实际应用与二次函数2020-2021年九年级数学下册高频考点突破（苏科版）（解析版）

考点3、实际问题与二次函数

知识框架

列二次函数解决实际问题的一般步骤

基础知识点4

实际问题中自变量的取值

球类运动轨迹问题

拱桥问题

喷水问题

重难点题型销售问题（利润问题）

面积问题

分段函数问题

二次函数综合问题

一、基础知识点

知识点3-1列二次函数解决实际问题的一般步骤

1）列二次函数解决实际问题的原则，与一元二次方程的实际问题原则类似：

①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；

②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）；

③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；

④解决二次函数，并解答。

注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。

例1.（2020.重庆市初三期中）某商品现在的销售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查发现，若

果每降价1元，每星期多少卖20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

【答案】每件降价5元利润最大，最大利润为：6250元

【解析】①建立等量关系式：

此题是利润问题，等量关系式为：总利润=每件的利润X售出的件数

②设出2个变量：

•••题目研究总利润，...设总利润为因变量y,便于研究

•••每件的利润与售出的件数都与商品降价有关，，设每件降价x元

③建立函数关系式：

总利润为：y；每件的利润为：（60-X-40）=（20-x）元；售出的件数为：（300+20x）件

•••函数关系式为:y=（20-x）（300+20%）

化简得:y=-10x2+100x+6000

④解决二次函数问题，并解答：

题干求最值，2种方法：

方法一：配方法求最值：函数配方得：产-100-5）2+6250

...当x=5时，y有最大值，为6250

方法二：利用函数的性质求最值：.♦.函数有最大值

当4—2=--限=5时有最大值，最大值产竺=

.•.降价5元时有最大利润，为6250元

答：略

例2.用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）.

科学原理：如图2,始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：m）,如果在离水面竖直距离为h

（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单

位：cm）与h的关系为s?=4h（H一h）.

应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，

在离水面竖直距高hcm处开一个小孔.

（1）写出s?与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a,b,要使两孔射出水的射程相同，求a,b

之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔离水

面的竖直距离.

【答案】（I）『=-4（力一IO）?+400，当a=10时，壬皿=20；（2）6或a+b=20；（3）垫高的高度

为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm

【分析】（1）将s2=4h（20-h泻成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可;

（2）设存在a,b,使两孔射出水的射程相同，则4a（20-a）=4b（20-b）,利用因式分解变形即可得出答案;

(3)设垫高的高度为m,写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案.

【解析】解：(l)：s2=4h(H-h),.*.当H=20时，s2mh(20-h)=-4(h-I09+400,

，当h=10时,s?有最大值400,...当h=10时,s有最大值20cm.

二当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；故答案为：最大射程是20cm.

⑵•.飞2=4〃(20-力),设存在。，b,使两孔射出水的射程相同,则有:4a(20-。)=46(20-份,

204-/=204/,/.a2-b2=20a-20b,(a+h)(a-b)=20(a-b),/.(a-h)(a+h-20)=0,；.a-h=0或a+%-20=0,

/.a-h或。+。=20.故答案为：a=h或a+h=20.

20+/77

(3)设垫高的高度为m,则52=4〃(20+m-h)=—4(〃-------)2+(20+m)2

2

,,20+m,-八cc20+m,„

.,.当/z=---2---时，.绢1m；*ax=20+，〃=20+16；."?=16时，此时〃=----2---=18

二垫高的高度为16cm,小孔离水面的竖直距离为18cm.

故答案为：垫高的高度为16cm,小孔离水面的竖直距离为18cm.

【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的

关键.

例3.(2020•浙江省初三二模)为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量4(辆/小时)、速度n(千米/小

时)、密度左(辆/千米)来描述车流的基本特征.现测得某路段流量9与速度u之间关系的部分数据如下

表：

速度U(千米/小时)....1520324045....

流量q(辆/小时)....105012001152800450....

若己知4、丫满足形如4=相声+”U(机、〃为常数)的二次函数关系式，且q、u、k满足q=H:.根据

监控平台显示，当54V410时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度k的取值范围是.

