq\f(\r(3,19),3)h解析：选D设圆锥形容器的底面积为S，则倒置前水面的面积为eq\f(4,9)S，所以水的体积V＝eq\f(1,3)Sh－eq\f(1,3)×eq\f(4,9)S(h－h1)＝eq\f(19,81)Sh.设倒置后水面的面积为S′，则eq\f(S′,S)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h2,h)))2，所以S′＝eq\f(Sh\o\al(2,2),h2)，所以水的体积V＝eq\f(1,3)S′h2＝eq\f(Sh\o\al(3,2),3h2)，所以eq\f(19,81)Sh＝eq\f(Sh\o\al(3,2),3h2)，解得h2＝eq\f(\r(3,19),3)h.9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(7),2)解析：选C如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝eq\r(5)，则tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2)，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为eq\f(\r(5),2).10．(2019·贵州适应性考试)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n.其中正确命题的序号是()A．①④ B．①②C．②③④ D．④解析：选D对于①，同垂直于一个平面的两个平面可能相交，命题①错误；对于②，在两个互相垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，命题②错误；对于③，直线m与n可能异面，命题③错误；对于④，由面面平行的性质定理知命题④正确．故正确命题的序号是④，选D.11．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D­ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的结论是()A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④解析：选B由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，结合②知③正确；由①知④不正确．故选B.12.如图，已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，则多面体E­ABCD的外接球的表面积为()A.eq\f(16π,3) B．8πC．16π D．64π解析：选C由题知△EAB为等边三角形，设球心为O，O在平面ABCD的射影为矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影为△EAB的重心G，又由平面EAB⊥平面ABCD，则△OGA为直角三角形，OG＝1，AG＝eq\r(3)，所以R2＝4，所以多面体E­ABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π.13．(2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________________________.解析：已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.答案：若m∥α且l⊥α，则l⊥m成立(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α)14.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B­ACC1D的体积为________．解析：取AC的中点O，连接BO(图略)，则BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D.因为AB＝2，所以BO＝eq\r(3).因为D为棱AA1的中点，AA1＝4，所以AD＝2，所以S梯形ACC1D＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以四棱锥B­ACC1D的体积为eq\f(1,3)×6×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)15．在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，点M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M­PBC的体积为________．解析：因为eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，所以点P到平面BCC1B1的距离是D1到平面BCC1B1距离的eq\f(1,3)，即三棱锥P­MBC的高h＝eq\f(D1C1,3)＝1.M为线段B1C1上的动点，所以S△MBC＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，所以VM­PBC＝VP­MBC＝eq\f(1,3)×eq\f(9,2)×1＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)16．(2020届高三·广东七校联考)在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．解析：由题意知，球内切于四棱锥P­ABCD时半径最大．设该四棱锥的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，OP，则VP­ABCD＝VO­ABCD＋VO­PAD＋VO­PAB＋VO­PBC＋VO­PCD，即eq\f(1,3)×2a×2a×2a＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a2＋2×\f(1,2)×2a×2a＋2×\f(1,2)×2a×2\r(2)a))×r，解得r＝(2－eq\r(2))a.答案：(2－eq\r(2))aB级——拔高小题提能练1．(2019·沈阳质量监测(一))如图，四棱锥P­ABCD的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P在球面上，则四棱锥P­ABCD体积的最大值为()A．8 B.eq\f(8,3)C．16 D.eq\f(16,3)解析：选D设球的半径为R，由题知4πR2＝16π，则R＝2，再设大圆内的矩形长、宽分别为x，y，由题知x2＋y2＝16，则矩形面积xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝8，当且仅当x＝y时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大．四棱锥P­ABCD的高的最大值为2，故四棱锥P­ABCD体积的最大值为eq\f(1,3)×8×2＝eq\f(16,3)，选D.2．(2019·合肥第二次质量检测)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()A．2对 B．3对C．4对 D．5对解析：选C由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且顶点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥S­ABCD，平面SCD⊥平面ABCD.因为AD⊥DC，BC⊥DC，且平面SCD∩平面ABCD＝DC，所以AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，所以平面SAD⊥平面SCD，平面SBC⊥平面SCD.又由三视图知SC⊥SD，同时由AD⊥平面SCD，知AD⊥SC，又SD∩AD＝D，所以SC⊥平面SAD，所以平面SBC⊥平面SAD.综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对，故选C.3．(2019·沈阳质量监测)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下面结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③异面直线AC与A1B成60°角；④AC1与底面ABCD所成角的正切值是eq\r(2).解析：对于①，BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1，①正确；对于②，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，连接A1C1，又A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1，∴AC1⊥平面CB1D1，②正确；对于③，易知AC∥A1C1，异面直线AC与A1B所成的角为∠BA1C1，连接BC1，又△A1C1B为等边三角形，∴∠BA1C1＝60°，异面直线AC与A1B成60°角，③正确；对于④，AC1与底面ABCD所成的角的正切值是eq\f(CC1,AC)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)≠eq\r(2)，故④不正确．故正确的结论为①②③.答案：①②③4．已知在正四棱锥S­ABCD中，SA＝6eq\r(3)，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，因为在正四棱锥S­