异面直线练习1含答案

异面直线练习1一、选择题1．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 ()A．异面 B．相交C．平行 D．异面或相交解析：如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB与B′C′为两条异面直线，那么BB′与AC′两条直线都与AB、B′C′相交，BB′与AC′异面，而BB′、BC′都与AB、B′C′相交，BB′、BC′却相交．答案：D2．a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b ()A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线解析：c与b不可能是平行直线，否那么与条件矛盾．答案：C3．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝M，那么平面ABC与β的交线是 ()A．直线AC B．直线ABC．直线BC D．直线CM解析：通过直线AB与点C的平面，为面ABC，M∈AB.∴M∈面ABC，而C∈面ABC，又∵M∈β，C∈β.∴面ABC和β的交线必通过点C和点M.答案：D4．(2023年重庆)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，eq\r(2)和a，且长为a的棱与长为eq\r(2)的棱异面，那么a的取值范围是 ()A．(0，eq\r(2)) B．(0，eq\r(3))C．(1，eq\r(2)) D．(1，eq\r(3))解析：构造四面体ABCD，使AB＝a，CD＝eq\r(2)，AD＝AC＝BC＝BD＝1，取CD的中点E，那么AE＝BE＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(2),2)>a,0<a<eq\r(2)，应选A.答案：A5．(2023年大同调研)直三棱柱ABC－A1B1C1中，假设∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，那么异面直线BA1与AC1所成的角等于 A．30° B．45°C．60° D．90°解析：分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，那么BA1∥DE，AC1∥EF，所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF(或其补角)，设AB＝AC＝AA1＝2，那么DE＝EF＝eq\r(2)，DF＝eq\r(6)，由余弦定理得，∠DEF＝120°.答案：C6．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作 A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：如下图．AC1，AC2，AC3，AC4即为所求．答案：D二、填空题7．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，那么直线PC与AB所成角的大小是________．解析：分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，那么∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝eq\r(2)a，DE＝eq\r(2)a，FE＝eq\r(AF2＋AE2)＝eq\r(6)a，根据余弦定理，得cos∠FDE＝eq\f(2a2＋2a2－6a2,2×\r(2)a×\r(2)a)＝－eq\f(1,2)，所以∠FDE＝120°.所以PC与AB所成角的大小是60°.答案：60°8．a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，那么a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．那么在上面的结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析：①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．答案：①②④9．(2023年南京一模)在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，那么表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN；因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．答案：②④三、解答题10.如下图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点．解：(1)∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)＝2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴eq\f(AH,HD)＝eq\f(CG,GD)＝3，即AH∶HD＝3∶1.(2)证明：∵EF∥GH，且eq\f(EF,AC)＝eq\f(1,3)，eq\f(GH,AC)＝eq\f(1,4)，∴EF≠GH.∴四边形EFGH为梯形．令EH∩FG＝P，那么P∈EH，而EH⊂平面ABD，所以P∈面ABD，P∈FG，FG⊂平面BCD，所以P∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．11．如下图，在空间四边形ABCD中，AD＝1，BC＝eq\r(3)，且AD⊥BC，对角线BD＝eq\f(\r(13),2)，AC＝eq\f(\r(3),2)，求AC和BD所成的角的大小．解：如下图，分别取AD，CD，AB，DB的中点E，F，G，H，连接EF，FH，HG，GE，GF，那么由三角形中位线定理知EF∥AC且EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),4)，GE∥BD且GE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(13),4)，GH∥AD，GH＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，HF∥BC，HF＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)，从而可知GE与EF所成的锐角(或直角)即为BD和AC所成的角，GH和HF所成的锐角(或直角)即为AD与BC所成的角．∵AD⊥BC，∴∠GHF＝90°∴GF2＝GH2＋HF2＝1.在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，∴∠GEF＝90°，即AC与BD所成的角为90°.12．正方体ABCD－A1B1C1D1(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)假设E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF解：(1)如下图，连接AB1，B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如下图，连接AC、BD，在正方体ABCD－A1B1C1DAC⊥BD，AC∥A1C1∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.[热点预测]13．(1)在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，那么以这4个顶点为顶点构成的几何形体可能是：①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．那么其中正确结论的序号是 ()A．①③④⑤ B．①②④⑤C．①②③⑤ D．①②③④(2)如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：(1)由长方体的性质知①正确，②不正确；对于③，长方体ABCD－