【答案】8042490

【分析】利用待定系数法求出4=-2声+100丫，将4=可变形为：k=(,将4=-2声+100丫代入人=(,

再求出当54丫410时，k的取值范围即可.

【解析】由表格可知函数^二加声+^；过(15,1050)、(20,1200),可得：

mxl52+nxl5=1050m=-2ca

<解得八八/.q=-2v+100vVq=vk：.k=—

mx202+nx20=1200n=100"v

将夕=-2寸+100u代入&=殳得：k=&==-2v+l00

vvv

V5<v<10/.80<-2v+100<90,804&490故答案为：80<A:<90

【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，掌握待定系数法求反函数的解析

式是解题的关键.

例4.（2020•吉林省第二实验学校初三月考）某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大

小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警.现将A、B两点放置于

平面直角坐标系X。'中，（如图），己知点A、B的坐标分别为（0,4）,（4,4）,小车沿抛物线丁=奴2―2初—34

（«<0）运动.若小车在运动过程中触发两次报警装置，则。的取值范围是.

4

【答案】—§<。<一1

【分析】先把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0,4）

和（4,4）,结合二次项系数大小与开口大小及与x轴的交点为定点等即可解答.

【解析】解：抛物线y=a^-2ax■-3a=a（x+l）（x-3）,

.,.其对称轴为：x=l,且图象与x轴交于（一1,0）,（3,0）.

•.•抛物线顶点为（1，-4a）,当顶点在线段AB上时，有-4a=4,则。=一1；

4

当抛物线过点（0,4）时，代入解析式得：-3a=4；,—,

3

由对称轴为x=l及图象与x轴交于（-1,0）,（3,0）可知，

4

当-；<a<7时，抛物线与线段AB有两个交点；

3

4

小车在运动过程中触发两次报警装置，则a的取值范围是一5Va<-1；

4

故答案为：一1va<—1.

【点睛】本题实质是二次函数图象与线段交点个数的问题，需要综合分析二次函数开口方向，对称轴，与x

轴交点情况等，难度较大.

例5.(2020•四川省中考真题)三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同.当水面

刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为I。米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个

小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为()

A.米B.5女米C.2屈米D.7米

【答案】B

【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小

孔所在抛物线的解析式，将x=-10代入可求解.

333

设大孔所在抛物线解析式为y=ax，一，：BC=10,...点B(-5,0),/.0=aX(-5)2+~,Aa=——,

2250

33

大孔所在抛物线解析式为y=-£x2+^,设点A(b,0),

则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m(x-b)2,

3636

♦.•EF=14,...点E的横坐标为-7,.•.点E坐标为(-7,-=m(x-b)2,

99

.♦.顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-5(x-b)

999

,大孔水面宽度为20米，.•.当x=70时，y-：.y-—(x-b)

Axr-V2+b,X2=-fQ+b,.•.单个小孔的水面宽度=1（*正+b）-（-V2+b）=5J2（米）

2222、

【点睛】本题考查二次函数的应用，解答的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.

例6.（2020•江苏省中考真题）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件

下，可食用率》与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y=-0.2/+1.5元—2,则最佳加工时间为

mm.

【答案】3.75

【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可.

2a

今b1.5ru

【解析】：丁=-0.2f+1.5%-2的对称轴为*=一五=一五而为=3.75（min）,

故：最佳加工时间为3.75min,故答案为：3.75.

【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是

解题关键.

例7.（2020•扬州市江都区国际学校初二期中）如图，线段A5的长为6夜，C为A8上一个动点，分别以

AC、8C为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△AC£＞和ABCE,那么OE长的最小值是.

【答案】3亚

【分析】根据题意利用等腰直角三角形的特点知道AD=CD,CE=BE,ZACD=ZA=45°,ZECB=ZB=45°,

ZDCE=90°.利用勾股定理得出DE的表达式，进而设AC=X,BC=&应一X,利用配方法即可求出DE的

最小值.

