小学奥数 整数裂项（含答案）

整数裂项基本公式

(1)1X2+2X3+3X4+...+(H-1)X/?=-(M-1)X»X(/Z+1)

(2)1X2X3+2X3X4+3X4X5+...+(«-2)X(»-1)XM=—(«-2)(〃+1)

[例1]Ix2+2x3+3x4++49x50=

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。

设S=lx2+2x3+3x4++49x50

1x2x3=1x2x3

2x3x3=2x3x(4-1)=2x3x4-1x2x3

3x4x3=3x4x(5-2)=3x4x5—2x3x4...

49x50x3=49x50x(51—48)=49x50x51-48x49x50

3s=1x2x3+2x3x3+3x4x3+…+49x50x3=49x50x51

5=49x50x51-？3=41650

【答案】41650

【巩固】1x2+2x3+3x4+4x5+5x6+6x7+7x8+8x9+9x10=

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然

不能这样进行计算.对于项数较多的情况，可以进行如下变形：

,、〃("+1)(〃+2)—(〃一1)〃(〃+1)1,、/.1,、/、

w(n+1)=--------------------=-n(n+l)(77+2)--(n-l)/j(rt+l),

所以原式=，xlx2x3+(，x2x3x4-，xlx2x3]++|-x9xl0xll--x8x9xl0|

3(33J(33)

=-x9xl0xll=330

3

另解：由于〃(〃+1)=J/+〃，所以

原式=(俨+1)+(22+2)++(92+9)

=(l2+22++92)+(1+2++9)=:*9xl0*19+gx9xl0=330

采用此种方法也可以得到1x2+2x3+-.+〃x(〃+1)=：〃(“+1)(〃+2)这一结论.

【答案】330

【例2]1x4+4x7+7x10++49x52=

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】设5=1x4+4x7+7x10++49x52

1x4x9=1x4x7+1x4x2

4X7X9=4X7X(10-1)=4x7x10—1x4x7

7xl0x9=7xl0x(13-4)=7x10x13-4x7x10

49x52x9=49x52x(55—46)=49x52x55—46x49x52

9s=49x52x55+1x4x2

S=(49x52x55+1x4x2)+9=15572

【答案】15572

[例3]1x2x3+2x3x44-3x4x5++9x10x11=

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】〃(〃+1)(〃+2)=；〃(〃+1)(〃+2)("+3)-；("一1)”(〃+1)("+2),所以，

^^.=lxlx2x3x4+|-x2x3x4x5--xlx2x3x4|++|-x9x10x1lx12--x8x9x10x11

4U4II.44

=-x9xl0xllxl2=2970

4

从中还可以看出，Ix2x3+2x3x4+3x4x5++〃x+1)x(〃+2)=；〃(〃+1)(〃+2)(〃+3)

【答案】2970

［例4］计算：1x3x54-3x5x7++17x19x21=.

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】可以进行整数裂项.

3x5x7x9-lx3x5x7

3x5x7=

8

u…5x7x9x11-3x5x7x9

5x7x9=-------------------,

8

…，17x19x21x23-15x17x19x21

17x19x21=-------------------------,

8

所以原式

Icu3x5x7x97x3x5x717x19x21x23-15x17x19x21

=1x3x5+------------------++--------------------------

88

,cu17x19x21x23-1x3x5x717x19x21x23+1x3x5…2

=1x3x5+---------------------=-------------------=19503

88

也可适用公式.

原式=(3-2)x3x(3+2)+(5-2)x5x(5+2)++(19-2)x19x(19+2)

=(32-22)X3+(52-22)X5++(192-22)X19

=(33+53++193)-4X(3+5++19)

=(13+33+53++193)-4X(1+3+5++19)+3

而F+33+53++193=(l3+23+33++203)-(23+43+6:'++203)

=1X202X212-8X-1X102X112=19900,

44

1+3+5++19=102=100,所以原式=19900-4X100+3=19503.

【答案】19503

【巩固】计算：10x16x22+16x22x28++70x76x82+76x82x88

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】可进行整数裂项：

10x16x22x28-4x10x16x22]+(16x22x28x34-10x16x22x28]

原式=

I(-7-0-x-7--6-x-8-2-x--8-8--6-4-x-7-0--x-7-6-x-8--2-^1N(-7-6-x--8-2-x-8--8-x-9-4---7-0--x-7-6-x--8-2-x-8--8^j

10x16x22x284x10x16x2216x22x28x3410x16x22x28

=----------------------------H-------------------------------+

24242424

70x76x82x88_64x70x76x8276x82x88x94_70x76x82x88

~2A24242A~

_76x82x88x944x10x16x22

~2A2A~

76x82x88x94-4x10x16x22

24

=2147376

【答案】2147376

【巩固】计算：1x2x3x4+3x4x5x6+5x6x7x84-+97x98x99x100=

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上,

再进行计算.

记原式为A,再设3=2x3x4x5+4x5x6x7+6x7*8x9++96x97x98x99,

则+B=1x2x3x4+2x3x4x5+3x4x5x64-+97x98x99x100

=1x97x98x99xl00xl01=1901009880,

现在知道A与8的和了，如果能再求出A与3的差，那么A、8的值就都可以求出来了.

A-B=lx2x3x4—2x3x4x5+3x4x5x6-4x5x6x7+5x6x7x84-+97x98x99x100

=4x(lx2x3+3x4x5+5x6x7+...+97x98x99)

=4X[2X(22-1)+4X(42-1)+6X(62-1)++98X(98—)]

=4X(23+43+63++983)-4X(2+4+6++98)

1,,1

=4x8x-x492x502-4x-x100x49=48010200

42

所以，A=(1901009880+48010200)+2=974510040.

【答案】974510040

[例5]2(XMx2003-2003x2002+2002x2001-2001x2000++2x1

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式=2003x2+2001x2++3x2+lx2

=2x(l+3+5++2001+2003)

=2x(1+2003)x1002+2

=2008008

其中也可以直接根据公式1+3+5+7++(2〃-1)=〃2得出

1+3+5++2001+2003=10022

【答案】2008008

【例6]Ixl!+2x2!+3x3!++2008x2008!=

【考点】整数裂项【难度】4星【题型】计算

【解析】观察发现2x2!=2x2xl=(3-l)x2xl=3!—2!,

3x3!=3x3x2xl=(4—I)x3x2xl=4!—3!.....

2008x2008!=2008x2008x2007xx2xl

=(2009-l)x2008x2007xx2xl=2009!-2008!’

可见，原式=l!+