力学与结构课件

第1章

绪论和静力学基本知识建築力學的研究對象和任務

土木工程中的各類建築物，從開始建造就承受各種荷載的作用。工程中把主動作用於建築物上的外力稱為荷載，把建築物中承受並傳遞荷載而起骨架作用的部分叫做建築結構，簡稱結構。組成結構的單個物體叫構件。梁、柱、板、牆和基礎等都是常見的構件。構件一般分為三類，即杆件(一個方向的尺寸遠大於另外兩個方向的尺寸，如梁、柱、牆、板)、薄壁構件(一個方向的尺寸遠小於另外兩個方向的尺寸，如薄板)和實體構件(三個方向的尺寸相差不大，如水壩)。在建築結構中應用最廣的是由杆件組成的結構，稱為杆系結構，如圖1.1(a)和1.1(b)所示是由一個梁或柱組成；也可以由幾個杆件組合在一起構成剛架結構或桁架結構，如圖1.1(c)所示的屋架是由很多杆件組成的屋蓋結構；如圖1.1(d)所示是由一根梁和拉杆組成的雨篷結構。一、建築力學的研究對象圖1.1杆系結構

建築力學的主要研究對象就是杆件和杆系結構，其他的如薄壁構件、實體構件是彈性力學的研究內容。

建築結構構件在規定的荷載作用下能安全工作而不能發生材料破壞。關於結構及構件的安全(或破壞)問題稱為強度問題。在荷載作用下，結構及杆件的形狀、尺寸和位置均會發生改變，稱為變形。一個結構在荷載作用下，儘管有足夠的強度，但如果變形過大，也會影響正常使用。為保證結構的正常工作，必須控制結構在荷載作用下的變形，稱為結構的剛度問題。結構中某些受壓的細長杆件，如屋架中的壓杆，在外力較小時能維持其直線平衡狀態，但當壓力超過某一值時(這個值比按強度計算的值小得多)，壓杆的直線平衡狀態已不穩定，稍有擾動很容易突然變彎，從而導致結構的破壞，這種現象稱為失穩破壞，屬於結構的穩定性問題。綜上所述，建築力學的研究任務就是研究杆系結構在外荷載及其他因素作用下結構和構件的強度、剛度和穩定性。二、建築力學的研究任務建築力學的研究對象和任務靜力學的基本概念和假設

剛體是在外力作用下，其內部任意兩點之間的距離不發生變化的物體。實際物體在外力作用時，內部各點之間的距離都會發生一定的改變，即物體產生了變形。當物體的變形很小時，可以將變形略去不計，這時，物體可以抽象為剛體，從而使問題的研究大為簡化。但當研究的問題與物體的變形密切相關時，就必須考慮物體的變形，哪怕是極其微小的變形，這時就要把物體抽象為變形體這一力學模型。變形體是在外力作用下內部各點之間距離會發生變化的物體。如研究一個簡支梁在外力作用下的內力時，可以把簡支梁看做一個剛體，而要研究梁的變形時，就必須把梁看作變形體了。一、剛體和變形固體的概念二、建築力學的基本假設

建築力學的基本假設有如下兩個。1.材料的連續、均勻、各向同性假設

連續是指固體內部沒有空隙。相應地，固體內出現的物理量(如變形、位移等)也可以看成是連續的，從而可以用座標的連續函數來描述。

均勻是指固體內各處的力學性質完全相同。從而可以取出物體的任意微小部分來研究，其結果可以推廣至整個物體。各向同性是指固體在各個方向上具有相同的力學性質。上述假設不僅使力學計算大為簡化，依據它們所得出的結論也是可以滿足工程所需精度的。2.結構及構件的微小變形假設

工程常用的材料，在荷載不超過一定範圍時，只有彈性變形沒有塑性變形，稱為彈性體。建築力學中假設結構及構件的變形都是微小的，討論變形後結構的平衡時，可以忽略這些變形值而按變形前結構及構件的尺寸來進行計算，並且荷載的作用位置也不改變。三、杆件變形的基本形式

杆件的變形有下列四種基本形式。l.軸向拉伸或壓縮

當一直杆在兩端承受軸向的拉力或壓力時，其發生的變形是沿杆軸線方向的伸長或縮短，如圖1.2(a)、圖1.2(b)所示。靜力學的基本概念和假設2.剪切變形

當杆件在兩橫截面處有一對垂直於杆軸，但方向相反的橫向力作用時，其發生的變形為該兩截面沿橫向力方向發生相對錯動，如圖1.2(c)所示。圖1.2杆件變形的基本形式靜力學的基本概念和假設3.扭轉變形

杆件在一對大小相等、轉向相反、位於垂直於杆軸線的兩個平面內的力偶作用下，杆件任意兩個橫截面發生繞軸線的相對轉動，如圖1.2(d)所示。4.彎曲變形

當杆件在兩端承受一對外力矩，且力矩的作用面與杆件的橫截面垂直時。杆件軸線由直線變為曲線，杆件的這種變形稱為彎曲，如圖1.2(e)所示。有時，當杆件在一組垂直於杆件軸線方向的橫向力作用下發生彎曲變形時，還伴有剪切變形，稱為橫力彎曲。工程實際中的杆件，大多數情況下同時承受多種荷載作用而發生複雜的變形，但它們都可以看作是上述基本變形的組合。四、荷載的分類

作用在建築結構上的外力稱為荷載，例如結構的自重、施加在結構上的土壓力和水壓力。除了外力外，還有其他因素引起結構的內力和變形，如溫度變化、基礎的不均勻沉降、材料的收縮等。從廣義來說，這些因素也是荷載。根據不同的標準可以把荷載分成不同的種類。靜力學的基本概念和假設1.按荷載作用時間的長短分類(1)永久荷載(恒載)。永久荷載是指在結構使用期間內，其值不隨時間變化，或變化與平均值相比可忽略不計的荷載。例如結構的自重、土壓力等。

(2)可變荷載(活載)。可變荷載是指在結構使用期間內，其值隨時間變化且其變化值與平均值相比不可忽略不計的荷載。例如，樓屋面上的人群荷載，作用在建築物上的風荷載、雪荷載等。

(3)偶然荷載。偶然荷載是指在結構使用期間內，不一定出現，但一旦出現其值便很大且持續時間短的荷載。這種荷載如果在設計時考慮不周，可能引起嚴重的後果。如建築物所受的地震作用、橋墩所受的輪船的撞擊荷載、爆炸荷載等。2.按作用在結構上的荷載性質分類(1)靜力荷載。靜力荷載就是指大小、方向和作用點不隨時間而發生變化的荷載。

(2)動力荷載。動力荷載就是指大小、方向隨時間而發生變化的荷載。靜力學的基本概念和假設3.按作用在結構上的荷載分佈狀況分類(1)體荷載。體荷載指分佈在結構整個體積內連續作用的荷載。如圖1.3(a)所示的物體G的重力就是典型的體荷載。

(2)分佈荷載。分佈荷載指分佈在結構某一表面上的荷載。①均布面荷載。均布面荷載如圖1.3(b)所示。②均佈線荷載。若均布面荷載換算到計算構件的縱軸線上，即均布面荷載乘以其負載寬度，則可得沿縱向的均佈線荷載，如圖1.3(c)所示。③三角形分佈荷載。三角形分佈荷載如水對水池壁的側向壓力，如圖1.3(e)所示。

