高等数学课件-D19连续函数的运算

高等数学课件--D19连续函数的运算目录连续函数的基本概念连续函数的四则运算复合函数的连续性反函数的连续性初等函数的连续性01连续函数的基本概念如果函数在某点的极限值等于函数值，则函数在该点连续。连续性定义对于函数在某点的极限，可以分别考虑从左侧和右侧趋近该点的函数值，这两个极限值分别称为左极限和右极限。左极限与右极限根据函数在区间上连续性的不同，可以分为第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点）和第二类间断点（无穷间断点和振荡间断点）。连续性的分类连续性的定义局部性质如果函数在某点的极限存在，则该点附近的函数值可以由该极限值唯一确定。整体性质如果函数在闭区间上连续，则该函数在该区间上取得最大值和最小值。介值定理如果函数在闭区间上连续，且该区间两端点的函数值异号，则该函数在该区间内至少存在一个零点。连续函数的性质123如果函数在某点的导数存在，则该函数在该点可微。可微函数的定义一阶导数存在且连续的函数不一定是可微的，但可微的函数其一阶导数必定存在且连续。一阶导数与连续性高阶导数的连续性与函数的可微性没有直接关系，但高阶导数的连续性有助于研究函数的局部性质。高阶导数与连续性连续函数与可微函数的关系02连续函数的四则运算两个连续函数之和仍为连续函数总结词设$f(x)$和$g(x)$在某区间内连续，则$F(x)=f(x)+g(x)$在对应区间内也连续。详细描述加法运算总结词两个连续函数之差仍为连续函数详细描述设$f(x)$和$g(x)$在某区间内连续，则$F(x)=f(x)-g(x)$在对应区间内也连续。减法运算乘法运算总结词两个连续函数之积仍为连续函数详细描述设$f(x)$和$g(x)$在某区间内连续，则$F(x)=f(x)timesg(x)$在对应区间内也连续。两个连续函数相除可能为连续函数，也可能为不连续函数设$f(x)$和$g(x)$在某区间内连续，且$g(x)neq0$，则$frac{f(x)}{g(x)}$在对应区间内也连续。但若$g(x)=0$，则函数$frac{f(x)}{g(x)}$在该点处不连续。除法运算详细描述总结词03复合函数的连续性由两个或多个函数通过一定的规则组合而成的函数。复合函数设$f(x)$和$g(u)$是两个函数，若对所有$x$，存在$u=g(x)$，使得$f(u)=f[g(x)]$有意义，则称$f[g(x)]$为复合函数。形式化定义复合函数的定义复合函数的连续性判断如果对于复合函数$f[g(x)]$，当$x$在某区间内取值时，$f[g(x)]$的值随$x$的变化而连续变化，则称复合函数$f[g(x)]$在该区间内连续。连续性定义首先确定函数$g(x)$在某区间内的连续性，然后检查$f(u)$在$u=g(x)$处的连续性。如果两者都连续，则复合函数$f[g(x)]$在该区间内也连续。判断方法原函数连续性对复合函数连续性的影响如果原函数$f(u)$和$g(x)$都连续，则复合函数$f[g(x)]$也连续。但如果只有$f(u)$连续，而$g(x)$不连续，则复合函数$f[g(x)]$可能不连续。要点一要点二复合函数连续性对原函数连续性的影响如果复合函数$f[g(x)]$连续，这并不能保证原函数$f(u)$或$g(x)$一定连续。复合函数与原函数的连续性关系04反函数的连续性VS如果函数y=f(x)在区间I上单调，并且f(x)值域为J，则存在反函数x=g(y)，使得当y在J上任意取值时，x在I上有唯一确定的值与之对应。反函数的性质反函数与原函数在对应区间上单调性相反，即如果原函数在区间I上单调递增（或递减），则反函数在对应的值域J上单调递减（或递增）。反函数的定义反函数的定义与性质如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当|x-c|<δ时，有|f(x)-f(c)|<ε，则称函数f在点c处连续。如果原函数在区间I上连续，则反函数在对应的值域J上也连续。具体来说，如果f(x)在I上连续，则g(y)在J上也连续。连续性的定义反函数连续性判断反函数的连续性判断原函数与反函数连续性一致如果原函数在某点连续，则其反函数在该点的值域内也连续。同样地，如果反函数在某点连续，则原函数在该点的定义域内也连续。单调性与连续性关系如果一个函数在某个区间上单调，并且连续，则其反函数在该值域上也是连续的。这一性质在解决一些数学问题时非常有用，例如求极限、判断积分等。反函数与原函数的连续性关系05初等函数的连续性总结词幂函数在其定义域内是连续的，其图像在定义域内是光滑的。详细描述幂函数$f(x)=x^a$（$a$为实数）在其定义域内是连续的。这是因为当$x$在定义域内变化时，$f(x)$的值会连续变化，不会出现跳跃或间断的情况。幂函数指数函数在其定义域内是连续的，其图像在定义域内是光滑的。总结词指数函数$f(x)=a^x$（$a$为正实数，且$aneq1$）在其定义域内是连续的。这是因为当$x$在定义域内变化时，$f(x)$的值会连续变化，不会出现跳跃或间断的情况。详细描述指数函数总结词对数函数在其定义域内是连续的，其图像在定义域内是光滑的。详细描述对数函数$f(x)=log_ax$（$a$为正实数，且$a>0$）在其定义域内是连续的。这是因为当$x$在定义域内变化时，$f(x)$的值会连续变化，不会出现跳跃或间断的情况。对数函数三角函数在其定义域内