【解析】解：在等腰Rt^ACD和等腰RtZ\CBE中AD=CD,CE=BE,NACD=NA=45°,NECB=NB=45°

/.ZDCE=90°AD2+CD2=AC2,CE2+BE2=CB2.CD2=-AC2,CE2^-CB2,

22

,/DE2=CD2+CE2，:，DE2=-(AC2+C52),

2

设4C=x,BC=6及一x,即有。£=g[f+(6拒-x)2]=(x-30)2+18,

.••当x=3A/2时，DE2有最小值为18，

.•.当AC=3a时，DE的值最小，即==故答案为：3亚.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的特点及二次函数求最值的方法，解答的关键是利用设参法和配方法进

行分析计算.

例8.(2020•山东省中考真题)某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站(包括甲站、乙站)，~

辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，

又要装上该站发往后面各站的货包各1个.在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个.

【答案】210

【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次

函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站.

【解析】当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，

快递货车上需要卸下已经通过的(x-1)个服务驿站发给该站的货包共(x-1)个，

还要装上下面行程中要停靠的(n-x)个服务驿站的货包共(n-x)个.

根据题意，完成下表：

服务驿站序号在第X服务驿站启程时快递货车货包总数

1n-1

2(n-1)-1+(n-2)=2(n-2)

32(n-2)-2+(n-3)=3(n-3)

43(n-3)-3+(n-4)=4(n-4)

54(n-4)-4+(n-5)=5(n-5)

n0

由上表可得y=x(n-x).当n=29时,y=x(29-x)=-x2+29x=-(x-14.5)2+210.25,

当x=14或15时，y取得最大值210.

答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个.故答案为：210.

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在

x=_2时取得。

2a

知识点3-2实际问题中自变量的取值

1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为（-幺,细二以］,故当x=-2时，函数取得最值，即：

（2〃4〃J2a

①当a>0时，x=-2时函数有最小值，最小值产生之

2a4a

②当a<0时，x=-2*时函数有最大值，最大值y="2"

2a4a

2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到x=-2,这是就需要根据二次函数

2a

的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑，则解决

实际问题的步骤为：

①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；

②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量；

③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；

④根据实际问题，确定自变量的取值范围；（添加步骤）

⑤解决二次函数，并解答。

例1.某商品现在的销售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查发现，若果每降价1元，每星期多

少卖20件。已知商品的进价为每件40元，商务部规定商品价格不得低于56元，如何定价才能使利润最大？

【答案】每件降价5元利润最大，最大利润为：6250元

【解析】①建立等量关系式：

此题是利润问题，等量关系式为：总利润=每件的利润X售出的件数

②设出2个变量：

•.•题目研究总利润，•••设总利润为因变量y,便于研究

•••每件的利润与售出的件数都与商品降价有关，设每件降价x元

③建立函数关系式：总利润：y；每件的利润：（60—工-40）--（20—x）元；售出的件数：（300+20x）件

.,.函数关系式为：产（20-x）（300+20x）化简得：y=-10x2+100x+6000

④确定自变量取值范围：

根据题意，xW60—56,且x>0,且x为整数.•.自变量的取值范围为：0WxW4（x为整数）

⑤解决二次函数问题，并解答：.•.函数有最小值

当户-餐=-=5时有最小值，但是x无法取到5

2a2-(-10)

根据函数图像性质，当x=4时，有最大值，最大值)=6240

例2.(2020.湖北省初三模拟)受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A、B两种型号的“手写板”,

获利颇丰.已知A型，8型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：

进价(元/个)售价(元/个)销量(个/日)

A型600900200

8型8001200400

根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对3型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降

低5元就可多卖1个，8型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每

天多销售无个，每天总获利的利润为元(1)求y与％之间的函数关系式并写出X的取值范围；(2)要使

每天的利润不低于234000元，直接写出》的取值范围；(3)该销售商决定每销售一个8型手写板，就捐。

元给(0<aW100)因“新冠疫情”影响的困难家庭，当304x440时，每天的最大利润为229200元，求a

的值.

