山西省运城市夏县水头高级中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

山西省运城市夏县水头高级中学2021-2022学年高三数

学理期末试题含解析

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.在等比数列｛aj中，首项由=1,若数列｛a1的前n项之积为Tn，且T5=1024,则该数列

的公比的值为（）

A.2B.-2C.±2D.±3

参考答案：

C

【考点】等比数列的前n项和.

【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.

【解答】解：设等比数列｛an｝的公比为q,•.•首项由=1,T5=1024,

二15xq।+2+3M=1024,Bpq10=210,解得q=±2.

故选：C.

【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

——y=1

2.已如点M（1,0）及双曲线3的右支上两动点A,B,当/AMB最大时，它的

余弦值为（）

A.1B.1C.1D.1

-22-33

参考答案:

D

3.长方体ABCD-AIBICQI中，=8耳=及，设点A关于直线的对称点

为P,则P与Ci两点之间的距离为（）

1

A.2B.百C.1D.2

参考答案：

c

将长方形中含有&叫的平面取出，过点Z作/叫，垂足为“，延长”到

“，使卬一5，则P是/关于叫的对称点，如图所示，

过尸作R_L，q,垂足为连接PA,2G,

LPE-1

依题意3=1,皿=万，蛆=2ZJW\=600ZAilf-30°,2,

9

=■,1-1W~_1

2,所以、=L故选c.

4.已知*be（0.1）,则&+0=1是不等式a-+为2之1不+如］对任意的xjcK

恒成立的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件

参考答案：

A

略

5.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是

25”34”

(A)~(B)-

参考答案：

D

2

6.下面是关于复数z=2-i的四个命题：p,：|z|=5；p2：z=3-4i；p3：z的共钝复数为-

2+i；p.t：z的虚部为-1,其中真命题为()

A.p2,psB.p”p2C.p2,piD.p3,pi

E.p2,Pi

参考答案：

C

【考点】A5：复数代数形式的乘除运算.

=-22=22

【分析】由z=2-i,知pi：|Z|V2+(-1)V5,p2：z=(2-i)=3-4i,p;)：z的共

轨复数为2+i,p,：z的虚部为-1,由此能求出结果.

【解答】解：..七2-i,

pi：z|=V22+(~1)^=A/5,

P2：z2=(2-i)J3-4i,

P3：z的共的复数为2+i,

p“z的虚部为-1.

,其中真命题为：Pz,Pa.

故选：c.

2x-y+\>0

'x+m<0

7.设关于x,y的不等式组卜一切>°,表示的平面区域内存在点P(x。，y。)，满足X。

-2y0=2,求得m的取值范围是

A.(一吗)B.(F)..h-l)

CD

参考答案：

D

略

8.过点M(1,2)的直线1与圆C：(x-3)2+(y-4)邑25交于A、B两点，C为圆心，

当/ACB最小时，直线1的方程是()

A.x-2y+3=0B.2x+y-4=0C.x-y+l=0D.x+y-3=0

参考答案：

D

考点：直线与圆相交的性质.

专题：计算题；直线与圆.

分析：当直线AB与直线CM垂直时，/ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利

用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此

时直线1的方程.

解答：解：将圆的方程化为标准方程为(x-3)2+(y-4)J25,

.•.圆心坐标C为(3,4),

VM(1,2),

4-2

.,.kcv=3-1=1,

•••RAR-—1>

则此时直线1的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.

故选：D.

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离

公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d>i•时，直线与圆相离；当

d=i•时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交(d为圆心到直线的距离，r为圆的半

径).根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时NACB最小是解本题的关键.

9.已知定义在实数集R上的函数满足/⑴=1,且的导数⑶在R上恒有

1F[

/Z(x)<-(X€J?)/(x3)<—+-

2,则不等式-22的解集是()

A,B.C.(一11〉D.

参考答案：

D

略

10.已知平面向量口满足K(Z+E)=3,且|W|=1,|b1=2,则向量Z与E的夹角

()

兀K2冗5冗

A.VB.3C.~~3~D.6

参考答案：

C

【考点】数量积表示两个向量的夹角.

【分析】根据平面向量的数量积公式与夹角公式，求出cos。与0的值.

【解答】解：设向量W与E的夹角为。，0eO,

,2

由b?(a+b)=3可得b?申b=3,

代入数据可得2XlXcos0+2?=3,

1

解得cose=-2,

2兀

，0刀".

故选：C.

