数学25简单复合函数的求导法则课件北师大版选修6

数学】25简单复合函数的求导法则课件北师大版选修(8)复合函数的定义复合函数的求导法则常见复合函数的求导复合函数的应用习题与解答contents目录01复合函数的定义两个函数的复合如果对于函数$y=f(x)$和$u=g(x)$，当$u=g(x)$的函数值作为$f(x)$的自变量时，则称$y=f(g(x))$为$y=f(x)$和$u=g(x)$的复合函数。复合函数的定义域复合函数$y=f(g(x))$的定义域是满足$u=g(x)$的$x$的取值范围，即$g(x)$的定义域。函数的复合将复合函数表示为$y=f(u)$和$u=g(x)$的组合，其中$u$是中间变量。代数表示法直接将复合函数表示为$y=f(g(x))$的形式。解析表示法复合函数的表示方法将复合函数分解为基本初等函数或简单函数，以便求导。通过代换法或逐步代换法将复合函数分解为简单函数。复合函数的分解分解方法分解步骤02复合函数的求导法则对于复合函数$y=f(u)$和$u=g(x)$，其导数为$frac{dy}{dx}=frac{d}{du}f(u)cdotfrac{du}{dx}$。链式法则当函数内部还有多个复合函数时，链式法则可以连续应用，对最内层的函数求导，然后逐步向外层扩展。应用场景$y=sin(x^2)$的导数为$frac{dy}{dx}=2xcos(x^2)$。实例链式法则对于两个函数的乘积，其导数为$(uv)'=u'v+uv'$。乘积法则应用场景实例适用于两个函数的乘积形式的导数计算。$(x^2sinx)'=2xsinx+x^2cosx$。030201乘积法则对于两个函数的商，其导数为$frac{u'v-uv'}{v^2}$。商的求导法则适用于两个函数的商形式的导数计算。应用场景$(frac{x^2}{sinx})'=frac{2xcosx-x^2cosx}{sin^2x}$。实例商的求导法则

复合函数的高阶导数高阶导数对于复合函数的二阶导数，可以利用一阶导数再次求导；对于更高阶的导数，可以反复应用一阶导数的求法。应用场景在研究函数的极值、拐点、曲线的形状等方面需要用到高阶导数。实例$y=x^2sinx$的二阶导数为$y''=2sinx+2xcosx$。03常见复合函数的求导总结词指数函数与幂函数的复合形式较为常见，求导时需要遵循链式法则和幂函数求导法则。详细描述对于形如$y=f(x^n)$的复合函数，其导数为$y'=nf(x^n)cdotx^{n-1}$。例如，$y=e^{x^2}$的导数为$y'=2xe^{x^2}$。指数函数与幂函数的复合总结词三角函数与幂函数的复合形式在数学中经常出现，求导时需结合三角函数求导法则和幂函数求导法则。详细描述对于形如$y=f(x^n)cdotsinx$或$y=f(x^n)cdotcosx$的复合函数，其导数需分别运用乘积法则和三角函数求导法则进行计算。例如，$y=x^2sinx$的导数为$y'=2xsinx+x^2cosx$。三角函数与幂函数的复合反三角函数与幂函数的复合形式在数学中具有一定的难度，求导时需结合链式法则、反三角函数求导法则和幂函数求导法则。总结词对于形如$y=f(x^n)cdotarcsinx$或$y=f(x^n)cdotarccosx$的复合函数，其导数需分别运用乘积法则、链式法则和反三角函数求导法则进行计算。例如，$y=x^2arccosx$的导数为$y'=-2xarccosx+x^2divsqrt{1-x^2}$。详细描述反三角函数与幂函数的复合04复合函数的应用曲线的凹凸性通过分析导数的正负，可以判断曲线的凹凸性，进而研究曲线的形状。切线斜率导数可以用来求曲线上某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点的变化趋势。极值问题导数可以用来研究函数的极值问题，确定函数在哪些点取得极值以及极值的大小。导数在几何中的应用弹性分析导数可以用来描述弹性物体的应变与应力之间的关系，帮助我们理解物体的弹性性质。电磁学中的应用在电磁学中，导数的概念被广泛应用于描述电流、电压、电场强度等物理量随时间的变化规律。速度与加速度在物理学中，导数可以用来描述物体的运动状态，如速度和加速度。通过求导数，可以了解物体运动的变化规律。导数在物理中的应用导数在经济分析中常用于边际分析，例如边际成本、边际收益和边际利润等，帮助我们了解经济行为的效益与成本之间的关系。边际分析导数可以用来解决经济中的最优化问题，例如最大利润、最小成本等，通过求导数找到最优解。最优化问题导数可以用来分析市场的供需关系，研究价格与需求量或供给量之间的关系，了解市场均衡的条件。供需关系导数在经济中的应用05习题与解答求函数$y=sin(x^2)$的导数。题目1求函数$y=ln(x^3)$的导数。题目2求函数$y=x^2sinx$的导数。题目3习题部分解析1根据链式法则，$y'=frac{d}{dx}sin(u)cdotfrac{d}{dx}x^2=cos(u)cdot2x=2xcos(x^2)$解析2根据链式法则，$y'=frac{d}{dx}ln(u)cdotfrac{d}{dx}x^3=frac{1}{u}cdot3x^2=frac{3}{x^2}$解析3根据乘积法则，$y'=(x^2)'sinx+x^2(sinx)'=2x