【答案】(1)y=-1Ox2+900x+220000(04x460),且x为整数：(2)204x460,且x为整数：

(3)。=30

【分析】(1)设A型手写板每天多销售％个，则8型手写板每天少销售x个，根据总获利的利润》等于销

售A型手写板所获利润加上销售B型手写板所获利润，根据每件销售的利润，每日的销量都为非负数且x为

非负整数求出x的取值范围；(2)结合(1)将总利润函数进行配方，求出当y=234000时的x值，结合图

象得到每天的利润不低于234000元时的x的取值范围，进而求解；(3)设捐款后每天的利润为卬元，则

卬=y一(400-x)a,然后利用二次函数的性质进行求解.

【解析】⑴y=(900-600-5^)(200+X)+(1200-800+5x)(400-x),

x>0

化简得，y=-lOx2+900X+220000,由题意知I,<300—5xN0,解得，0<x<60,

400-x>0

故X的取值范围为04x460且X为整数；

(2)%的取值范围为20WXW60,

理由如下：y=-10x2+9()()x+22000()=-1()(x-45,+240250,

当"234000时，-10(x-45)2+240250=234000,

/.(X-45)2=625,*-45=±25,x=20或x=70,

要使y2234(X)0,由图象知，204x470：

04x460,.•.204x<60,且x为整数；

(3)设捐款后每天的利润为卬元，

则w=-10x2+900x+22(XXX)-(4(X)-x)tz=-10x2+(900+a)x+220000—400a,

对称轴为x=900+3=45+乌,0<«<100.45+—>45,

202020

抛物线开口向下，当304x440时，w随X的增大而增大，

当x=40时，w最大，；.一16000+40(900+a)+220000-400a=229200,解得，a=30.

【点睛】本题考查二次函数的应用，正确理解题意，列出二次函数的表达式是解题的关键，第(2)(3)题

可结合二次函数的图象进行求解.

例3.(2020.广东省初三期末)网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲

自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗.为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000

元现金，作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为6元/kg,每日销售量y(kg)与销售单价式元/kg)

满足关系式：y=-100x+5000.经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg.当每日销售

量不低于-4000kg时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元).(1)请求出日获

利卬与销售单价x之间的函数关系式(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为

多少元？(3)当W240000元时，网络平台将向板栗公可收取。元/kg(a<4)的相关费用，若此时日获利

的最大值为42100元，求a的值.

…4-100x2+5500x-27000(6<x<10)

【答案】(1)w=\.(2)当销售单价定为28元时，日获利最大,

-lOOx2+56(X)x-320()0(10<x<30)

且最大为46400元；(3)a=2

【分析】(I)首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；

(2)对于(1)得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果;

(3)先求出当w=40000,即一1()0/+56()()X—3200()=4()000时的销售单价，得当

w>4()()00,20<x<36,从而20Wx<30,得叱=(x—6—a)(—100x+5000)—2000,可知，当

x—28+—<2B']',11ax=42100元，从而有(28+5。-6—a1—10028+5。]+5000—2000=42100,

解方程即可得到a的值.

【解析】(1)当yN4000,BP-100x+5000>4000,.-.x<10.

.:当6WxW10时，w=(x-6+1)(—1OOx+5000)-2000=-K)0x2+5500%-27000

当10<x430时，w=(x-6)(-100x+5000)-2000=-100x2+5600x-3200().

—1OOf+5500x-27000(6<x<10)

•w=<

-1OOx2+5600x-32000(10<x<30)

(2)当6WxW10时，w=-100x2+55OO.r-27000.

♦.•对称轴为x=一二=一77手%=E>10,.•.当x=10时，叫皿=5x4000—2000=18000元.

2a2x(-100)2

当10<xK30时，w=-l00x2+5600x-32000.

•.•对称轴为X=—2=——5600--28,.•.当X=28时，%=22x2200-2000=46400元.

2a2x(—100)

46400>18000...综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元.

(3)40000>18000,「.IO30,则卬=_100?+5600%-32000.

令狡=40000,则一lOOf+560()%—32000=4()000.解得：为=20,々=36.

在平面百角坐标系中画出w,与*的数东意图.观察示意图可知:w>40000,20<x<36.

2

=(x-6-«)(-100x+5000)-2000--100x+(5600+100tz)x-32000-5000«.

b5600+100a

对称轴为％=■-丁==28+-«

2a2x(—100)2

a<4,...对称轴x=28+』a<30..,.当x=28+!”时，吗用=42100元.