(3)集中荷載。作用於結構上的荷載，當分佈面積遠遠小於結構尺寸時，可以認為此荷載是作用於結構某一點上的荷載，即集中荷載如圖1.3(d)所示。圖1.3荷載分類示意圖靜力學的基本概念和假設結構的計算簡圖

工程中實際結構的受力很複雜，完全按照結構的實際情況進行力學分析是不可能的，也沒有必要。省略不重要的細節，突出結構的主要特點，用一個簡化的力學圖形來代替實際結構進行計算，這個圖形就叫做結構的計算簡圖。一、約束與約束反力

對某物體起限制作用的另一物體稱為約束。例如軌道對塔吊，牆體對梁、板等。約束對物體的作用稱為約束反力，簡稱反力。下麵介紹在工程實踐中經常遇到的幾種約束及其約束反力。1.柔性約束

用繩索、鏈條、皮帶等軟體構成的約束都屬於柔性約束，如圖1.4所示。2.光滑面約束

光滑接觸面的約束反力必然通過接觸點，方向沿著接觸表面的公法線指向受力物體，如圖1.5所示。結構的計算簡圖圖1.3荷載分類示意圖圖1.3荷載分類示意圖3.鉸鏈約束

鉸鏈約束如圖1.6所示，簡稱鉸。若不計摩擦，物體所受到的約束力應通過接觸點和圓孔中心。鉸鏈約束的約束反力的大小和方向均為未知，一般將它分解為兩個相互垂直的分力和，如圖1.6(d)所示。圖1.6鉸鏈約束4.鏈杆約束

兩端用鉸鏈與物體連接且中間不受力的剛性杆稱為鏈杆，如圖1.7(a)、(b)所示，鏈杆也稱為二力杆。鏈杆的約束反力的方向只能沿著鏈杆兩端鉸的連線，如圖1.7中的(c)、(d)所示。圖1.7鏈杆約束二、支座與支座反力

工程結構中將結構或構件支撐在另一個靜止構件上的裝置稱為支座。支座對它所支撐構件的約束反力稱為支座反力。下麵介紹工程中常用的三種支座：固定鉸支座(鉸鏈支座)、可移動鉸支座和固定端支座。結構的計算簡圖1.固定鉸支座

用鉸鏈將結構或構件與地基或靜止的結構物連接起來，構成固定鉸支座，如圖1.8(a)所示。也可用圖1.8中的(b)～(e)表示，通常用水平約束反力和豎向約束反力來表示，如圖1.8(f)所示。2.可移動鉸支座(單鏈杆支座)

如圖1.9(a)～(e)所示，可移動鉸支座又稱單鏈杆支座，該鏈杆簡稱支杆。它只限制構件與基礎沿鏈杆軸線的相對運動，對物體的約束反力垂直於支撐面(或沿鏈杆軸線方向)。圖1.8固定鉸支座圖1.9可移動鉸支座結構的計算簡圖3.固定端支座

如圖1.10所示，固定端支座A既不能水準、豎向移動，也不能轉動。工程實際中插入地基中的電線杆，陽臺的挑梁，其根部的約束均可以視為固定端支座，如圖1.11所示。它的約束反力有三個分量：水準約束反力、豎向約束反力和約束反力矩M。圖1.10固定端支座圖1.11固定端支座結構的計算簡圖三、物體的受力分析與受力圖

研究物體受力時，我們假想把所研究物體與周圍物體分離出來，然後畫出它的全部受力，包括主動力和約束力。這樣分離出來的物體叫脫離體，畫出的圖形叫受力圖。畫受力圖時，所有的杆件均以杆軸線來代替。結點的簡化要根據其構造性質而定。凡是各杆可繞其自由轉動或各杆之間夾角可以變化的結點稱為鉸結點；凡是各杆之間夾角在結構變形前後保持不變的結點稱為剛結點。例如現澆鋼筋混凝土框架結構房屋的梁和柱的連接結點可看作剛結點；單層工業廠房的屋架與柱子用焊接鋼板連接或採取其他構造連接，轉動剛度不大，認為屋架可以繞柱頂微轉動，所以在受力分析中將其簡化為鉸結點。作受力圖時，有時要根據二力平衡條件、三力平衡匯交定理等平衡條件確定約束反力的指向或者作用線的方向並應先畫主動力，後畫約束力。下麵用具體的例子說明受力圖的畫法。

【例1.1】

如圖1.12(a)所示，一個鋼球重，用繩系住，並靠在光滑的斜面上，試分析球的受力情況，並畫出受力圖。解(1)取鋼球作為研究對象。

(2)先畫主動力，重力W。結構的計算簡圖(3)畫約束反力，繩子的約束反力為，方向沿繩索方向，背離鋼球(拉力)。斜面對球的約束反力方向垂直斜面，指向球心，約束反力為。受力圖如圖1.12(b)所示。圖1.12鋼球受力分析

【例1.2】

梁AB上作用有已知力F，梁的自重不計，A端為固定鉸支座，B端為可動鉸支座，如圖1.13(a)所示，試畫出梁AB的受力圖。解(1)取梁AB為研究對象。

(2)畫出主動力F。

(3)畫出約束反力。梁B端是可動鉸支座，其約束反力是，沿斜杆軸線作用。此處假設斜向上。A端為固定鉸支座，其約束反力為大小、方向不定的，可用水準與垂直反力、表示，如圖1.13(b)所示。圖1.13水準梁受力分析結構的計算簡圖

【例1.3】

一水準梁AB受已知力F的作用，如圖1.14(a)所示，A端是固定端支座，梁的自重不計，試畫出梁AB的受力圖。解(1)取梁AB為研究對象，如圖1.14(b)所示。

(2)畫出主動力，即已知力。

(3)畫出約束反力，A端是固定端支座，其約束反力為水準和豎向的未知力FAx

、FAy

和約束反力偶。圖1.14梁AB受力分析

【例1.4】

如圖1.15(a)所示的三角形托架，A、C處為固定鉸支座，兩杆在B點用鉸相連，試畫出結構體系的受力圖。解(1)取重物W為研究對象。重物W受重力和杆AB的支持力FN

而平衡。

(2)取杆BC為研究對象。杆BC受兩個鉸的約束，有兩個約束力分別為FB

、FC

，根據二力平衡，這兩個力大小相等、方向相反，作用線沿杆軸線。結構的計算簡圖

(3)取杆AB為研究對象，根據作用力與反作用力原理，杆AB在懸臂端處有重物W的壓力F’N

，大小等於W，方向豎直向下。在鉸B處受杆BC的作用力F’B

，方向沿杆CB方向斜向上。在鉸A處受鉸A的作用，約束力方向不能判斷，可以表示為FAx

及FAy

。圖1.15三角形托架受力圖

系統內物體間的相互作用力稱為內力，系統外物體對該系統的作用稱為外力，畫系統的受力圖時，應只畫外力，不畫內力；但當研究對象變化時，內力可能變為外力。現將畫受力圖的注意事項歸納如下：①根據計算需要選取脫離體時，既可以選取整個系統作為研究對象，也可以只選取一部分，關鍵要看分析問題的方便。結構的計算簡圖

②脫離體的約束要全部去掉，代之以相應的約束力，約束力的方向要根據約束的性質判定。③研究對象所受的力要全部畫出，凡是兩物體連接的地方一般都有力的作用，不要遺漏。④要根據作用力與反作用力之間的關係分析物體的相互作用力的性質和方向。⑤有時約束力只能確定作用線的方向，而不能確定該反力的方向，這時可以假定此反力的方向。⑥正確判斷二力杆。結構的計算簡圖力、力矩和力偶理論一、基本概念

