线性代数 清华版25

§2.5矩阵的初等变换和初等矩阵引例:求解线性方程组一、高斯消元法解线性方程组解:①

②③2②

③③2①④3①②2③+5②④–3②③2④③

④用“回代〞的方法求出解.于是得解:其中x3可以任意取值.或令x3=c,方程组的解可记作:(2)其中c为任意常数.或1.上述解方程组的方法称为消元法．2.始终把方程组看作一个整体变形,用到如下三种变换:归纳以上过程:(3)一个方程加上另一个方程的k倍:(2)以不等于0的数k乘某个方程:(1)交换方程次序:

i与j相互替换;以i

k替换i;以i+k

j

替换i.由于三种变换都是可逆的,所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种变换是同解变换.3.上述三种变换都是可逆的.因为在上述变换过程中,未知量并未参与本质性运算,仅仅只对方程组的系数和常数进行运算,只因某未知量前的系数化为0,而不显含该未知量.假设记那么对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵)的变换.用矩阵的初等行变换解方程组(1).r1

r2r32①

②③2r2–r3r3–2r1r4–3r1②

③③2①④3①r22②2r3+5r2r4–3r2③+5②④–3②r3–2r4r4

r3r2–r3r1–r3r1–r2③2④③

④②

③①

③①

②B6对应的方程组为:或令x3=c(c为任意常数),方程组的解可记作:矩阵B5和B6都称为矩阵行阶梯形矩阵.特点(1).可划出一条阶梯线,线的下方全为零;特点(2).每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线上的第一个元素为非零元,即非零行的阶梯线上的第一个元素为非零元.行阶梯矩阵B6还称为行最简形矩阵,即非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其它元素都为零.

注意:

行最简形矩阵是由矩阵(方程组)唯一确定的,行阶梯形矩阵的非零行的行数也是由矩阵(方程组)唯一确定的.对任何矩阵Am

n,总可以经过有限次初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.当未知数的个数大于有效方程的个数〔即行阶梯形矩阵中非零行的行数〕时，有自由未知量，自由未知量可以取任意值.自由未知量的选取不是唯一的，但其个数是唯一的.一般取每个非零行的第一个非零元对应的未知量为根本未知量，其余的为自由未知量.一般地，对于线性方程组通过高斯消元法将其增广矩阵化为其中〔1〕方程组有解〔2〕在有解的情况下：〔I〕假设r=n,那么方程组有唯一解：〔II〕假设r<n,那么方程组有无穷多解：取可得方程组的解为假设方程组为齐次方程组，那么方程组一定有解.〔I〕假设r=n,那么方程组有唯一解：〔II〕假设r<n,那么方程组有无穷多解：取可得方程组的解为特别地，假设齐次方程组中方程的个数小于未知数的个数，那么方程组一定有无穷多解.用高斯消元法解线性方程组的过程可在方程组的的系数矩阵或增广矩阵上实现，所用步骤：〔1〕交换两行；〔2〕某一行乘以非零数k；〔3〕将某一行乘以数k加到另一行上.二、矩阵的初等变换与初等矩阵定义1:下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)对调两行(对调i,j两行,记作rirj);〔对换变换〕(2)以非零数k乘以某一行的所有元素(第i行乘k,记作rik);(倍乘变换)(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的对应元素上去(第j行的k倍加到第i行上去,记作ri+krj).〔倍加变换〕1、矩阵的初等变换类似地，可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r〞换成“c〞)．

定义2:

矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.矩阵的初等变换是矩阵的一种根本运算,应用广泛.初等变换的逆变换仍为初等变换且变换类型相同.ri

rj的逆变换为rj

ri;ri

k的逆变换为ri(1/k),或ri

k;ri+k

rj的逆变换为ri+(–k)

rj,或ri–k

rj.2、初等矩阵定义:

由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.对调两行或两列;以非零数k乘某行或某列;以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去.对调两行或两列对调E中第i,j两行(或列),得初等对换矩阵Eij:第i行第j行Eij=第i列第j列以非零数k乘某行或某列以数k