22

28+]。—6—100(28+万。1+5000—2000=42100—88“+]72=()，二.=2,4=86.

又a<4,:.a=2.

【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及

二次函数的性质是解题的关键.

重难点题型

题型1.球类运动轨迹问题

解题技巧：球类运动与抛物线息息相关，如运动轨迹、速度的变化等。在分析球类问题时，题干一般并未

告知函数的解析式，仅告知了某些特殊点的坐标，因此，球类问题的解题步骤为：

①根据图形中的特殊点，利用待定系数法，求解函数解析式；②转化为二次函数问题进行求解，并解答

1.(2020•吉林省初三二模)如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4.4加处跳起投篮，球沿条抛

物线运动，当球运动的水平距离为2.4加时，达到最大高度4m，然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地

面的高度为3%则这位运动员投跳时，球出手处距离地面的高度//为m.

【答案】2.56

【分析】先根据题意抽象出数学模型，设球的运动轨迹丫=2*2+。代入函数图象经过的点，求出函数解析式,

再计算当x=-2.4时y的值即可求解.

【解析】解：设球的运动轨迹y=ax?+c,4.424=2,，y=ax2+c经过点(0,4),(2,3),

(■.(c-4

4=c'1

代入可得：仁,，解得：1.y=--x2+4,

3=4a+ca=一一4

iI4

12

当x=-2.4时，y=--（-2.4）+4=2.56,即球出手处距离地面的高度力为2.56m,故答案为：2.56m.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建

模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键.

2.（2020•山西省初三期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为尸，羽毛球

123

飞行的水平距离s（米）与其距地面高度〃（米）之间的关系式为〃=———+—s+—,如图，已知球网AB

1232

9

距原点5米，乙（用线段表示）扣球的最大高度为丁米，设乙的起跳点C的横坐标为机，若乙原地起

跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则机的取值范围是.

【答案】5<m<4+-J1

【解析】当人=公时，一份S2+§S+]=（,解得s=4±«;

:扣球点必须在球网右边，即机>5,5</n<4+近.

点睛：本题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以选取h等于最大高度，求自变量的值，再

根据题意确定范围.

3.（2020•浙江省邺州区宋诏桥中学初三一模）一名男生推铅球，铅球的行进高度，（单位：相）与水平距

125

离X（单位：m）之间的关系为y=一五/+]%+§,铅球行进路线如图.（1）求出手点离地面的高度.

（2）求铅球推出的水平距离.（3）通过计算说明铅球的行进高度能否达到4".

【答案】（1）1米；（2）铅球推出的水平距离为10米；（3）铅球的行进高度不能达到4米

5125

【分析】（l）x=o得>=§；（2）令）=0得：一值f+§x+]=o,解方程，保留正值，即为该男生将铅球推

125

出的距离;（3）把产4代入，得一万f+§x+§=4,化简得f一8X+28=0,方程无解，即可求解.

【解析】⑴把x=0代入丁=一二一+基+=得：y=答：出手点离地面的高度|■米

123333

125

（2）--x2+-x+-=0,解得玉=10,刍=-2（舍去）.•.铅球推出的水平距离为10米.

125

（3）把y=4代入，得一二f+4,化简得丁―8%+28=0,方程无解，

1233

•••铅球的行进高度不能达到4米.

【点睛】本题主要考查二次函数解决实际问题，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的基础知识.

4.（2020•湖州市第四中学教育集团初三月考）如图，将小球沿某方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物

线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度力（单位：加）与飞行时间f（单位：s）之间具有函数关系力=

20f-5p.

（1）求小球飞出1s时的飞行高度；（2）求小球从飞出到落地要用的时间.

【答案】（1）15/n；（2）4s

【分析】（1）将t=l代入函数关系式即可求解；（2）将h=0代入函数关系式即可求解.

【解析】解:⑴当f=l时,即仁20义1-5X1=15，〃.答：小球飞行3s时的高度是15"?；

⑵令〃=20「5/=0解得"=0（舍去），立=4二小球从飞出到落地要用4s.