力是物體與物體之間的相互作用，這種作用的效果會使物體的運動狀態發生變化(外效應)，或者使物體發生變形(內效應)。力的大小、方向、作用點是力的三要素。力是向量，可以用一個帶箭頭的線段來表示，如圖1.16(a)所示的力F，可用向量表示。力是向量，力的合成與分解要符合幾何上的平行四邊形法則。如果有兩個力同時作用在一個物體的點A上，如圖1.16(b)所示，力F1和F2的大小和方向由有向線段和表示，是平行四邊形ABDC的對角線，那麼這兩個力的作用效果與作用點在A點，大小和方向由有向線段表示的力FR是相同的，這就是力分解與合成的平行四邊形法則。在力學分析時，為了分析的方便，可以根據平行四邊形法則把兩個作用點相同、方向不同的力合成為一個力；也可以把一個力分解為作用點相同、方向不同的兩個力。力的國際單位是牛[頓](N)，或千牛(kN)。圖1.16力1.力的概念

力既能使物體產生平動效應，又能使物體產生轉動效應。如圖1.17所示，力F使物體繞O點轉動的效應稱為力F對O點的矩，簡稱力矩，即，O點稱為矩心，矩心O到力F作用線的垂直距離d稱為力臂。習慣上規定，若力使物體繞矩心作逆時針方向轉動則力矩為正，反之為負。力矩的單位是牛[頓]米(N•m)或千牛[頓]米(kN•m)。2.力矩的概念圖1.17力矩力、力矩和力偶理論

由一對等值、平行、反向、不共線的力組成的力系叫力偶。它僅使物體產生轉動效應而沒有平動效應。力偶的大小用力偶矩來度量，力偶中兩個力的作用線之間的垂直距離叫力偶臂，力偶矩就等於力與力偶臂的乘積，力偶矩用m來表示，即，如圖1.18所示。同力矩的方向一樣，力偶使剛體作逆時針轉動時，力偶矩為正，反之為負。平面問題中力偶矩和力矩一樣，都是代數量。力偶的基本性質如下：

(1)力偶只能使物體產生單純的轉動。力偶不能用一個力來代替，也不能和一個力平衡，力偶只能和力偶平衡。

(2)力偶對作用面內任一個點的力偶矩都相等，都等於力偶矩，而力對不同矩心的力矩不同。

(3)力偶的等效性。力偶對剛體的轉動效果完全取決於力偶矩。2.力矩的概念圖1.18力偶如果兩個力偶的力偶矩大小相等、轉向相同，這樣的兩個互等的力偶稱為等效力偶。力、力矩和力偶理論

可以得出如下結論：①力偶可在其作用面內任意移動和轉動，而不改變其對剛體的作用效果；②在保持力偶矩的大小和轉向不變的情況下，可任意改變力偶的力的大小和力偶臂的長短，而不改變力偶對剛體的轉動效果。因為只要力偶矩的大小和轉向不變，力偶總是等效的。二、靜力學的基本原理

受兩個力作用保持平衡的物體稱為二力杆。顯然，二力杆上的兩個力必定等值、反向和共線，如圖1.19所示。1.二力平衡原理圖1.19二力平衡

在作用於剛體的原力系上任意加上或減去一個平衡力系，並不改變原剛體的平衡或運動狀態。上述結論顯然是成立的，因為平衡力系對剛體的平衡或運動狀態沒有影響。2.加減平衡力系原理力、力矩和力偶理論

作用在剛體上的力可沿其作用線移到剛體上的任意一點，而其對剛體的作用效應不變，如圖1.20所示。3.力的可傳性原理圖1.20力沿作用線移動

剛體受不平行的三個力作用而處於平衡狀態時，這三個力F1、F2、F3的作用線必定在同一平面內且匯交於一點O，如圖1.21所示。4.三力平衡匯交原理圖1.21三力平衡匯交原理力、力矩和力偶理論

兩個物體之間的作用力與反作用力，總是大小相等、方向相反，作用線共線、且作用在不同的兩個物體上。

注意：作用力與反作用力的概念與二力平衡條件的概念是不同的，後者作用在同一物體上；前者作用在兩個不同的物體上。

5.作用力與反作用力定律力、力矩和力偶理論平面匯交力系一、平面匯交力系合成與平衡的幾何法

如圖1.22(a)所示，設物體上作用兩個力和，由平行四邊形原理，這兩個力可以合成為一個合力。也可如圖1.22(b)所示，先做向量等於力，再以B點作為起點作向量，等於，然後連接AC兩點，向量即表示合力的大小和方向。此方法稱為力的三角形法則。1.兩個匯交力的合成圖1.22兩個匯交力的合成

對任意個匯交力的合力，可以逐次應用力的三角形法則，將這些力依次合成，從而求出合力的大小和方向。如圖1.23所示，一個平面匯交力系、、和作用於某物體的點，若求力系的合力，可以從A點開始做向量等於力，再依次首尾相連做出力、和(依次連接BC、CD、DE)，最後同樣可以得到合力為。多邊形ABCDE稱為力多邊形，此種作圖法稱為力多邊形法則。2.任意個匯交力的合成圖1.23任意個匯交力的合成

作力多邊形時可以任意變換力的次序，不會改變最後合力的大小和方向。平面匯交力系合成的結果是一個合力，合力的大小和方向等於原力系中各力的向量和，合力的作用線通過各力的匯交點。平面匯交力系

用公式表達為：（1.1）平面匯交力系

平面匯交力系平衡的充分和必要條件是：該力系的合力等於零。用公式表達為：

【例1.5】剛架如圖1.24(a)所示，已知水準力F，求支座A、B的反力。2.任意個匯交力的合成（1.2）圖1.24剛架受力分析

解剛架受三力作用平衡必匯交於一點：一個是主動力F，另外兩個是支座A和B的反力，支座B是移動鉸支座，反力方向豎直向上，支座A是固定鉸支座，由三力平衡匯交原理，反力方向通過力F和力RB作用線的交點C。根據受力圖圖1.24(b)，作力的封閉三角形，如圖1.24(c)所示。(方向如圖所示，作用線經過力F與力RB