【点评】本题考查了数量积与两个向量的夹角问题，是基础题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11,若函数/幻=a'(a>O,aH］)在［一1,2］上的最大值为4,最小值为m,且函数

欧0=(1-4m%斤在【0，+8)上是增函数，则a=.

参考答案：

1

4-

2

虱。・(1-4«1出在［0,2)上是增函数，则1-4用>0,所以加40若a>l,则函数

y=/单调递增，此时有J=4,a=2,~~a~2,此时不成立，所以。=2不成

-123

ra=4,a=—w=a=(-)=

立。若0<a<1,则函数J=a单调递减，此时有4,416,

此时成立，所以“一

/J=［

12.已知A,B,P是双曲线7V(a>0,b>0)上不同的三个点，且A,B的连线经过坐标

!

原点，若直线PA、PB的斜率的乘积•kpB=3,则该双曲线的离心率

为。

参考答案：

13.已知直线y=a与函数及函数式x)・3/的图象分别相交于两点，

则A,B两点之间的距离为▲.

参考答案：

脸3

14.在锐角443c中，8，=1,8=2力,则彳。的取值范围为

参考答案：

葩刷

略

15.记S,为等差数列｛如｝的前〃项和，若巧=5.，=13,则，=

参考答案：

100

、=.+2d=S.=1

■二.+=13'得(d=2

_10x9,_10x9_-

5M=104*-------d=10xl+-------x2=100

3x_

16.设函数f(x)=x2—1,对任意x€[2,+«>),f(皿)-4m2f(x)4f(x—l)+4f(m)恒成

立，则实数m的取值范围是.

参考答案：

也正

(-8,—2]U[,+°°)

17.有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个

小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率

为.

参考答案：

4

甲、乙两位同学各自参加其中一个小组共有16种，其中两位同学参加同一个兴趣

4_=y_

小组有4种，所以两位同学参加同一个兴趣小组的概率为=7。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18已知函数，（工）一3bx+mc,虱目=/+*/一。一1

（1）讨论函数式8）的单调性；

J.

（2）若函数y（x）的图像函数与函数爪目的图像在内存在交点，求实数a的取值范围.

参考答案：

（1）见解析；（2）0WaM/_4

【分析】

对a分类讨论，利用导数求函数f（x）的单调性；（2）原题等价于方程室1X+S

上有解，构造函数F（x）=?-3hx

3,求出其值域口？一31，再解不等式即得解.

【详解】⑴函数/（力=31®*.的定义域为（°，8）

、3

且X

3

贝IJ当。“时，'3-彳在（°.）B）上恒成立,

此时，（力强*皿在（0，+B）上单调递增;

3Q

,/<(x)=—fa=0*=—

当a<•时，令''x，解得a

时,ex

易得当

当明”）时,MX。，

此时函数〃力=31Mx+皿在（°‘3上单调递增，在「叫

上单调递减.

的图像在阳内存在交点等价于方程

（2）函数，（K）的图像函数与函数a（x）

3^x+ar=j?+a(x-l)-l即l+a=X1_3ta在上有解,

设严任)=/-3,3,

E\,J33?-3

P(x)=37—=--------

则XX

令9年。解得E

易得函数尸（*）=?一3|皿在（；」）上单调递减，在（L.）上单调递增,

即打又「=尸⑴,

有喟噂）a；“F（l）=l网•）=•，-3

因为J-3>3+«-'

所以函数“任）在的值域为一3],

故14a+lW*'-3,解得04aM2一4.

【点睛】本题主要考查函数的单调性，考查函数的有解问题，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平和分析推理能力.

19.（14分）

1%%.22,nelT)

已知数列己知满足：ai=2,且an=2%-i+nT

（1）求数列｛aj的通项公式;

（2）证明：对于一切正整数n,不等式ai・a2・……an<2«n!

参考答案：

n1(1-n

解析：(1)将条件变为：l—an=m'%一,因此｛l—a,｝为一个等比数

列，其首项为

111

1-»1=3,公比5,从而1一%=尹,据此得an=FT（n31）.......1°

G-^Xl-y）-C-y）

（2）证:据1°得，a-a2•…an=

为证apa2*...an<2>n!

吟吟夕…思

只要证n?N*时有2°

显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n?N*,有

吟”…(广封_/+尹…+女.......3。

用数学归纳法证明3。式：

(i)n=l时，3。式显然成立,

(ii)设n=k时，3。式成立，

即…（T）3L（*+.••+•）

则当n=k+1时,

（得・（1一$）•…（卜夫・*％+文）

（if）

4+1+..•+1111U+-+4

=1-（37于）一科+尹（37于）

—1+,1,十•••十,1.1.