【点睛】本题主要考查的是二次函数和一元二次方程的应用，根据题意建立方程是解题的关键.

5.某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球

的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面

的高度为J（米），运行时间为7（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：

t（秒）00.160.20.40.60.640.8

X（米）00.40.511.51.62

y（米）0.250.3780.40.450.40.3780.25

（1）当f为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？

:

（3）乒乓球落在桌面上弹起后，N与x满足j=a（x-3）+左①用含a的代数式表示左；②球网高度为0.14

米，球桌长（L4x2）米，若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A,求a的值.

【答案】（1）t为0.4秒；（2）三米；（3）k=--a，-6-库

5410

【解析】（1）由表格中数据可知，当t=0.4秒时，乒乓球达到最大高度.

（2）由表格中数据可判断，y是x的二次函数，且顶点为（1,0.45）,

所以可设y=a（x-1）2+0.45.将（0,0.25）代入y=a（x-1）2+0.45,

得0.25=a（0-1）2+0.45,解得:a=-0.2.Ay=-0.2（x-1）2+0.45.

当y=0时，-0.2（x-1）2+0.45=0,解得x=2.5,或x=-0.5（舍去）.

二乒乓球落在桌面上时，与端点A的水平距离是2.5米.

（3）①由（2）得，乒乓球落在桌面上时的坐标为（2.5,0）.

将（2.5,0）代入y=a（x-3）2+k,得0=a（2.5-3）2+k,化简整理，得k=-1a.

4

②•••点A坐标为（0,0）,又球网上端中点坐标为（1.4,0.14）,故扣杀路线在直线y=5x匕

由①得y=a（x-3）2-1a令a（x-3）2--a=-x,整理，得20ax?-（120a+2）x+175a=0

4410

当=（120a+2）2-420a175a=0时，符合题意，解方程，得a1=4+届,^-6-435

1010

当a=-6+四时,求得x=Y35,不合题意，舍去.当a=6岳时,求得*=叵，符合题意.

102102

答：当2=22医时，可以将球沿直线扣杀到点A.

10

考点：平面直角坐标系、二次函数的实际应用.

6.（2020•河北初三二模）弹球游戏规则：弹球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成

功.弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线.如图，甲站在原点处，从离地面高度为1机

的点4处抛出弹球，当弹球运动到最高处，即距离地面2加时，弹球与甲的水平距离为2m.弹球在B处

着地后弹起，此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半，再落至点。处.

（1）求弹球第一次着地前抛物线的解析式（不要求写出》的取值范围）（2）若不考虑筐的因素，求弹球第

二次着地点到点。的距离.（3）如果摆放一个底面半径为0.5%，高0.5机的圆柱形筐，且筐的最左端距离

原点9加，那么甲能投球成功吗？若能，请说说理由；若不能，请移动筐使甲投球成功，求筐的移动方向及

移动距离机的取值范围.

【答案】（1）y=-^（X-2）2+2；（2）弹球第二次着地点到点。的距离为（6+2V2）W；（3）"?的取值

范围为5-3也<m<6-3亚

【分析】（1）由题意可以用顶点式表示抛物线，然后用待定系数法确定顶点式中的参数即可得到解答；

（2）同（1）可先求得第二段抛物线的解析式，从而可同函数图象的意义算得弹球第二次着地点到点0的距

离：（3）由（2）得到的抛物线解析式可以得到解答.

【解析】（1）由题意可得，弹球第一次着地前抛物线的顶点坐标为（2,2）,

故可设抛物线的解析式为（x-2）2+2,将A（0,1）代入，得“=一!，

4

故弹球第一次着地前抛物线的解析式为产一,（x—2）2+2

4

（2）当产0时，一：（A—2）2+2=0,得4=2+2贬，X2=2—2及，:.B（2+20，0）.

由从点8弹起的最大高度为原来最大高度的一半，可知第二段抛物线的最高点的纵坐标为I,

故可设该抛物线的解析式为尸一上（x-b）2+1,

4

将3（2+2及，0）代入，得加=2夜（舍），*2=4+272-

；.）=一；（》一4一2灰）41,且对称轴为直线k4+2夜

：.c（6+2V2.0）即OC=（6+20）m.故弹球第二次着地点到点。的距离为（6+2a）m.

