4.5增长速度的比较

4.5增长速度的比较TOC\o"13"\h\z\u题型1求函数的平均变化率 2题型2几类函数模型增长差异的比较 5题型3不同(相同)函数在同一不同）区间上平均变化率的比较 9知识点一.平均变化率概念：函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率为∆f∆x实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比，可用平均变化率来比较函数值的变化的快慢.理解：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加∆f∆x作用：比较函数值变化的快慢.知识点二.平均变化率的几何意义函数y=f(x)在区间[x1,x2](x1<x2)上的平均变化率∆f∆x表示函数y=f(x)图像上过点（x1，f（x1））和点（x2，f（x2））的直线的斜率。注意：∆x是变化量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即∆x=x2x1≠0，但∆x可以为正，也可以为负.知识点三.三种常见函数模型的增长差异性质函数y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=kx(k>0)在（0,+∞）上的增减性增函数增函数增函数图像的变化随x的增大逐渐变“陡”，近似与y轴平行随x的增大逐渐趋于（平缓），近似与x轴平行随x的增大匀速上升，保持固定增长速度增长速度y=ax的增长速度快于y=kx，y=kx的增长速度快于y=logax增长后果必存在一个x0,当x>x0时，有ax>kx>logax题型1求函数的平均变化率【方法总结】求平均变化率的主要步骤：先计算函数值的改变量△f=f（x2）f（x1）.再计算自变量的改变量△x=x2x1.（3）得平均变化率∆f∆x=【例题1】（2021·高一课时练习）函数f(x)=x2+1，当自变量x由1变到1.1时，函数f(x)A．2.1 B．1.1 C．2 D．1【答案】A【分析】根据函数平均变化率的求法即可得到答案.【详解】由题意，函数的平均变化率为：f1.1故选：A.【变式11】1.（2021·高一课时练习）对于以下四个函数：①y=x；②y=x2；③y=x3；④y=1A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.【详解】①ΔyΔx=2-12-1=1，②ΔyΔx=故选：C．【变式11】2．（2020·高一课时练习）已知函数f(x)在任意区间内的平均变化率均为5，说明当自变量减小3个单位时，函数值的变化情况.【答案】自变量减小3个单位时，函数值减小15个单位.【解析】根据平均变化率的意义，即可求解【详解】由题意知ΔfΔx∴自变量减小3个单位时，函数值减小15个单位.【点睛】本题考查函数区间内平均变化率的意义及其求法，属于基础题.【变式11】3．（2020·高一课时练习）已知函数y=2x，分别计算函数在区间[1,2]与【答案】2，4，当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快.【解析】设x1,x2是任意两个实数，且x12x1-2x1x【详解】因为ΔyΔx所以y=2x在区间[1,2]上的平均变化率为y=2x在区间[2,3]上的平均变化率为不难看出，当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快.【点睛】本题考查函数在区间上的平均变化率，属于基础题.【变式11】4．（2022·全国·高一课时练习）求f(x【答案】变量每增加1个单位时，函数值增加5【解析】在任意区间x1,x从而有自变量每增加1个单位时函数值增加5.【详解】f(x)=5x+1f(【点睛】本题考查一次函数任意区间上的的平均变化率，通过函数的平均变化率来研究函数图像变化快慢趋势，属于基础题.【变式11】5.（2022·全国·高一课时练习）写出同时满足下列条件的一个函数f(x)：若[a,b]是f【答案】f(【解析】f(x)在区间[a,b]【详解】f(x)=-1x，在定义域内不是增函数，设定义域内任意子区间[x1,x【点睛】本题考查函数区间平均变化率的意义，以及与函数单调性的关系，属于基础题.【变式11】6.（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)的定义域为R，且f【答案】证明见解析【解析】根据函数区间内平均变化率的意义，结合直线点斜式方程，再转化为一次函数，即可证明结论.【详解】设点x0,y0为f(x)上的一个定点，点x,y是f(x【点睛】本题函数在区间内平均变化率的意义，及直线方程与一次函数关系，属于基础题.【变式11】7.（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(（1）求f(x)在区间[1,2]（2）记A(1,【答案】（1）-6,-8；（2）kAB【解析】（1）f(x)=-x2-3x在区间[1,2]上的平均变化率为Δf（2）用斜率公式可求kAB【详解】（1）f(x)=-ΔfΔx=f(2)-f(1)（2）k【点睛】本题考查函数在区间上的平均变化率，以及区间两端点连线的斜率，属于基础题.题型2几类函数模型增长差异的比较【方法总结】常见的函数模型及增长特点1线性函数模型线性函数模型y＝kx＋bk>0的增长特点是直线上升，其增长速度不变.2指数函数模型指数函数模型y＝axa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.3对数函数模型对数函数模型y＝logaxa>1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.【例题2】（2023上·高一课时练习）下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（