作用線的交點C)平面匯交力系二、平面匯交力系合成與平衡的解析法

在實際工程中，幾何法用得不多，一般常用解析法。

設力F作用在剛體上點A，用有向線段AB表示，如圖1.25所示，在力的作用平面內取直角坐標系Oxy，力F在x、y軸上的投影Fx

、Fy

：1.力在坐標軸上的投影（1.3）

式中，α為F與x軸的夾角，由x軸正向逆時針摶動為正。可求出合力F的大小和方向：（1.4）（1.5）平面匯交力系圖1.25力在坐標軸上的投影

【例1.6】

已知力F的大小為20kN，與x軸的夾角為-30°，如圖1.26所示，試計算力F在坐標軸上的投影。圖1.26力F的投影平面匯交力系

解

已知如圖1.27所示的平面匯交力系，建立直角坐標系，求出各力在x軸、y軸上的投影Fx1，Fx2

，…，Fxn和Fy1，Fy2，…，Fyi，…，Fyn，則合力FR在x軸、y軸上的投影分別為FRx，FRy，2.用解析法計算平面匯交力系的合力

合力的大小和方向：（1.6a）（1.6b）圖1.27平面匯交力系的合成平面匯交力系

平面匯交力系平衡條件是該力系的合力等於零。即：3.平面匯交力系的平衡

由於和恒為非負。若使FR=0，必須滿足：（1.7）

式(1-7)就是平面匯交力系平衡的必要和充分條件：力系中所有的力在兩坐標軸上的投影的代數和分別等於零，即

應用平面匯交力系的平衡方程，可以求解兩個未知量。平面匯交力系

【例1.7】

如圖1.28(a)所示，斜梁AB的中部承受鉛垂荷載。求AB兩端的支座反力，已知AB=2l，α=30°。圖1.28斜梁受力分析

解作梁AB的受力圖，如圖1.28(b)所示。由：

已知F=20kN。設AB=2l，則BD=，AD=，故可得：平面匯交力系

【例1.8】

計算例1.5。解作出受力圖如圖1.29(b)所示。圖1.29剛架受力分析平面匯交力系

根據平面匯交力系的解析平衡條件，列平衡方程即

由圖中幾何關係，可得：代入平衡方程可得：(↑)

其中，RA為負表示實際方向與假設相反。由以上例題的分析討論，現將解析法求解平面匯交力系平衡問題的步驟歸納如下：

(1)合理選取研究對象。

(2)畫出研究對象的受力圖，當約束力的指向不能確定時，可先假設其指向。

(3)選取適當的坐標系，最好使坐標系與某一未知力垂直，以便簡化計算。

(4)建立平衡方程求解未知力，儘量做到一個方程解一個未知量，避免解聯立方程。

(5)列方程時注意各力正負號，求出未知力帶負號時，表示該力的實際指向與假設相反。平面匯交力系平面力偶系的合成與平衡

同時作用在物體上的兩個或兩個以上的力偶，稱為力偶系。作用在同一平面內的力偶系稱為平面力偶系。

平面力偶系對物體的轉動效應應由平面力偶系的合力偶矩確定，合力偶矩等於平面力偶系中各力偶矩的代數和。即1.平面力偶系的合成（1.8）

式(1-8)中，MR表示合力偶矩；M1，M2，…Mn表示原力偶系中各力偶的力偶矩。

【例1.9】

如圖1.30所示，兩個力偶同時作用在某平面上，求合力偶矩。已知，F=10kN，d=1.5m，m2=12kN·m。圖1.30平面力偶系

解兩個力偶在同一平面上，可以合成為一個力偶矩。平面力偶系的合成與平衡

平面力偶系平衡的必要和充分條件是：其合力偶矩為零，即力偶系中各力偶矩的代數和為零：上式也稱為平面力偶系的平衡方程。

【例1.10】

如圖1.31所示，梁AB受一力偶矩作用，梁的自重不計，求梁在支座A、B處的約束反力。2.平面力偶系的平衡條件（1.9）平面力偶系的合成與平衡圖1.31梁AB受力分析

解取梁AB為研究對象。該梁只承受主動力偶矩的作用。力偶矩只能用力偶矩平衡，支座A、B的反力必定組成一個力偶。假設A支座和B支座的反力方向如圖1.31所示。由

支座反力的方向與假設相同。平面一般力系

作用於物體上的各力的作用線均在同一平面內的力系是平面一般力系。平面匯交力系、平面力偶系可以看作平面一般力系的特例。平面一般力系是建築工程中最常見的力系，例如圖1.32中折線形的屋架，從尺寸上來看，它的厚度比其他兩個方向的尺寸小得多，這種結構一般稱為平面結構。平面結構受的力，一般都在同一平面內，組成平面力系，屋架受到屋面傳來的豎向荷載、風荷載和支座的水準反力FAx

、豎向反力FAy

和FBy

的作用，這些力的作用線都在同一平面內，組成一個平面一般力系。圖1.32折線形屋架

在實際工程中，還有些結構本身並不是平面結構，而且所受的力也不在一個平面內，但是由於結構本身有一個對稱平面，且作用於結構上的力也對稱於該平面，則作用於該結構上的力也可以簡化為在此平面內的平面一般力系。如圖1.33所示的擋土牆，考慮它沿長度方向的受力大致相同，通常取1m長度的牆身為代表進行受力分析，並將作用在該牆段上的力系簡化為牆身中心對稱平面內的平面一般力系。圖1.33擋土牆平面一般力系一、平面一般力系的合成1)力線的平移定理如圖1.34(a)所示，物體上一點A受到力的作用，力F到點O的距離為d，現在把力F的作用點平行移動到O點，為了使力的作用效應不變，在O點加一個力F’，與力F大小相等、方向相反，在A點也增加力F’與力F大小、方向相同，如圖1.34(b)所示。兩個力F’大小相等、方向相反並不共線，正好組成一個力偶m，，把兩個F’替換為力偶，如圖1.34(c)所示。可以看出，圖1.34(a)、(b)、(c)中三種受力的作用效果相同。1.平面一般力系向作用面內一點的簡化圖1.34力線的平移平面一般力系

力線的平移定理：作用於剛體上的力，可以平移到剛體內任意一點，但必須附加一個力偶，力偶的矩等於原來的力對此點之矩。一個力平移到一點可以得到同平面的一個力和一個力偶，反之，同平面的一個力與力偶也一定能合成一個力。應用該定理時，必須注意以下兩點：

(1)平移力F的大小與移動點的位置無關，但附加力偶的大小與移動點O的位置有關。

(2)力線的平移定理說明了作用於剛體一點上的力可以和作用於剛體另外一點的一個力和一個力偶等效，反過來也可以認為平面內的一個力和力偶矩可以轉換為一個合力。在實際工程中，應用力線的平移定理可以更清楚地表示力的作用效應。如圖1.35(a)所示，一個單層工業廠房的柱子，在牛腿位置受到吊車梁傳來的荷載F，其作用線與柱子軸線間的距離是e，將力F移到柱軸線上的O點時，附加力偶的矩M=Fe(順時針轉向)，如圖1.35(b)所示。可以看出，力F使柱子受壓，附加力偶矩M使柱子受彎。圖1.35柱子受力平面一般力系2)平面一般力系向作用平面內一點的簡化如圖1.36(a)所示，剛體受到平面內任意力系的作用，各力用F1

，F2

，…，Fn

表示。為了求出合力的結果，先將力系向平面內任意一點O簡化，由力的平移定理，原力系等效於作用在點O的平面匯交力系和在此平面內的附加力偶，現將這兩個力系合成。圖1.36力系的簡化

因為……平面一般力系

平面匯交力系的合力稱為主矢，它等於原力系中各力的向量和，即

附加力偶系的合力偶矩M0稱為主矩，它等於原力系的各力對簡化中心之矩的代數和，即（1.10a）（1.10b）

由此可以看出，平面一般力系向作用面內任意一點O簡化，可得到一個力和力偶。這個力等於原力系的主矢，作用線通過簡化中心，並等於原力系中各力的向量和；這個力偶矩等於原力系的主矩，並等於原力系中各力對簡化中心之矩的代數和。由於主矢等於原力系中各力的向量和，所以它與簡化中心的選取無關。由於主矩等於原力系中各力對簡化中心之矩的代數和，當選取不同的簡化中心時，各力的力臂大小不同，因此，主矩也不同。一般情況下，主矩與簡化中心的選擇有關，指明主矩時必須標明力系的簡化中心。主矢描述的是原力系對物體的平移作用，主矩描述的是原力系對物體繞簡化中心的轉動作用，二者的作用總和才能代表原力系對物體的作用。因此，單獨的主矢R’或主矩Mo並不與原力系等效，即主矢R’不是原力系的合力，主矩Mo也不是原力系的合力偶矩，只有主矢R’和主矩Mo相結合才與原力系等效。平面一般力系

