数学：21《平面向量的实际背景及基本概念1》课件新人教A版必修

数学21《平面向量的实际背景及基本概念1》课件新人教a版必修contents目录平面向量的实际背景平面向量的基本概念平面向量的数量积平面向量的坐标表示平面向量的线性运算平面向量的实际背景01速度与位移速度和位移是平面向量的基本概念之一，它们描述了物体在平面上的运动状态。速度的大小表示物体运动的快慢，而位移的大小表示物体位置的变化。速度的矢量表示速度可以用一个矢量来表示，其大小等于速率，方向与物体运动方向相同。在平面直角坐标系中，速度矢量可以用一个实数表示，该实数称为速度的标量值。位移的矢量表示位移可以用一个矢量来表示，其大小等于物体移动的距离，方向从起点指向终点。在平面直角坐标系中，位移矢量可以用一个有序实数对表示，该有序实数对称为位移的终点坐标减去起点坐标。速度与位移力与力的合成01力是平面向量的另一个基本概念，表示物体之间的相互作用。力的大小表示作用力的大小，方向表示作用力的方向。两个力可以通过向量加法进行合成，得到合力矢量。力的矢量表示02力可以用一个矢量来表示，其大小等于力的大小，方向与作用力的方向相同。在平面直角坐标系中，力矢量可以用一个实数表示，该实数称为力的标量值。力的分解03一个力可以分解为两个或多个分力，分力的大小和方向由力的分解方式决定。力的分解在物理学和工程学中有着广泛的应用，如力的平衡、杠杆原理等。力与力的合成物理中的矢量矢量在物理学中有着广泛的应用，如速度、加速度、力、动量等都是矢量。矢量在描述物理现象和规律时具有方向和大小两个要素，是描述物体运动状态的重要工具。矢量的运算矢量之间可以进行加法、减法、数乘等运算，这些运算遵循平行四边形法则或三角形法则。矢量的运算在解决物理问题时非常重要，如力的合成与分解、速度和加速度的计算等。矢量与标量的关系矢量与标量是两种不同的量，矢量具有方向性而标量没有。在物理学中，许多物理量都是矢量，如速度、力、动量等，而有些物理量是标量，如质量、时间、路程等。正确区分矢量和标量对于理解物理现象和规律非常重要。物理中的矢量平面向量的基本概念02向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的模，箭头的指向表示向量的方向。在平面直角坐标系中，一个向量可以由一个有序实数对唯一确定。向量也可以用坐标形式表示，即由起点和终点的坐标差值表示，记作$overset{longrightarrow}{AB}$，其坐标表示形式为$(x_2-x_1,y_2-y_1)$。向量的表示向量的模是指向量在所在直线上的射影长度，记作$|overset{longrightarrow}{AB}|$，计算公式为$sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。向量的模具有一些基本性质，如$|overset{longrightarrow}{AB}|=|overset{longrightarrow}{CD}|$，当且仅当$A,B,C,D$四点共线且顺序相同时成立。向量的模向量的加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点作为起点，第二个向量的终点作为终点的有向线段，其结果是一个新的向量。向量的加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{AB}+\overset{\longrightarrow}{CD}=\overset{\longrightarrow}{DC}+\overset{\longrightarrow}{BA}$，并且$(\overset{\longrightarrow}{AB}+\overset{\longrightarrow}{CD})+\overset{\longrightarrow}{EF}=\overset{\longrightarrow}{AB}+(\overset{\longrightarrow}{CD}+\overset{\longrightarrow}{EF})$。向量的加法平面向量的数量积03数量积的定义两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为$mathbf{a}cdotmathbf{b}=|mathbf{a}|times|mathbf{b}|timescostheta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。数量积的运算性质数量积满足交换律和分配律，即$mathbf{a}cdotmathbf{b}=mathbf{b}cdotmathbf{a}$和$(lambdamathbf{a})cdotmathbf{b}=lambda(mathbf{a}cdotmathbf{b})=mathbf{a}cdot(lambdamathbf{b})$。数量积的定义数量积的几何意义表示两个向量在方向上的投影长度和夹角的余弦值的乘积。具体来说，数量积$mathbf{a}cdotmathbf{b}$等于向量$mathbf{a}$在向量$mathbf{b}$方向上的投影长度乘以向量$mathbf{b}$的模长。数量积与角度的关系当两个向量的夹角为锐角时，数量积为正；当夹角为钝角时，数量积为负；当夹角为零角时，数量积为零。数量积的几何意义$(mathbf{a}+mathbf{b})cdotmathbf{c}=mathbf{a}cdotmathbf{c}+mathbf{b}cdotmathbf{c}$。$(lambdamathbf{a})cdotmathbf{b}=lambda(mathbf{a}cdotmathbf{b})=mathbf{a}cdot(lambdamathbf{b})$。数量积的运算律分配律结合律平面向量的坐标表示04在平面上选择一个原点O和一个正方向作为x轴，再选择一个与x轴垂直的方向作为y轴。确定原点和坐标轴向量表示坐标确定在坐标系中，一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点O到点B的有向线段，记作$overrightarrow{OB}$。根据点B在坐标轴上的位置，可以得到向量$overrightarrow{AB}$的坐标。030201向量在坐标系中的表示模的定义向量的模是指该向量在坐标系中的长度。坐标与模的关系向量$overrightarrow{AB}$的模可以表示为$left|overrightarrow{AB}right|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$分别是起点A和终点B的坐标。模的性质向量的模具有非负性，即$left|overrightarrow{AB}right|geq0$，且当且仅当$overrightarrow{AB}=overrightarrow{0}$时取等号。向量的模的坐标表示向量的加法的坐标表示在平面上任取两个向量$overrightarrow{AB}$和$overrightarrow{CD}$，则$overrightarrow{AB}+overrightarrow{CD}$表示将向量$overrightarrow{CD}$的终点与向量$overrightarrow{AB}$的终点重合，并按照向量加法的平行四边形法则得到的向量。向量加法定义向量$overrightarrow{AB}+overrightarrow{CD}$的坐标等于向量$overrightarrow{AB}$和向量$overrightarrow{CD}$的坐标的和，即$(x_2+x_3,y_2+y_3)$。坐标相加平面向量的线性运算05向量的线性组合定义向量$vec{a}$和$vec{b}$的线性组合是一个向量，可以表示为$lambdavec{a}+muvec{b}$，其中$lambda$和$mu$是标量。性质线性组合满足交换律和结合律，即$lambda(muvec{a})=(lambdamu)vec{a}$和$(lambda+mu)vec{a}=lambdavec{a}+muvec{a}$。VS如果存在不全为零的标量$lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n$，使得$sum_{i=1}^{n}lambda_ivec{a}_i=vec{0}$，则称向量$vec{a}_1,vec{a}_2,ldots,vec{a}_n$线性相关；否则，称它们线性无关。性质线性相关向量组至少有一个向量可以由其他向量线性表示；线性无关向量组则没有这样的向量。定义向量的线性相关与线性无关如果向量$vec{b}$可以由向量组$vec{a}_1,vec{a}_2,ldots,vec{a}_n$线性表示，即存在标量$k_1,k_2,ldots,k_n$，使得$vec{b}=k_1vec{a}_1+k_2vec{a}_