小学数学5年级培优奥数讲义 第20讲 最小公倍数含解析

第20讲最小公倍数

0学习目标

京掌握倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法；

小会利用最小公倍数解决实际问题。

举知

一、约数和倍数的定义

整数A能被整数B整除，A叫做B的唐数，B就叫做A的约粼在自然数的范围内）。

如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；

18的约数有1、18、2、9、3、6o

注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。

②任何数都有最小的约数1,最大的约数本身，最小的倍数也是本身。

③一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……

其中最小的倍数是3,没有最大的倍数。

④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而是从乘积的角度来提出的。如果

数a与数b相乘的积是数c,a与b都是c的。

二、2、3和5倍数的特征

2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8,是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数

叫奇数

5的倍数的数特征是个位是0或5

3的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数

三、质数与合数

（1）只有1和本身两个因数的数叫做质数（或素数）

（2）除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数

(3)1既不是质数，也不是合数

(4)100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、

59、61、67、71、73、79、83、89、970

(5)几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个，叫做这几个数的最小

公倍数,如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18.....

3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的

最小公倍数。记作⑵3]=6。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

注意：最大公约数x最小公倍数=两数的乘积，

即(a,b)x[a,b]=axb。

〉典例分析

考点一：最小公倍数的求法

例1、列举法：求6和10的最小公倍数。

例2、短除法：求56和24的最小公倍数。

例3、分解质因数法：求120和100的最小公倍数

例4、多个数求最小公倍数：求45、60和75的最小公倍数

考点二：应用最小公倍数巧算

例1、一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的上，小亮答错5道题，两人都答错的题目占题

4

目总数的已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则他们都答对的题有多少道.

6

例2、某加油站有二位员工，从今年1月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后

休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有多少天要聘1个时工人？

例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且己经挖好坑。后来改为每隔6

米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？（希望杯考题）

考点三：最小公倍数综合

例1、有一些画片，如果平均分给3个同学，还余1张；如果平均分给5个同学，还余3张；如果平均分给

4个同学，则少2张.这些画片至少有多少张？

例2、有一位天文观察家，他观察一颗行星靠近地球的情况是有规律的，只要是年份数除以10余数是5,

且被3、5、7、9除时，没有余数，从公元00年到公元2000年时，星球飞近多少次？

承实战演练4

》一-课堂狙击

一、填空题

1、30以内3的倍数有（）,4的倍数有（）,3和4的公倍

数有（）,最小公倍数是（）。

2、在12、15、36、64、450、950六个数中，是3的倍数有（）,是5的倍数的有（），

是2的倍数的有（）；是2和5的公倍数的有（）,是2和3的公倍数的

有（），是3和5的公倍数的有（）；同时是2、3和5的公倍数的数是（）。

3、用0、3、5、7四个数组成一个同时是2和5的倍数的四位数，最大是（），最小是（）。

4、要使601口既是2的倍数，又是3的倍数，那么□里可以填（）。

二、解答题

5、写出每组数的最小公倍数

8和1051和35和4

57和1991和79和1

6、一个汽车站内有两路公共汽车.甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，至少每

隔多少分钟，两路汽车会同时发车？

7、一排路灯，原来每两盏之间的距离是30米，现在改用50米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔多少

米又有一盏不必移动？

8、有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后

一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？

＞课后反击

一、判断题

1、一个数最小的倍数与它最大的因数相等。（）

2、两个质数的最小公倍数是它们的乘积。（）

二、选择题

3、a是一个质数，则a的倍数有0个

A、1个B、2个C、无数个

4、如果b是一个整数，那么2b一定是0

A、合数B、偶数C、素数

三、解答题

5、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去

一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？

6、两个数的最大公约数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？

7、一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块?

8、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步,

经过多少时间三人又同时从出发点出发？

重点回顾

1、倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法；

2、利用最小公倍数解决实际问题。

电名师点拨

1、解答与公因数或公倍的应用题，关键是先求出最大公因数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。

最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可

以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。

2、几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数可以记作［a、bj＞当（a、b）=l时，［a、b］=axb。

两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：

最大公约数x最小公倍数=两数的乘积

即（a、b）x[a,b]=axb

要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对己

知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。

学霸经验

＞本节课我学到

＞我需要努力的地方是

第20讲最小公倍数

筝？教学目标...

>教学目标掌握倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法；

也会利用最小公倍数解决实际问题。

覆知识描里...

一、约数和倍数的定义

整数A能被整数B整除，A叫做B的詹教，B就叫做A的约数(在自然数的范围内)。

如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数；

18的约数有1、18、2、9、3、6。

注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。

②任何数都有最小的约数1,最大的约数本身，最小的倍数也是本身。

③一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小

的倍数是3,没有最大的倍数。

④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b相

乘的积是数c,a与b都是c的。

二、2、3和5倍数的特征

2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8,是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数

5的倍数的数特征是个位是0或5

3的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数

三、质数与合数

(1)只有1和本身两个因数的数叫做质数(或素数)

(2)除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数

(3)1既不是质数，也不是合数

(4)100以内的质数有：2,3,5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53>59、61、67>

71、73、79、83、89、97。

(5)几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数,如2

的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18.......

3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。

记作12,31=6。

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

注意：最大公约数x最小公倍数=两数的乘积，

即(a,b)x[a,b]=axb。

典例分析

考点一：最小公倍数的求法

例1、列举法：求6和10的最小公倍数。

【解析】先分别写出6和8各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。

6的倍数：6,12,18,24,30,36,42,48...

10的倍数：10,20,30,40,50...

