人教版八年级数学上册 专题12.3 角平分线的性质讲练（原卷版）

专题12.3角平分线的性质典例体系一、知识点1.角的平分线的作法；2.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；3.证明一个几何中的命题，一般步骤：=1\*GB3①明确命题中的已知和求证；=2\*GB3②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；=3\*GB3③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程；4.性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；二、考点点拨与训练考点1：角平分线性质定理及其应用典例：（2020·河北省初二期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD（1）如图1,当点D是BC边上的中点时，则S△ABD:S△ACD=_________（直接写出答案）（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，S△ABD:S△ACD=_________(用含m,n的代数式表示)．（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE,连结BE，如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,求△ABC的面积．方法或规律点拨本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．巩固练习1．（2022·广东省深圳外国语学校初一期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A． B． C．3 D．2．（2020·山东省济南外国语学校初二期中）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为用A、B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA＝PE B．PO平分∠APB C．AB垂直平分OP D．OA＝OB3．（2020·辽宁省初三其他）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．604．（2020·南通市八一中学初一月考）如图，a、b、c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间建一购物超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在（）A．三角形两边高线的交点处 B．三角形两边中线的交点处C．∠α的平分线上 D．∠α和∠β的平分线的交点处5．（2020·河南省初三二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（）A． B． C． D．6．（2020·黑龙江省初二期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm7．（2022·内蒙古自治区初二期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5C．7 D．3.58．（2022·陕西省交大附中分校初一期末）如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC，BA：CA=2：3，AD与BE相交于点O，若△OAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是（）A．8 B．9 C．10 D．119．（2020·湖北省武汉市江汉区教育局初二月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，AC=6.点I为△ABC三条角平分线的交点，则点I到边AB的距离为__________10．（2022·湖北省初二期中）如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，CB=8，则点M到BC的距离_______．11．（2020·上饶市广信区第七中学初二月考）如图，的三边的长分别为，其三条角平分线交于点，则=______．12．（2022·眉山东辰国际学校初一期末）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8.若S△ABC＝21，则DE＝________．13．（2022·深圳市明德外语实验学校初二期中）如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF.（1）求证：CF=EB．（2）若AF=2,EB=1,求AB的长.14．（2020·凌海市石山镇初级中学初一月考）已知是的平分线，点是射线上一点，点C、D分别在射线、上，连接PC、PD．（1）发现问题如图①，当，时，则PC与PD的数量关系是________．（2）探究问题如图②，点C、D在射线OA、OB上滑动，且∠AOB=90°，∠OCP＋∠ODP=180°，当时，PC与PD在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．考点2：角平分线性质定理的逆定理及其应用典例：（2020·四川省初二期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的中垂线DE交于点E，过点E作AC边的垂线，垂足为N，过点E作AB延长线的垂线，垂足为M.(1)求证：BM=CN；(2)若，AB=2，AC=8，求BM的长.方法或规律点拨本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质以及具体的应用．巩固练习1．（2020·福州四十中金山分校初二月考）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是()A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确2．（2020·湖北省中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2020·四川省正兴中学初二二模）已知，如图，中，，点为的三条角平分线的交点，垂直，，，点、、分别是垂足，且，，，则__________．4．（2020·甘肃省平川区四中初二期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为斜边BC上一点，且BD=BA，过点D作BC的垂线交AC于点E．求证：点E在∠ABC的角平分线上．5．（2020·甘州区南关学校初二月考）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求证：AB+AD=2AE.6．（2022·云龙县第三中学初二期中）如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE=DF，连接AD．求证：（1）∠FAD=∠EAD；（2）BD=CD．7．（2021·江苏省初二期中）已知：如图中，，，垂足分别为F、E，交于点D，，求证：D点在的平分线上．考点3：与角平分线有关的尺规作图典例：（2020·河北省中考真题）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；第三步：画射线．射线即为所求．下列正确的是（）A．，均无限制 B．，的长C．有最小限制，无限制 D．，的长方法或规律点拨本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．巩固练习1．（2020·广西壮族自治区初三其他）如图尺规作业，为的平分线，这样的作法依据是()A． B． C． D．2．（2020·河南省初二月考）如图，△ABC中，点E，F，G分别在BC，AC，AB上，AE与BF交于点O，且点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（）A．AE，BF是△ABC的角平分线 B．点O到△ABC三边的距离相等C．CG也是△ABC的一条角平分线 D．AO＝BO＝CO3．（2020·新疆维吾尔自治区初三其他）如图，在中，尺规作图如下：在射线、上，分别截取、，使；分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线，连结、.下列结论不一定成立的是()A． B． C． D．4．（2020·广东省仙田外国语学校初一期中）如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．则∠AOC的大小为_________．5．（2020·内蒙古自治区初二期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为_____．6．（2020·湖南省中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：求作：的平分线做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C（3）画射线OC，射线OC即为所求．请你根据提供的材料完成下面问题：（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．①②③④（2）请你证明OC为的平分线．7．（2020·云南省初三二模）如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点M、N；再以点N为圆心，MN长为半径作弧交前面的弧于点F，作射线BF交AC的延长线于点E．②以点B为圆心，BA长为半径作弧交BE于点D，连接CD．请你观察图形，解答下列问题：（1）求证：△ABC≌△DBC；（2）若∠A=100°，∠E=