）A．y=ex B．C．y=2x D．y=e【答案】A【分析】根据题意，结合对数函数，一次函数和指数函数的增长率的快慢，分析可得答案．【详解】函数y=e当函数值随x的增大而增大时，在对数函数，一次函数和指数函数中，指数函数的增长速度最快，如图所示，即四个函数中，随x的增大而增大且速度最快的是是y=e故选：A【变式21】1．（2020·高一课时练习）四个因变量y1x151015202530y226101226401626901y2321024327681.05×3.36×1.07×y2102030405060y24.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是．【答案】y【分析】由指数函数的性质即可得出答案.【详解】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1但是增长速度不同，其中变量y2可知变量y2故答案为：y2【变式21】2．（多选）（2023上·高一课时练习）（多选）根据三个函数f(x)=2x，g(x)=2x，A．f(x)的增长速度始终不变B．f(x)的增长速度越来越快C．g(x)的增长速度越来越快D．h(x)的增长速度越来越慢【答案】ACD【分析】运用数形结合的思想画出三个函数即可判断三个函数增长速度快慢.【详解】

由图可知A、C、D正确．故选：ACD.【变式21】3．（多选）（2021上·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）函数fx=12x，gA．fx递减速度越来越慢 B．gC．hx递减速度越来越慢 D．gx的递减速度慢于【答案】ABC【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得.【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间0,+fxgxhxhx的递减速度慢于g故选：ABC.【变式21】4．（多选）（2023·上海·高一专题练习）（多选）已知函数y1=x2，y2=A．在0，+∞上，随着x的逐渐增大，B．在0，+∞上，随着x的逐渐增大，C．当x∈0，+∞D．当x∈0，+∞【答案】BD【分析】在同一坐标系中画出三个函数的图像，观察即可判断.【详解】解：在同一平面直角坐标系中画出函数y1=x2，对于A、B，在0,+∞上，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y对于C，当x∈0,+∞时，y1的增长速度不是一直快于对于D，当x∈0,+∞时，y2故选:BD．题型3不同(相同)函数在同一不同）区间上平均变化率的比较【例题3】（2020·全国·高一课时练习）在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y=A．④ B．③C．② D．①【答案】B【详解】Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x在x＝1附近的平均变化率k4＝－11+△x＝－10【变式31】1．（2021·全国·高一课时练习）对于以下四个函数：①y=x；②y=x2；③y=A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.【详解】①ΔyΔx=2-12-1=1，②ΔyΔx=【变式31】2．（2019·全国·高一课时练习）求出函数fx=x2在x=1【答案】在x=3【分析】根据平均变化率的定义计算．【详解】在x=1附近的平均变化率k1=f1+Δx-f1Δx=1+Δx2-1Δx=2+Δx；在∴在x=3【点睛】本题考查平均变化率的概念，即对函数y=f(x)【变式31】3．（2020·全国·高一课时练习）某公司的盈利y（元）和时间x（天）的函数关系是y=fx，假设fx1A．公司已经亏损B．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C．公司在亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利在增加，增加的幅度变小【答案】D【分析】根据平均变化率与增长幅度的关系说明．【详解】平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的，故选D．【点睛】本题考查平均变化率的实际意义，属于基础题．【变式31】4．（2020·全国·高一课时练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段t0,t1，t1,t2，【答案】v3>【分析】根据题意，有平均速度的定义可得汽车在时间段上的平均速度即为该段直线的斜率，结合图像即可得出答案.【详解】解：因为v1=st1由图可知kO'A<k【变式31】5．（2022·全国·高一课时练习）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)①当x>1②当x>1③当0<x<1时，丁走在最前面，当④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为_________（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．【答案】③④⑤【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的图像进行比较，判断各结论即可.【详解】f1(x)=2x-1当x=2时，f1(2)=3,f2当x=5时，f1(5)=31,f2对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时，甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0<x<1时，丁走在最前面，当x结合对数型和指数型函数的图像变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．指数型函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确