平面一般力系向作用面內任意一點O的簡化，可能有四種簡化結果：(1)R’≠0，Mo=0；(2)R’=0，Mo≠0；(3)R’≠0，Mo≠0；(4)R’=0，Mo=0。下麵對這四種情況作具體分析：

(1)主矢R’≠0，主矩Mo=0。該力系對簡化中心的合力矩等於零，說明該力系與通過簡化中心的一個力等效，此時原力系可以簡化為一個作用於簡化中心O的合力FR，此合力就是原力系的合力，即。

(2)主矢R’=0，主矩Mo≠0。此時原力系可以簡化為一個力偶，此力偶就是與原力系等效的合力偶，力偶矩為主矩Mo，，在這種情況下，主矩與簡化中心的選擇無關。

(3)主矢R’≠0，主矩Mo≠0。根據力的平移定理，此時力系可以繼續簡化為一個作用於另一個簡化中心O’的合力FR。

(4)主矢R’=0，主矩Mo=0。此時原力系平衡，簡化結果與簡化中心的選取無關。2.平面一般力系的合成3.合力矩定理

由前面分析可知，平面力系可簡化為一個主矢R’和主矩Mo，當主矢R’≠0，主矩Mo≠0時，可最終得一合力FR，合力對簡化中心點O的矩是等於主矩Mo。即平面一般力系

而所以（1.11）

由於簡化中心O是任意選取的，故上式具有普遍意義。平面一般力系的合力矩定理：平面一般力系的合力對作用面內任一點的矩，等於力系中各力對同一點的矩的代數和。

【例1.11】

求如圖1.37(a)所示的三角形分佈荷載的簡化結果。設梁的長度l、分佈荷載集度q0為已知。圖1.37三角形分佈荷載的簡化平面一般力系

解取如圖1.37所示的坐標系，由於各分佈力方向相同，都垂直於x軸，所以該力系必定合成為一個合力F，合力F的大小可由積分得到，方向與分佈力方向相同。取微分長度，其上的荷載為，，則合力大小為：

由圖示的三角形可知，任意位置處分布荷載集度為：

於是得合力的大小

合力F作用線的位置可以通過合力矩定理確定。設合力作用線通過橫坐標為xc

的C點，則

於是可得平面一般力系

三角形分佈荷載的合力如圖1.37(b)所示。由此可以看出，合力F的大小等於三角形荷載圖的面積，合力F的作用線通過三角形荷載圖的形心。這個結論也適用於一般的沿直線平行同向分佈的線荷載圖形。二、平面一般力系的平衡

平面一般力系處於平衡狀態的必要和充分條件是：力系的主矢和力系對任意點的主矩等於零。即

因上式也可以表達為（1.12a）（1.12b）平面一般力系

式1.12(b)是平面一般力系平衡方程的基本形式，其中前兩式為投影方程，第三式為力矩方程。對投影方程可以理解為：物體在力作用下沿x軸和y軸都不能移動；對力矩方程可以理解為：物體在力系作用下繞平面內任一矩心都不能轉動。滿足平衡方程時，剛體既不能移動，也不能轉動，剛體就處於平衡狀態。當剛體在平面一般力系作用下平衡時，可以用三個獨立的平衡方程解三個未知數。

【例1.12】

梁AB一端是固定支座，另一端無約束，梁的自重不計，承受荷載作用如圖1.38(a)所示。已知均布力q=20kN/m，集中力P=100kN，作用線與x軸夾角45°，l=5m，求支座A的反力。圖1.38梁AB受力分析平面一般力系解以梁AB為研究對象，畫受力圖如圖1.38(b)所示。由得，

由得，

由得，

【例1.13】

梁受荷載，如圖1.39(a)所示。已知集中力P=20kN，力偶矩M=20kNm，試求A、B的支座反力，長度單位為m。解取梁為研究對象，畫出受力圖，如圖1.39(b)所示。

由得，

由得，平面一般力系

根據

得三、平面平行力系的平衡

平面平行力系是平面一般力系的一種特殊情況，它的平衡方程可以由平面一般力系的平衡方程導出。如圖1.40所示，剛體受平行力系的作用，力系的各個力都與x軸垂直，則無論力系是否平衡，則每個力在x軸上的投影都為零，即，於是獨立的平衡方程只剩下兩個。即（1.13）平面一般力系圖1.40平行力系

平面平行力系平衡的充分和必要條件是：力系中所有各力的代數和等於零；力系中各力對任意一點力矩的代數和等於零。平面平行力系在建築工程中應用非常普遍。例如建築上承受豎向荷載的過梁、吊車梁、樓板以及交通工程中的橋樑在自重、車輛、人群等豎向荷載作用下的分析都可用平面平行力系的方法來計算。

【例1.14】

梁AB受均布荷載和集中荷載的作用，如圖1.41(a)所示。已知q=30kN/m，P=100kN，試求支座的約束反力。解由平面平行力系的平衡方程平面一般力系對點A取矩，由，得解方程得(↑)由可以得到，，解方程得(↑)圖1.41梁AB受力分析平面一般力系四、物體系統的平衡

前面我們研究的主要是單個物體的平衡問題，但在實際工程中，往往遇到幾個物體通過一定方式聯繫在一起，這種系統稱為物體系統，如圖1.42所示的組合梁，當整個物體系統處於平衡狀態時，它的每一部分也必然處於平衡狀態。研究物體系統的平衡問題，不僅要求解支座反力，還需計算系統內各物體之間的相互作用力。如圖1.42所示，荷載P、M及支座A、B、D的反力是組合梁的外力，而在鉸C處，左右兩段梁之間的相互作用力稱為系統的內力。由於內力總是成對出現，並且大小相等、方向相反、共線，故整體分析時每對內力都可以相互抵消掉，不出現在系統整體的受力圖上。但要注意，內力和外力的概念是相對的，到底是內力還是外力取決於所選取的研究對象。圖1.42物體系統的平衡平面一般力系

在研究物體系統的平衡方程時，要求合理選取研究對象尋求解題的最佳方法，一般有以下兩種方法。

(1)先取整個物體系統作為研究對象，求得某些未知力，然後再取其中某部分作為研究對象，求出其他未知量。

(2)先取某部分物體作為研究對象，再取其他部分作為研究對象，逐步求得所有未知量。在計算過程中，當畫整體、部分或單個物體的受力圖時要注意：①同一約束反力的方向和字母標記要注意前後一致；②內部約束拆開後相互作用力要符合作用力與反作用力規律；③不要把一個物體上的力移到另一物體上去；④正確判斷二力杆，以簡化計算。⑤當反力方向未定時，可先假設其方向，求出的結果為正，則此力方向與假設的相同；求出的結果為負，則此力方向與假設方向相反。下麵舉例說明求物體系統平衡問題的方法和步驟。平面一般力系

【例1.15】

靜定梁如圖1.43(a)所示，已知荷載q=4kN/m，FP=20kN，梁的自重不計，試計算支座A、C的反力和系統在鉸B處的內力。圖1.42物體系統的平衡解(1)取梁BC為研究對象，如圖1.43(a)所示。由得 ，得(↑)。

