2003年名师课堂辅导讲座-高中部分-二次函数

二次函数(一）袁庆祝特级教师2003年名师课堂辅导讲座—高中部分

二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用。在高中数学的学习中对二次函数的知识要做必要的提高和加深，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系十分密切，揭示和认识它们的相互联系，以求相互为用，具有重要的意义。

学习二次函数，首先要掌握它的定义、图象和性质，要会在各种条件下，应用代定系数法确定二次函数的解析式，要灵活应用二次函数的图象和性质分析问题和解决问题。深刻领会数形结合、函数方程等重要数学思想方法，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力，具有十分重要意义。知识要点：（1）解析式的三种形式。（2）二次函数性质及应用。（3）二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。（4）利用二次函数图象解题一、二次函数解析式的求法（3）两根式：二次函数解析式形式有：（1）一般式：

(2)顶点式：例1、求二次函数的解析式。图象通过A(2,-3)B(-2,-7)C(4,7)三点

则有设二次函数为y=解法一：解得a=,b=1,c=-3

所求函数为[典型例题]：C(4,-7)·yxo解法二：A(2,-3)·B(-2,-7)·从图象中由A、B纵坐标可以看出对称轴为x=1，则设二次函数为在坐标系中画出三点，如图x=1将A（2,-3),B(-2,-7)的坐标代入得：所以所求二次函数解析式为：

解得a=,n=C(4,-7)oyB(-2,-7)·x=1A(2,-3)··解法三：A(2,-3)·B(-2,-7)·C(4,-7)·x，C(4,0)·oyB(-2,0)·，A(2,4)·，由点作出图象若将三点向上平移7个单位，所以设新抛物线方程为：作出新抛物线，如图，得到A（2，4）、B（-2，0）、C（4，0）

，,将A（2，4）坐标代入方程解得：所求抛物线方程为：新抛物线方程为：将新抛物线再向下平移7个单位得：例2、二次函数的图象与x轴交于A(-2,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,-3)。求此二次函数的解析式。

解法1：由题意设二次函数为则有解得所求解析式为因为抛物线与x轴相交A(-2,0),B(3,0)两点,所以设解析式为：解法2：由f(0)=-3得-6a=-3,解得a=即所求解析式为解法3：作函数图象，yxoB(3,0)·C(0,-3)·A(-2,0)·则对称轴为设解析式为则解得即所求解析式为例4、已知是的二次函数，方程的两根之差等于7，当时，取最值49，求此二次函数。解法一：设则f(x)=0有两个不相等的实根由知整理得（1）（2）（3）由（1）、（2）得:解得a=-4,从而b=-12,c=40即所求解析式为:解法二：依题意，设若a>0,则方程f(x)=0无实根，与已知矛盾，故a<0令f(x)=0,得代入解得f(x)=-4(x+5)(x-2)

=解法三：抛物线y=f(x)的顶点坐标是其对称轴是直线抛物线与x轴的两交点关于抛物线对称由两根之差等于7可知两根是设由得a=-4

通过以上例子说明，求二次函数解析式可以根据条件选择适当方法，而方法并不是唯一的，要多角度地看问题，并注意图象在解题中的作用。二、二次函数性质及应用二次函数图象xyoxyo（1）a>0,开口方向向上

a<0,开口方向向下

(3)顶点为（）（4）函数最值情况。（2）对称轴为x=解题要点：（1）由的符号判断抛物线开口方向；（2）对称轴在坐标系中的位置；（3）判别式的符号；（4）区间端点的函数值：例6、抛物线与x轴的两个交点及顶点构成等边三角形，则求k的值。解：抛物线化为:顶点为yxoABC令y=0，则所以抛物线与轴交点A、B的距离为AB=由题意：化为令=t则有平方得：解得所求k值为例7、已知二次函数图象与x轴、y轴都只有一个公共点，分别为点A，B，且AB=2，（1）、求二次函数的解析式；（2）、若一次函数的图象过点A，并和二次函数的图象相交于另一点C，求ABC的面积。解：（1）抛物线与x轴交于点A与y轴交于B（c，0）,从而解得或（不合题意舍去）CxyoABD所以有所以解得所求二次函数的解析式为（2）由化为所以A（，0），设C为由根与系数关系得解得例8、已知二次函数的图象如图

xyo1则下列6个代数式：ab,ac,a+b+c,a-b+c,2a+b,2a-b中其为正的式子有哪些？解：则f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c从图象可看出a<0,f(1)>0,f(-1)<0,c<0由则ab<0,ac>0,2a-b<0又由从而b+2a<0设y=f(x)=b>0得得1xyo所以为正的有ac,a+b+c.例9、已知二次函数的图象如图

xyo1-1并设M=A、M>0B、M<0

C、M=0D、不能确定M的符号则有xyo1-1解：设y=f(x)=则由图象可知由a>0得b+2a>0,b<0，2a-b>0故选B则则三、二次函数与一元二次方程一元二次不等式二次函数（1）y=0时为一元二次方程（2）y>0或y<0时为一元二次不等式观察二次函数图象yyxoxyxoo，是方程的两根你能说出的解集吗？R的解集解：原式化为方程的根为例10、解不等式当时原不等式解集为所以原不等式解集为原不等式为当时，当时，原不等式解集为例11、解关于x的不等式：解：原不等式化为方程的根为所以原不等式解集为：原不等式为：解得（1）当时或或当时，（2）解得解为：或所以原不等式解集为：不等式：当时，解得解为：或所以原不等式解集为：不等式：（3）综上原不等式解集为：当