同济大学高等数学课件D13函数的极限

同济大学高等数学课件D13函数的极限(2)目录函数极限的定义函数极限的运算性质函数极限的应用无穷小与无穷大函数的连续性CONTENTS01函数极限的定义CHAPTER当x趋近于某个值a时，函数f(x)的值趋近于一个常数L，即f(x)→L(x→a)。通过直观的方式描述了函数在某点的变化趋势，为后续精确定义奠定基础。函数极限的描述性定义描述性定义的意义描述性定义函数极限的精确定义精确定义对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。精确定义的意义通过数学语言对函数极限进行了精确描述，为后续研究函数的性质和变化规律提供了基础。若lim(x→a)f(x)=L1和lim(x→a)f(x)=L2，则必有L1=L2。唯一性若lim(x→a)f(x)=L，则存在一个正数M，使得当|x-a|<δ时，|f(x)|<M。局部有界性若lim(x→a)f(x)=L>0，则存在一个正数δ，使得当|x-a|<δ时，f(x)>0；若lim(x→a)f(x)=L<0，则存在一个正数δ，使得当|x-a|<δ时，f(x)<0。局部保号性函数极限的性质02函数极限的运算性质CHAPTER加法定理若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，则lim(x→x0)[f(x)±g(x)]=A±B。乘法定理若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，则lim(x→x0)[f(x)·g(x)]=A·B。除法定理若lim(x→x0)f(x)=A且B≠0，则lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B。幂运算性质若lim(x→x0)f(x)=A，则lim(x→x0)[f(x)^n]=A^n。极限的四则运算性质复合函数极限存在定理若lim(x→x0)g(x)=y0，且在点y0的某去心邻域内g'(y)≠0，又lim(y→y0)f(y)=A，则lim(x→x0)[f[g(x)]/g'(y)]=A/B。复合函数极限运算性质若lim(x→∞)f(x)=A和lim(y→∞)g(y)=B，则lim(xy→∞)[f[g(xy)]/g[f(xy)]]=A/B。复合函数极限设lim(x→x0)g(x)=y0，又lim(y→y0)f(y)=A，则lim(x→x0)[f[g(x)]]=A。极限的复合运算性质商的极限定理若lim(x→∞)f1(x)/f2(x)=A，且存在某个正数N，当|x|>N时，f2(x)≠0，则lim(x→∞)[f1[g(x)]/f2[g(x)]]=A*lim(y→∞)g'(y)。商的运算性质若lim(x→∞)f1(x)/f2(x)存在（不为∞），且lim(y→∞)g1(y)/g2(y)=B存在（不为∞），则lim(xy→∞)[f1[g1(xy)]*g2[f2(xy)]/f2[g1(xy)]*g2[f2(xy)]]=A*B。极限的商的运算性质03函数极限的应用CHAPTER通过函数在某点的极限值，可以求解某些参数的值。总结词在某些数学问题中，函数的形式可能未知或复杂，但我们可以知道函数在某点的极限值。利用这个极限值，我们可以求解某些参数的值，从而确定函数的表达式。详细描述利用函数极限求参数值总结词通过比较函数在不同点的极限值，可以证明某些不等式。详细描述在证明不等式时，我们可以利用函数在不同点的极限值进行比较。如果一个函数在某点的极限值大于另一个函数在该点的极限值，那么我们可以得出相应的函数值大小关系，从而证明不等式。利用函数极限证明不等式VS通过计算函数在某点的极限值，可以求得该点的函数值。详细描述在一些情况下，我们可能不知道函数在某点的具体值，但知道该点的极限值。通过计算该点的极限值，我们可以得到该点的函数值。这种方法在解决一些数学问题时非常有用，尤其是在处理一些难以直接求解的复杂函数时。总结词利用函数极限求函数的值04无穷小与无穷大CHAPTER无穷小是极限为0的变量。定义无穷小具有可加性、可减性、可乘性和可除性。性质无穷小在求极限、微积分等数学领域中有着广泛的应用。应用无穷小的定义与性质无穷大是极限为无穷的变量。定义无穷大具有可加性、可减性、可乘性和可除性。性质无穷大在研究函数的极限、级数等数学领域中有着重要的应用。应用无穷大的定义与性质

无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大是相对的概念，一个变量是无穷小意味着它的极限为0，而一个变量是无穷大意味着它的极限为无穷。无穷小与无穷大之间存在密切的联系，例如在求极限的过程中，有时需要利用无穷小的性质来处理无穷大的情况。无穷小与无穷大在研究函数的极限、级数等数学领域中有着重要的应用，它们是高等数学中重要的概念之一。05函数的连续性CHAPTER连续函数的定义连续函数在某点的极限值等于函数值，即当自变量趋近于该点时，函数值无限接近于极限值。总结词连续函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，即对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-f(x_0)|<varepsilon$。详细描述连续函数具有一些重要的性质，如极限的四则运算法则、复合函数的连续性、反函数的连续性等。连续函数具有一些重要的性质，如极限的四则运算法则，即两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；复合函数的连续性，即若函数$u=g(x)$和$y=f(u)$都连续，则复合函数$y=f(g(x))$也连续；反函数的连续性，即反函数与原函数在各自定义域上都是连续的。总结词详细描述连续函数的性质总结词函数的间断点是指函数在该点处不连续的点，间断点分为第一类间断点和第二类间断点。详细描述函数的间断点是指函数在