（3）当x=9时，尸一1（9-4-272）+1=-0.18<0,故甲不能投球成功.

由上面的计算可得，篦要沿x轴向左移才能投进球.

当弹球恰好砸中筐的最左端时，一；（9-/n-4-2V2）2+1=0.5,

解得见=5—3也，，小=5-血（舍），即当帆=5—30时，弹球恰好砸中筐的最左端，

又：筐的直径为Im,5—3亚+1=6—3亚,

当“7=6—3亚时，弹球恰好砸中筐的最右端，故，〃的取值范围为5—3也<m<6-3V2-

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握投球问题中球的运动轨迹及二次函数的图象和性质是解

题关键.

7.（2020•宜春市第四中学初三月考）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分.如

图，甲在。点正上方1根的点P发出一球，羽毛球飞行的高度）（阴）与水平距离X（加）之间满足函数表达式：

y=a（x—4）?+〃，已知点0与球网的水平距离为5m，球网的高度1.55〃?.

（1）当。=-与，①求4的值；②通过计算判断此球能否过网；（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点

【分析】（1）①将点P（0,I）与。=一二-代入解析式，即可求出h的值；

24

②将x=5代入抛物线解析式，若函数值y大于1.55,则可以过网，反之则不可以；

（2）将P（0,1）与（7,y）代入函数解析即可求出a的值.

119

【解析】（1）①当。二一二时，y——T7（x—4）+%

2424''

将点P（0,1）代入解析式得：1=一/（0-4）?+力解得//=：；

Is15

②将x=5代入y=——（%-4）2一+—得：y=——（5-4?2+-=1.625：1.625>1.55，能过网

-24'7324''3

12,

（2）将P（0,1）与（7,y）代入y=a（x-4）-+力得：

「/、2,[_1

a（0-4）+h=la——

,5八2.12,解得（

Q（7-4）+〃=—._215

15I-T

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.

题型2.拱桥问题

解题技巧：此类题型，需要我们自己建立合适坐标系，然后求解函数解析式，最后根据解析式求响应问题。

建立坐标系原则：纵坐标建在对称轴上，横坐标依题意，可随意选择

优点：①顶点坐标容易得出，便于利用二次函数顶点坐标求解解析式；

②函数关于y轴对称，函数解析式可设为：y=ax2+k

③二次函数关于y轴对称，实际问题方便求解

（2）解题步骤：

①建立合适的坐标系（纵坐标建在对称轴上），得出特殊点的坐标值

②利用顶点式求出函数解析式

③实际问题，需确定函数取值范围

④根据题干要求，分析二次函数解析式，求解相应内容。

1.（2020•江苏无锡•初三零模）有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时宽20m,水位上升3m就达

到警戒线CD，这时水面宽度为10m.（1）在如图的坐标系中，求抛物线的解析式.（2）若洪水到来时，

【分析】（1）设抛物线解析式为y=ax2,设。（5力），则3（10/-3）,把。、B的坐标分别代入即可求出

a,b的值，故可求解；（2）求出拱桥顶。到CD的距离为1,从而得出答案.

【解析】（1）设所求抛物线的解析式为y=.设。（5力），则3（103-3）,

o25。=/?,ci=-----,1

把。、8的坐标分别代入丫=欠2,得<解得〈25.\y=--X92.

•\QQa=b-3,,.25

i[0=-

(2)=0(5,—1).•.拱桥顶。到C£>的距离为1,(=5(h).

故再持续5h到达拱桥顶.

【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，将实际问题抽象成

二次函数的问题.

2.（2020•东北师大附属明达学校初三二模）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥

面相交于两点，拱桥最高点C到AB的距离为4丸AB=12,几E为拱桥底部的两点，且DE11AB,若

DE的长为18加,则点E到直线AB的距离为m

【分析】首先建立平面直角坐标系，x轴在直线DE匕丁轴经过最高点。，设AB与y轴交于〃，然后

设该抛物线的解析式为：y=a（x-9）（