由得 ，得(↑)。平面一般力系

由

得

(2)以整體為研究對象，如圖1.43(c)所示。由得

解方程得()

由得 解方程得 由得

得

【例1.16】

一剛架如圖1.44所示，已知荷載q=4kN/m，FP=15kN求支座A、B的反力和鉸C處的約束力。解(1)取剛架整體為研究對象，如圖1.44(b)所示。

(↑)平面一般力系圖1.44剛架受力分析由得平面一般力系由得(↑)由得(2)再取左半部分為研究對象，如圖1.44(c)所示。由，可得

解方程可得

由可得 再根據和 可以得到(→)(←)(←)(↑)平面一般力系

將物體系統的平衡問題的解題特點與技巧歸納如下：①比較系統的獨立平衡方程的個數和未知力個數，如果兩者相等，則可根據平衡方程求解出全部的未知力。一般來說，由個物體組成的系統，可以列出個獨立的平衡方程，可以求解3個未知量。②根據已知條件和所求的未知量，選取適當的研究對象，使計算過程簡化。通常可先選擇整體作為研究對象，求出某些未知量，再選取系統某一部分為研究對象。③要抓住一個“拆”字。需要將系統拆開時，要將各個物體連接處拆開，而不是將物體截斷。一般情況下，是把連接鉸或二力杆拆開(二力杆是截斷)，在拆開的地方用相應的約束反力替代約束對物體的作用，這樣就把物體系統分解為若干個單獨的物體。拆開時注意作用力和反作用力大小相等、方向相反、共線且分別作用在兩個相鄰物體上。④在畫研究對象的受力圖時，切記受力圖中只能畫研究對象所受的外力，不能畫出研究對象的內力。⑤選擇平衡方程時要注意選擇適當的矩心。在力矩平衡方程中，作用線通過矩心的力的力矩為零，可將力矩的矩心選在儘量多的未知力的交點上。適當地選擇矩心可以簡化計算。如例1.16中，整體分析時選取點A或點B為矩心，一個平衡方程中只含有一個未知力，可很方便地求解。平面一般力系

在物體和物體系統的平衡問題中，當未知量的數目等於平衡方程的數目時，全部未知量都可以由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜定問題。如圖1.45所示的AB杆只能列3個獨立平衡方程，但有4個未知量，則僅由平衡方程就不能解出全部的未知量，這樣的問題稱為超靜定問題，留待以後研究。圖1.45超靜定杆平面一般力系物體的重心一、重心的概念

重力就是地球對物體的吸引力。工程上，可以看作一個空間平行力系。該力系的合力作用點就是物體的重心。對於形狀不變的物體，或物體間相對位置不變的物體系統，不論在空間怎樣移動和轉動，其上重心的相對位置都不會發生改變。但如果物體發生變形或系統各部分在空間相對發生改變，則其重心位置也將發生變化。二、計算物體重心的一般方法

物體重心的座標公式：（1.14a）

式中為物體的重度，對於一般的均質物體重心的座標公式：（1.14b）

均質物體的重心位置只與其幾何形狀和尺寸有關，與密度無關，並且與其幾何形體的中心(形心)相重合。由於建築物體中的構件、形狀都比較規則，實際計算物體重心時，並不需要用上述公式，可以利用對稱性及其他技巧來確定結構或構件的重心。下麵用積分法計算常用圖形的重心，計算結果在實際工程中可直接應用。物體的重心

【例1.17】

如圖1.46所示，試求三角形均質等厚板的重心。解設三角形ABC的底邊BC=b，高為h，將它分割成一系列平行於BC邊的細長條，每一長條的重心均在其中點處。所以整個三角形的重心必在其中線上，若求出xc

和yc

，則三角形的重心位置就確定了。建立圖示的坐標系。取與BC邊平行的細長條為微元面積，則有：

而三角形板的面積，所以

顯然，三角形均質等厚的重心在其三根中線的交點處即形心處，故也可以用幾何方法求出重心位置。物體的重心圖1.46三角形均質等厚板三、規則物體的重心

當物體為均質等厚薄板，則重心位於薄板厚度中間平面內。其重心座標為(取中間平面為xoy座標面，zc=0)形心座標。即1.均質等厚板的重心（1.15）

根據物體重心的公式，不難理解，凡是對稱的均質物體，其重心必定在它們的對稱面、對稱軸或對稱中心上。2.對稱物體的重心物體的重心四、重心概念在建築設計中的應用

工程中的建築物如橋樑、房屋等自重占其設計荷載的絕大部分，在非抗震和抗震設計(包括概念設計和地震作用的計算)中，確定建築結構或構件的重心位置十分重要。

(1)在建築設計中應儘量做到上部結構與下部結構的重心位於同一豎直軸上，這樣上部結構的自重不會在下部結構截面中引起過大的附加彎矩；否則，必須控制偏心距的大小，或對偏心引起的內力進行計算。

(2)在建築結構的抗震設計中，要求建築物佈置規則、對稱。建築的重(質)心與結構的剛度中心最好重合；如果不重合會引起建築物的扭轉效應，產生以結構截面剛度中心為矩心的扭矩，會引起建築的扭轉破壞(特別是角柱)。

(3)降低重心、加大底面積可減少建築物傾覆的可能性。物體的重心習題1-1何為結構？按幾何特徵結構可以分為幾類？建築力學的研究對象是哪類結構？1-2結構正常工作必須滿足哪些基本條件？建築力學的基本任務是什麼？1-3畫受力圖時，如何區分內力和外力？1-4二力平衡原理、加減平衡力系原理和力的可傳性原理能不能適用於變形體？1-5三個力匯交於一點，但不共面，這三個力能平衡嗎？若共面呢？1-6合力是否一定比分力大？1-7力對點之矩和力偶矩有什麼區別？1-8平面匯交力系的平衡方程中，兩個投影軸是否一定要相互垂直？為什麼？1-9平面一般力系向一點簡化，得到一個合力，如果向另外一點簡化，能否得到一個力偶？為什麼？1-10計算物體重心位置時，如果選取的坐標軸不同，重心的座標位置是否改變？重心在物體內的相對位置是否會改變？1-11均質物體的重心和形心有什麼關係？當物體的品質分佈不均勻時，重心和形心會重合嗎？1-12將物體沿通過形心的面切開，兩邊是否一定相等？1-13畫出圖1.47中各物體的受力圖。所有接觸面都是光滑的，凡未注明者，自重均忽略。圖1.47習題13圖習題1-14畫出圖1.48中各物體的受力圖，所有接觸面都是光滑的。1-15計算圖1.49中各支座的反力。圖1.48習題14圖圖1.49習題15圖習題1-16計算圖1.50中各剛架的支座反力。1-17計算如圖1.51所示的斜梁的支座反力。圖1.50習題16圖圖1.51習題17圖習題1-18計算如圖1.52所示的多跨連續梁的支座反力。圖1.52習題18圖1-19

