高考数学一轮复习二节直线与圆位置关系课件理新人教版选修

第二节直线与圆的位置关系1．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的______的一半．2．圆心角定理及推论定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：____________所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的_____也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_______；90°的圆周角所对的弦是_______．圆心角同弧或等弧弧直角直径3．圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理①定理1：圆的内接四边形的对角________．②定理2：圆内接四边形的外角等于它的___________．(2)圆内接四边形的判定定理及推论①判定定理：如果一个四边形的对角_______，那么这个四边形的四个顶点_______．②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的____，那么这个四边形的四个顶点_______．互补内角的对角互补共圆对角共圆4．圆的切线的性质及判定定理(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且_______于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的____．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过______．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过______．5．弦切角定理定理：弦切角等于它所夹的弧所对的_________．垂直半径切点圆心圆周角6．与圆有关的比例线段相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积______PA·PB＝PC·PD相等割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积______PA·PB＝PC·PD切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，_______是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项PA·PB＝PC2相等切线长切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_______，圆心和这一点的连线______两条切线的夹角．PA＝PC，∠APO＝∠CPO相等平分1．“相等的圆周角所对的弧也相等”对吗？【提示】

不对．只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等．2．任意一个四边形都有外接圆吗？三角形呢？【提示】

任意一个四边形不一定有外接圆，但任意一个三角形一定有外接圆．图241．(人教A版教材习题改编)如图24所示，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．【解析】

∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∴△AOB是等边三角形．∴R＝OA＝AB＝4.∴⊙O的面积S＝π·R2＝16π.【答案】

16π图274．(2012·广东高考)如图27所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________．图28

(2011·广东高考)如图28所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________．1．解答本题的关键是根据角相等得到三角形相似，再根据相似三角形的性质得到边之间的关系．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．图29

(2012·广东高考)如图29所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________．图30如图30所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.若∠BAC＝35°，则∠CAD＝________．【思路点拨】利用切线垂直于过切点的半径，由线线垂直，得线线平行，进而得到角度之间的等量关系．【尝试解答】

连结OC.∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.由此得∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO.∴∠CAD＝∠CAO.又∠CAO＝∠BAC＝35°，故∠CAD＝35°.【答案】

35°1．若知圆的切线，一种自然的想法就是连结过切点的半径，从而得到垂直关系．2．证明某条直线是圆的切线的常用方法有：(1)若已知直线与圆有公共点，则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可；(2)若已知直线与圆没有明确的公共点，则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径．图31

如图31所示，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE⊥AC.若∠ADE＝50°，则∠ABD＝________．【解析】

连结OD.∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线．∴OD∥AC.又∵∠DEC＝90°，∴∠ODE＝90°.又∵D在圆周上，∴DE是⊙O的切线．因此∠ABD＝∠ADE＝50°.【答案】

50°【思路点拨】

先根据相交弦定理求出CF，再根据三角形相似求出BD，最后根据切割线定理求CD.1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．图33

如图33，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号________．【解析】

由切线长定理得CE＝CF，BD＝BF，∴AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC.则①正确．由切割线定理得，AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正确．因为△ADF∽△AGD，故③错误．【答案】

①②圆中的角(圆周角、弦切角)以及弦之间的相互转化可以通过它们对应的弧完成．圆中的比例线段较多，要记准线段的端点及对应位置，以防出错．与圆有关的比例线段(等积式)的证明常有以下三种方法：(1)利用相似三角形；(2)利用切割线定理、相交弦定理；(3)利用角平分线定理．从近两年高考试题来看，圆周角、弦切角定理，圆内接四边形的判定与性质，相交弦定理，切割线定理是高考的热点内容，考查形式主要有两种：一种是求值问题，另一种是证明问题，难度中等偏下．在解答证明问题时，一定要注意答题的规范化．规范解答之二十与圆有关的证明问题)图34(10分)(2012·辽宁高考)如图34，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.【解题程序】

第一步：根据弦切角定理证明角相等，从而证明△ACB∽△DAB；第二步：利用相似三角形的性质定理证明AC·BD＝AD·AB；第三步：根据弦切角定理证明角相等，从而证明△EAD∽△ABD；第四步：根据相似三角形的性质定理得AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论得AC＝AE.易错提示：(1)证明本题(2)时，想不到证明△EAD∽△ABD，从而无法解答．(2)证明本题(2)时，没有应用(1)的结论从而无法证明结论成立．防范措施：(1)证明线段相等的方法较多，在选择方法时应结合所给条件寻找切实可行的方法，本题中根据条件能得到多对角相等，自然能够想到通过相似三角形证明．(2)在有多个结论的题目中，如果结论带有普遍性，已经证明的结论，可作为证明下一个结论成立的条件使用．图351．(2012·湖南高考)如图35所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．图362．(2013·珠海检测)△ABC中，∠B＝30°，CD⊥AB于D，DE⊥AC