0乘单位矩阵的第i行(或列)得初等倍乘矩阵

Ei(k).第i行第i列以数k乘某行(列)加到另一行(列)上去第i行第j行以k乘E的第i行加到第j行上,或以k乘E的第j列加到第i列上得初等倍加矩阵Eij(k).第i列第j列用m阶初等矩阵Eij左乘A=(aij)m

n,得EijA=3、初等矩阵在矩阵乘法中的作用第i行第j行用m阶初等矩阵Eij左乘A=(aij)m

n,相当于对矩阵A施行第一种初等行变换:把A的第i行与第j行对调(ri

rj).第i列第j列用n阶初等矩阵E

ij右乘A=(aij)m

n,得相当于对矩阵A施行第一种初等列变换:把A的第i列与第j列对调(ci

cj).第i行以Ei

(k)左乘矩阵A=(aij)m

n,得相当于以数k乘A的第i行(ri

k).类似地,以Ei(k)右乘矩阵A=(aij)m

n,其结果相当于以数k乘A的第i列(ci

k).以Eij(k)左乘矩阵A=(aij)m

n,相当于把A的第i行乘数k加到A的第j行上(rj+kri).第i行第j行类似地,以Eij(k)右乘矩阵A=(aij)m

n,其结果相当于把A的第j列乘数k加到A的第i列上(ci+kcj).第i列第j列

结论:

设A是一个m

n矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施行一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.例1计算4、初等矩阵的逆矩阵初等变换都是可逆的，从而初等矩阵都可逆.因为ri

rj的逆变换为rj

ri;ri

k的逆变换为ri(1/k),或ri

k;ri+k

rj的逆变换为ri+(–k)

rj,或ri–k

rj.初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵所以也可以这样理解：因为所以初等矩阵均可逆.又因为所以例1.试求及解：===结论:mn矩阵可以经过假设干次初等变换化为如下形式的矩阵：其中二、利用初等变换求逆矩阵定理1：可逆矩阵可以通过假设干次初等变换化为单位矩阵.证明：设A为可逆矩阵，首先A初等行变换行简化阶梯形矩阵U因为A可逆，所以U＝I即A可以通过初等行变换化为单位矩阵.推论1：可逆矩阵A可以表示为假设干个初等矩阵的积.证明：由定理1可知，存在s个初等矩阵使得从而这里仍为初等矩阵，故结论成立.例4将表示成初等矩阵的乘积。解：由故有在推论1中，我们得到对矩阵A和I做相同的初等行变换，当A变为I时，I变为或者，由对矩阵A和I做相同的初等列变换，当A变为I，I变为上面两个式子说明：由上面的分析得到：推论2：假设对可逆矩阵A和同阶单位阵I做同样的初等行变换，那么当A变为I时，I变为〔列〕，即初等行变换初等列变换初等行变换初等列变换也可写为例2:

设A=求A-1.解:r2–2r1r3–3r1r1+r2r3–r2r1–2r3r2–5r3r2(–2)r3(–1)所以同样,对矩阵方程AX=B,其中A为n阶方阵,B为ns阶矩阵,如果A可逆,那么X=A-1B，且也就是说,一系列初等行变换将A化为E的同时也将B化为了A-1B.对于n元线性方程组Ax=b，当A可逆时，方程组有唯一解这里例2:

求矩阵X,使AX=B,其中解:假设A可逆,那么X=A-1B.r2–2r1r3–3r1r1+r2r3–r2r1–2r3r2–5r3r2(–2)r3(–1)所以如果要求Y=CA-1,则可对矩阵作初等列变换.列变换即可求得Y=CA-1.也可改为对(AT|CT)作初等行变换.行变换即可求得YT=(AT)-1CT=(A-1)TCT,从而求得Y=CA-1.例3:n阶方阵A=有元素的代数余子式之和:求A中所解:

因为|A|=2

0,所以A可逆.又A*=|A|A-1.ri–ri+1i=1,2,···,n-1因为A*=|A|A-1,故A*=2A-1.即所以三、小结1.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换2.利用