几何最值及路径长讲义及答案

/几何最值及路径长（讲义）一、知识点睛解决几何最值问题的通常思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．理论依据：两点之间，线段最短（已知两个定点）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦常用模型、结构示例：①奶站模型求的最小值，求的最大值，使点在线异侧使点在线同侧②天桥模型固定长度线段在直线l上滑动，求的最小值，需平移（或），转化为奶站模型解决③折叠求最值结构求′的最小值，转化为求′′的最小值（利用A′为定值）解决路径长问题的思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②猜测、验证，确定运动路径；猜测常通过“起点、终点、特殊点”，结合不变特征验证．③设计方案，求出路径长．二、精讲精练如图，在平面直角坐标系中，△的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边上一动点，则的最小值为．第1题图第2题图如图，在矩形中，4，8，E为边的中点．若P，Q为边上的两动点，且2，则当时，四边形的周长最小．如图，在三角形纸片中，已知∠90°，5，4．过点A作直线l平行于，折叠三角形纸片，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为．当点P在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在，边上（包括端点）移动，则线段长度的最大值与最小值之差为．第3题图第4题图如图，在△中，∠120°，4，M，N两点分别是边，上的动点，将△沿翻折，A点的对应点为，连接，则的最小值是．如图，∠90°，矩形的顶点A，B分别在，上，当点B在上运动时，点A随之在上运动，且矩形的形状和大小保持不变．若2，1，则运动过程中点D到点O的最大距离为（）A． B． C． D．第5题图第6题图如图，E，F是正方形的边上的两个动点，且满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是．如图，在△中，6，8，10，P为边上一动点，⊥于点E，⊥于点F，M为中点，则的最小值为．第7题图第8题图如图，在△中，，⊙O的半径为1，点P是边上的动点，过点P作⊙O的一条切线（点Q为切点），则长度的最小值为．如图，是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠30°，点E，F分别是，的中点，直线与⊙O交于G，H两点．若⊙O的半径为7，则的最大值为．第9题图第10题图边长为2的正方形的两条对角线交于点O，把与分别绕点B和点C逆时针旋转相同的角度，此时正方形随之变成四边形．设，交于点，若旋转了60°，则由点O运动到点所经过的路径长为．如图，木棒的长为2a，斜靠在与地面垂直的墙壁上，且与地面的倾斜角（∠）为60°．当木棒A端沿向下滑动到，B端沿直线向右滑动到，若，则木棒的中点P随之运动的路径长为．第11题图第12题图如图，已知线段10，2，点P是线段上一动点，分别以，为边向上、向下作正方形和正方形．设正方形对角线的交点分别为O1，O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2的中点G运动的路径长为．已知等边三角形的边长为4，点D是边的中点，点E在线段上由点B向点A运动，连接，以为边在右侧作等边三角形．设△的中心为O，则点E由点B向点A运动的过程