31-（37于+尹）即当n=k+l时,3。式也成立。

故对一切n?N*,3°式都成立。

利用3。得,。-扣0TA4孔一（?尹”F）=1-

京-（扣

故2。式成立，从而结论成立。

20.（12分）某校在寒假放假之前举行主题为“珍惜生命，安全出行”的“交通与安全”

知识宣传与竞赛活动，为了了解本次活动举办效果，从全校学生的答卷中抽取了部分学生

的答卷成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容积为n）进行统计。按照

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100）,的分组作出频率分布直方图，并作出

样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60）,……，[90,100）的数据）。

（I）求n、x、y的值，并根据频率分布的直观图估计这次竞赛的平均成绩；

（II）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学

到市政广场参加市团委举办的宣传演讲活动，求所抽取的2同学来自不同组的频率。

参考答案：

..__?__.)0y-—―—0皿

(I)由题意可知，,»«10,..................2分

x-OLl-(UXM-a010-a016a(M-OU(BO,........................................................................3分

平均分约为力♦2mio♦处................5分

（II）由题意可知，分数在[80,90）有5人，分别记为4仇Gd,e,分数在[90,100）有2

人，分别记为F,G,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有如

下种情形：(°以。£乂°演46乂0FMaG)@<M本必从F)

(b，<?)«.(/Re,.乂c，F)(c.GMd，e)(d,Fy@G)(e-F)<e.(7),(F.<J)共

有21个等可能基本事

件；....................................................................9分

其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a,F),

(a,G),(b,F),(b,G),(c,F),(c,G),(d,F),(d,G),(e,F),(e,G),共10

个，……11分

P・3

所以抽取的2名同学来自不同组的概率21..............................12分

21.(本小题满分14分)

已知E(X)=MXQ(X)=1ILX

(1)若/(R=G(x)-x+l,求函数/(x)的单调区间；

(2)若+恒成立，求用的取值范围；

(3)令5=/。)+。+2,求证：b-2a<\.

参考答案：

【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性及单调区间.B3

【答案解析】(1)函数)=/(')在(°」)上是增函数，在0+°。)上是减函数.(2)

m>e-\(3)见解析。

解析：(I)/(x)=<Xx)-x+l=1.x+lnx(求导得：/«=7-!=—由

得X=1.当xw(QJ)时，/(x)>0；时，/(x)<0

所以，函数/=/(*)在(QQ上是增函数，在(L+8)上是减函数........5分

(II)令

A(x)=G(x)-x+2-(g(x)=lnx-x+2-mx=lnx-(l+??t)x+2

h(x)=--(w+l)

则

因为刑>0,所以附+1>0,由V(x)=°得-1+冏

当，时，方。)>。，气工)在I“匚二」上是增函数；

当而"8)时，力&)<°,K")在(E,+00)上是减函数.

所以，3)在9+8)上的最大值为勺弁=1-叩+"1)"°,解得掰之8-1

所以当冽—1时灯三g(x)恒成立...................10分

(III)由题意知，b-lna+a+Z.

由(I)知/(。=历1一，+14/。)，即有不等式5Ml("Q).

于是b=lna+a+2$。-1+4+2=2a+L

即6-li<l

.....14分

【思路点拨】(1)把G(x)=lnx代入f(x)=G(x)-x+1,整理后求导，利用导函数的

符号求解函数f(x)的单调区间；(2)构造函数h(x)=G(x)+x+2-g(x),由导函

数求其最值，然后转化为不等式求解m的取值范围；(3)直接结合(1)中的结论加以证

明.

a+lnx

22.函数f(x)=-x-,若曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线e、-y+e=0

垂直(其中e为自然对数的底数).

(1)若f(x)在(m,m+1)上存在极值，求实数m的取值范围；

QX-1

f(x)....--------

(2)求证：当x>l时，e+1>(x+1)(xex+l).

参考答案：

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】(1)求出f(x)的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=l,求

导数，求单调区间和极值，令解不等式即可得到取值范围；

f(x)........------------](x+1)(lnx+1)-.......

(2)不等式e+1>(x+1)(xe'+l)即为e+1?xAKe'+l,令g(x)

x-1

(x+1)(lnn+1)g(x)2-----

Z，通过导数，求得e+1>M,令h(x)=xex+l,运用导数证得h

2

(x)<h(1)=原不等式即可得证.

1-aTnx

5

【解答】解：(1)・・・f‘(x)=*