所以6和10的最小公倍数是30。

例2、短除法：求56和24的最小公倍数。

[解析]21PG-%----------

2[2812

2.146

73

56和24的最小公倍数是2X2X2X7X3=168

例3、分解质因数法：求120和100的最小公倍数

【解析】120=2x2x2x3x5

100=2x2x5x5

[120,1001=2x2x2x3x5x5=600

例4、多个数求最小公倍数：求45、60和75的最小公倍数

【解析】3456090

3152030

55?010

21L2

121

[45,60,90]=180（当除到任意两数还有公因数时，则还要继续除下去）

考点二：应用最小公倍数巧算

例1、一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的小亮答错5道题，两人都答错的题目占题

4

目总数的已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则他们都答对的题有多少道.

6

【解析】因小明答错的恰是题目总数的,，两人都答错的题目占题目总数的工，所以题目的总数应是4和

46

6的倍数，然后根据小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，分情况进行解答。

解：已知题目个数一定是整数.设为X

X是4和6的倍数.

x

且一<5,X<30；

6

X

有一VX-5,X>10；

2

*>5时，即X>20时，

4

所以X=24；

答：都答对的题有24-5-6+4=17。

例2、某加油站有二位员工，从今年1月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后

休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有多少天要聘1个时工人？

【解析】甲每到4的倍数就休息，而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息.因为

4和7的最小公倍数是28,因为今年是平年，所以在28的倍数休息的日子时；

365+28H5（天），而在比7的倍数少一天休息时，甲乙第一次重逢的日子是

第二十天，以后每隔28天就共同休息一天，365-20=345（天），345+28=12（天）

所以甲乙两人共同休息的天数是15+12+1=28（天）

例3、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔6

米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖几个？（希望杯考题）

【解析】这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：

96+4+1=25（个）

后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6

的最小公倍数是12,所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。

96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。

9672+1=9（个）答：。重新挖树坑时可以少挖9个。

考点三：最小公倍数综合

例1、有一些画片，如果平均分给3个同学，还余1张；如果平均分给5个同学，还余3张；如果平均分给

4个同学，则少2张.这些画片至少有多少张？

【解析】由于平均分给3个同学，还余1张则这个数减1是3的倍数；如果平均分给5个同学，还余3张

则这个数减3是5的倍数；如果平均分给4个同学，则少2张则这个数加2是4的倍数.因此，我们可

从3,4,5的最小公倍数入手来分析一下，3,4,5的最小公倍数为3x4x6x=60.由于是求最小，我们

可从减开始，如果平均分给4个同学，则少2张，60-2=58,58+3=19…1,58+5=11...3,所以这个数最

小为58.

解：根据题意可知，这个数减1是3的倍数，减3是5的倍数，加2是4的倍数.

3,4,5的最小公倍数为3x4x6x=60.

60-2=58,

58+3=19…1,

58+5=11…3,

所以这个数最小为58.

例2、有一位天文观察家，他观察一颗行星靠近地球的情况是有规律的，只要是年份数除以10余数是5,

且被3、5、7、9除时，没有余数，从公元00年到公元2000年时，星球飞近多少次？

【解析】因为3、5、7、9的最小公倍数是：5x7x9=315,

所以2000以内，3、5、7、9的公倍数有：315、630、945、1260、1575、1890；

其中630、1260、1890是10的倍数，不符合题意；

所以公元315年、945年、1575年行星靠近地球，即共有3次.

答:从公元00年到公元2000年时，星球飞近3次.

实战演练

>课堂狙击

一、填空题

1、30以内3的倍数有（），4的倍数有（），3和4的公倍数有0,最小公倍数是0。

【解析】（3、6、9、12、15、18、21、24、27、30）,（4、8、12、16、20、24、28）,（12、24）,（12）

2、在12、15、36、64、450、950六个数中，是3的倍数有（），是5的倍数的有（），是2的倍数的有（）；

是2和5的公倍数的有（），是2和3的公倍数的有（），是3和5的公倍数的有（）；同时是2、3和5的公倍

数的数是0。

【解析】（12、15、36、450）,（15、450、950）,（12、36、64、450、950）,（450、950）,（12、36、450）,（15、

450）,（450）

3、用0、3、5、7四个数组成一个同时是2和5的倍数的四位数，最大是（），最小是（）。

【解析】（7530）,（3570）

4、要使601口既是2的倍数，又是3的倍数，那么口里可以填（）o

【解析】（2、5、8）

二、解答题

5、写出每组数的最小公倍数

8和1051和35和4

57和1991和79和1

【解析】40,51,20,57,91,9

6、一个汽车站内有两路公共汽车.甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，至少每

隔多少分钟，两路汽车会同时发车？

【解析】4和6的最小公倍数为12,

如果每天两车首发为同一时间的话，则两车至少每隔12分钟会同时发车。

7、一排路灯，原来每两盏之间的距离是30米，现在改用50米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔多少

米又有一盏不必移动？

【解析】因为30和50的最小公倍数是150,

所以至少再隔150米又有一盏不必移动；

答：至少再隔150米又有一盏不必移动.

8、有一批水果，总数在1000个以内。如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后

一箱还差2个；如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？

【解析】根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装

整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。我们可以先求出24、28

和32的最小公倍数672,再根据“总数在1000以内”确定水果总数。

[24,28,32]=672

672—2=670（个）

即：这批水果共有670个。

＞课后反击

一、判断题

1、一个数最小的倍数与它最大的因数相等。（）

2、两个质数的最小公倍数是它们的乘积。（）

【解析】V,V

二、选择题

3、a是一个质数，则a的倍数有0个

A、1个B、2个C、无数个

4、如果b是一个整数，那么2b一定是（）

A、合数B、偶数C、素数

【解析】C,B

三、解答题

5、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去

一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图