某混凝土廠房柱，高9m，柱上段BC重8kN，下段CO重24kN，柱頂水準力F=6kN，吊車梁傳來的力FQ=21kN，偏心距e=30cm，各力的作用位置如圖1.53所示。試將各力向柱底中心簡化。圖1.53習題19圖習題1-20重力式壩受力情況如圖1.54所示，設壩的自重分為W1=9600kN，W2=29600kN，水壓力F=10150KkN，試將該力系向壩底O點簡化，並求合力系的大小、方向和作用線位置(計入水壓力，長度單位為m)。圖1.54習題20圖1-21計算如圖1.55所示的均質工字形板的重心位置，單位cm。圖1.55習題21圖習題1-22如圖1.56所示的均質圓板，在半徑為r1的均質圓板中開一個半徑為r2的圓孔，圓孔圓心距圓板圓心為r1/2，坐標系如圖所示，試計算其重心位置。1-23計算如圖1.57所示的混凝土T形梁的截面重心，長度單位為cm。圖1.56習題22圖圖1.57習題23圖習題第2章

平面杆件体系的几何组成分析

返回總目錄平面杆件體系幾何組成的分類無多餘約束的平面幾何不變體系簡單組成規則平面杆系幾何組成分析舉例習題本章內容

教學要求：本章要求學生瞭解平面杆系的分類，掌握平面幾何不變體系的組成規則、構造特點，理解工程中所用結構必須為幾何不變體系。能利用幾何不變體系的組成規則對簡單平面杆系進行幾何組成分析。

建築力學研究的重點是平面杆系結構。所謂平面杆系是由若干杆件按照一定方式互相連接而組成的。對平面體系的幾何組成進行分析，稱為幾何組成分析。其目的在於：

(1)判斷某一體系是否幾何可變，以決定它能否作為結構使用。

(2)研究幾何不變體系的組成規則，以保證所設計的結構能承受荷載並保持平衡。

平面杆系的幾何組成分析中，我們不考慮由於材料的應變所產生的變形，這樣平面杆件體系可以分為如下兩類。

杆件體系受到任意荷載作用後，不考慮材料的應變，其幾何形狀和位置均保持不變的體系為幾何不變體系，如圖2.1所示。一、幾何不變體系平面杆件體系幾何組成的分類圖2.1幾何不變體系

杆件體系受到任意荷載作用後，不考慮材料的應變，其幾何形狀和位置可以發生改變的體系為幾何可變體系，如圖2.2所示。在實際生活中有這樣一種體系，如圖2.3(a)所示，假定兩根鏈杆Ⅰ和Ⅱ共線，從微小運動的角度看，這是一個可變體系。在初始階段，鏈杆Ⅰ和Ⅱ共線，A點既可以繞以B點為圓心、AB為半徑的圓弧2-2運動，也可繞以C點為圓心、AC為半徑的圓弧1-1運動。由於這時兩弧相切，A點必然沿著公切線方向作微小運動。當A點作微小運動至A’時，兩弧由相切變為相離，A’點既不能沿圓弧1-1運動，也不能沿圓弧2-2運動，這樣，A點在A’處被完全固定。像這種原先是可變體系，在暫態發生了微小的幾何變形後成為幾何不變的體系，稱之為瞬變體系。瞬變體系是幾何可變體系的特殊情況，為了明確起見，幾何可變體系可以進一步區分為瞬變體系和常變體系。如果一個幾何可變體系可以發生較大位移，則該體系為常變體系，如圖2.2所示。二、幾何可變體系平面杆件體系幾何組成的分類

顯然，幾何可變體系是不能用來作為結構的，因為在建築工程結構中，要求在任意荷載作用下，結構必須能保持自己的形狀和位置。圖2.2幾何可變體系(常變體系)圖2.3瞬變體系平面杆件體系幾何組成的分類無多餘約束的平面幾何不變體系簡單組成規則

在進行幾何組成分析之前，先介紹幾個名詞：

(1)剛片：幾何形狀不變的平面體，簡稱為剛片。在幾何組成分析中，由於不考慮材料的應變，故所有幾何不變的杆和杆系均可以看作是剛片。

(2)鏈杆：一根兩端用鉸與兩個剛片相連接的杆稱為鏈杆。

(3)簡單鉸：連接兩個剛片的鉸叫做簡單鉸，簡稱單鉸。

(4)複鉸：連接三個或者三個以上剛片的鉸稱為複鉸。一個連接n個剛片的複鉸相當於(n-1)個單鉸。

(5)虛鉸：如果兩個剛片通過兩根鏈杆相連，則這兩根鏈杆的作用與一個位於兩鏈杆交點的單鉸的作用相同。一般稱軸線不交於實鉸上但連接兩個剛片的兩根鏈杆相當於一個虛鉸，虛鉸的位置在兩根鏈杆軸線的交點上(或軸線的延長線交點上)，如圖2.6(b)所示的C’點，因為在C’點處並沒有真正的鉸，所以稱C’為虛鉸。無多餘約束的幾何不變體系的基本組成規則有三個，下麵分別進行討論。

平面上的一個點和一個剛片通過不在一條直線上的兩根鏈杆相連接，組成的體系為無多餘約束的幾何不變體系。如圖2.4所示，用兩根不在同一條直線上的鏈杆連接一個新結點的構造稱為二元體。上述規則可以表述為：在一個剛片上，增加一個二元體，組成幾何不變且無多餘約束的體系。逐步加上二元體可以得到許多新的更大剛片。從二元體規則可以看出，在任何體系上加上或者拆去二元體時，其幾何組成結果不變。也就是說，原來幾何不變體系加上或者拆去二元體後依然幾何不變；原來幾何可變體系加上或者拆去二元體後依然幾何可變。當我們對一個複雜體系作幾何組成分析時，可以逐步拆去二元體再進行分析，問題就會變得簡單一些。一、二元體規則無多餘約束的平面幾何不變體系簡單組成規則圖2.4二元體無多餘約束的平面幾何不變體系簡單組成規則

兩剛片用一個單鉸和一根不通過該鉸的鏈杆相連，組成無多餘約束的幾何不變體系。由於兩根鏈杆相當於一個單鉸，兩剛片規則也可以表述為：兩剛片用三根不交於一點且不完全平行的鏈杆相連，組成無多餘約束的幾何不變體系，如圖2.5所示。二、兩剛片規則圖2.5兩剛片規則無多餘約束的平面幾何不變體系簡單組成規則

三個剛片用不在一條直線上的三個單鉸兩兩相連，組成無多餘約束的幾何不變體系。如圖2.6(a)所示。由於兩根鏈杆的作用相當於一個單鉸，故可以將A、B、C三個鉸轉化為分別由兩根鏈杆所構成的三個虛鉸A’、B’、C’，且三個虛鉸也不能在同一條直線上，如圖2.6(b)所示。當體系的幾何組成不滿足上述三個基本規則要求時(二元體規則中兩鏈杆共線；兩剛片規則中單鉸和鏈杆共線；三剛片規則中三鉸共線)，則該體系為幾何可變體系。三、三剛片規則圖2.6三剛片規則

對於如圖2.3(b)所示的瞬變體系，設在外力P的作用下，點運動到A’處，取A點為研究對象，由A點的平衡條件可以得到：無多餘約束的平面幾何不變體系簡單組成規則

解方程後可以得到：

因為θ很小，所以

由此可以知道，AB、AC杆內將產生無限大的內力，從而導致體系的破壞。所以，瞬變體系雖然看來只是在某一瞬時產生了微小的位移，之後立即成為幾何不變體系，但由於微小的位移引起的內力很大，從而引起整個體系的破壞。因此，瞬變體系不能用作結構。平面杆系幾何組成分析舉例

【例2.1】

分析圖2.7所示體系的幾何組成。解根據二元體規則，由固定點E、F出發，增加一個二元體固定點C。再從C、F出發分別增加二元體固定點D、A；最後從固定點D、A出發增加二元體固定點B。因此，整個體系是幾何不變無多餘約束的體系。說明：本題也可用拆二元體的方法，從B點開始進行分析。當然，所得結果與前面相同。

【例2.2】

分析圖2.8所示體系的幾何組成。解鉸結三角形ADE、BCF是一個剛片，可作為剛片Ⅰ，鉸結三角形BCE是一個剛片，可作為剛片Ⅱ，杆FG作為剛片Ⅲ，剛片Ⅰ與剛片Ⅱ通過鉸E相連，剛片Ⅰ與剛片Ⅲ通過AF、DG兩根鏈杆相連，且兩杆的交點在C點，剛片Ⅲ和剛片Ⅱ通過BF、CG兩根鏈杆相連，且兩杆的交點在D點。並且C、D、E三點不在同一條直線上，由三剛片規則得知該體系為幾何不變且無多餘約束。圖2.7例2.1圖圖2.8例2.2圖

【例2.3】

分析圖2.9所示體系的幾何組成。解三角形是兩個無多餘約束的幾何不變體系，可以當作剛片Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ和Ⅱ按連接方式由不共點且不完全平行的三根鏈杆AB、EF、CD相連，根據兩剛片規則，體系ABCDEF組成新剛片，內部為幾何不變且無多餘約束，同理，新剛片與地基用不共點且不完全平行的三根鏈杆相連，所以，整個體系幾何不變，且無多餘約束。

【例2.4】分析圖2.10所示體系的幾何組成。解分別將AEC、BFD地基分削當作剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，剛片Ⅰ和Ⅲ通過鉸A相連，剛片Ⅱ和剛片Ⅲ通過鉸B相連，剛片Ⅰ和Ⅱ通過CD、EF兩根鏈杆相連，相當於一個位置在O點的虛鉸。A、B、O三鉸不共線，由三剛片規則，知道該體系為幾何不變體系且無多餘約束。圖2.9例2.3圖圖2.10例2.4圖平面杆系幾何組成分析舉例

【例2.5】分析圖2.11所示體系的幾何組成。解可以依次拆去二元體EFG、CDH後的體系和原體系應有相同的幾何組成。根據兩剛片規則，AC與地基通過三根不交於同一點且不完全平行的鏈杆相連，因此，該體系為幾何不變體系，且無多餘約束。

【例2.6】分析圖2.12所示體系的幾何組成。解將ABC、DEF分別當作剛片Ⅰ、Ⅱ，此兩剛片若用BE、CE、CD三根不完全平行也不全交於一點的鏈杆相連，就是幾何不變體系，現在多了一根鏈杆BD，所以，整個體系為幾何不變，且有一個多餘聯繫。通過以上的例題可以看出，進行幾何組成分析時應靈活運用三個幾何不變體系的組成規則；分析時應充分利用最基本的剛片，比如基礎和鉸接三角形等，並注意運用虛鉸。圖2.11例2.5圖圖2.12例2.6圖平面杆系幾何組成分析舉例2-1幾何組成分析有何目的和意義？2-2幾何不變體系的三個組成規則各有什麼規定？2-3幾何常變體系和幾何瞬變體系的特點各是什麼？2-4分析如圖2.13所示的各體系的幾何組成。習題圖2.13各種幾何體系習題第3章

静定结构内力计算

返回總目錄杆件的內力靜定平面桁架的內力計算靜定梁的內力和內力圖靜定平面剛架的內力和內力圖三鉸拱的內力組合結構靜定結構的特性習題本章內容

教學要求：靜定結構基本特徵和特性是構造上無多餘聯繫，靜力解答上其全部反力和內力只用靜力平衡方程式即可唯一確定。支座移動、溫度改變不產生內力，只有荷載作用才產生內力。本章要求學生熟練地掌握求解各種靜定結構的方法，並且能根據內力與外力之間的微分關係，繪製梁、剛架結構的內力圖。瞭解靜定結構的特性及各種靜定結構的內力特徵。

平面結構在任意荷載作用下，其杆件橫截面上一般有三個內力分量，即軸力N、剪力Q和彎矩M，如圖3.1(b)所示。

計算指定截面內力的基本方法是截面法，即將指定截面切開，取左邊部分(或右邊部分)為隔離體，利用隔離體的平衡條件，確定此截面的三個內力分量。沿杆件軸線方向的內力N為軸力。其數值等於截面一側所有外力(包括荷載和反力)沿截面法線方向的投影代數和。規定軸力使所研究的杆段受拉時為正，反之為負。沿著杆件橫截面(垂直杆件軸線)的內力Q為剪力。其數值等於截面一側所有外力沿截面方向的投影代數和。規定剪力使所研究的杆段有順時針方向轉動趨勢時為正，反之為負。杆件橫截面上作用力偶的力偶矩M稱為彎矩。彎矩圖繪在杆件受拉的一側，不需標正負號；軸力和剪力圖可繪在杆件的任一側，但需標明正、負號。杆件的內力圖3.1杆體的內力

桁架結構是指各杆兩端都是用鉸相連且只受結點荷載作用的結構。其受力特性是各杆只受軸力作用，而沒有彎矩和剪力。在平面桁架的計算簡圖中，通常引用如下假定：

(1)各杆在兩端用光滑的理想鉸相互連接。

(2)各杆軸都是直線，並在同一平面內且通過鉸的中心。

(3)所有的力(包括荷載和支座反力)只作用在結點上並都在桁架平面內。根據結構組成規則，若屬於先組成鉸接三角形，然後再依次加二元體所組成的桁架，稱為簡單桁架，如圖3.2所示。一、概述靜定平面桁架的內力計算圖3.2簡單桁架

按照與幾何組成相反的順序截取桁架的結點為隔離體，考慮該結點的力的平衡，從而解出桁架各杆的內力，稱結點法。結點法截取的脫離體為平面匯交力系，一次只能求兩個未知力。凡是內力為零的杆件都稱為零杆。現列舉幾種特殊結點如下：

(1)L形結點(如圖3.5(a)所示)，結點連接兩個杆件且無荷載作用，此時兩杆內力為零。

(2)T形結點(如圖3.5(b)所示)，結點連接三個杆件且無荷載作用，其中有兩杆在同一直線上，則第三杆為零杆，而共線兩杆的內力相等且符號相同(即同為拉力或同為壓力)。

(3)X形結點(如圖3.5(c)所示)，結點連接四杆且兩兩共線，當結點上無荷載作用時，則共線兩杆的內力相等且符號相同。

(4)K形結點(如圖3.5(d)所示)，結點連接的四杆，有兩杆共線，而另外兩杆在此直線同側且交角相等，當結點上無荷載時，則非共線兩杆內力大小相等而符號相反(一杆為拉力，則另一杆為壓力)。二、結點法靜定平面桁架的內力計算圖3.5幾種特殊結點

【例3.1】

試用結點法求圖3.6所示的桁架各杆的軸力。圖3.5幾種特殊結點解經分析得，該結構可先去掉二元體杆件7-9和8-9，則原結構變為對稱結構在對稱荷載作用下的情況。首先求出支座反力，如圖3.6(a)所示，以桁架整體為研究對象：靜定平面桁架的內力計算

結點1：由平衡條件(↑)求得結點2：由平衡條件可求得：結點3：