数学九年级下册专题27.4 相似三角形的性质-重难点题型（人教版）（学生版）

专题27.4相似三角形的性质-重难点题型【人教版】【知识点1相似三角形的性质】①相似三角形的对应角相等．如图，，则有．②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有（为相似比）．③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有．⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，∽，则有【题型1相似三角形的性质（对应角相等问题）】【例1】（2020秋•岳阳期末）如图，AE与BD相交于点C，已知AC＝5，BC＝3，EC＝10，DC＝6．求证：AB∥DE．【变式1-1】（2020秋•德江县期末）如图，∠1＝∠2，ABAE=ACAD，求证：∠【变式1-2】（2020秋•遂川县期末）如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，D为平面上一动点，在运动过程上保持AD⊥BD于点D，将△BCD沿BD翻折得到△BED，在直线AD上取点F，作CF∥DE．（1）如图1，若AD与BC相交于点G，求证DGCG（2）猜想△CDF的形状，并说明理由．【变式1-3】（2020秋•中方县期末）在锐角△ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BC与点G，AF⊥DE于F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△AEF∽△ACG．（2）求证：∠ADE＝∠B．（3）若AD＝3，AB＝5，求AFAG【题型2相似三角形的性质（对应边成比例问题）】【例2】（（2020秋•崇左期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F．若AB＝4，BC＝6，则DF的长为（）A．94 B．74 C．3【变式2-1】（2020秋•万荣县期末）如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若AEEC=23，DEA．522 B．5 C．22【变式2-2】（2021•岳麓区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．（1）求证：AG＝CG；（2）若GE•GF＝9，求CG的长．【变式2-3】（2021•滕州市一模）在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝23，AD＝4，求CE的长．【题型3相似三角形的性质（周长问题）】【例3】（2020春•罗定市月考）已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC的边长分别为3，4，5，△A′B′C′中最小的边长为7，求△A′B′C′的周长．【变式3-1】．（2020秋•北碚区校级期中）已知：△ABC∽△A1B1C1，相似比为3：4，AB：BC：CA＝2：3：4，△A1B1C1的周长是72cm，求△ABC的各边的长．【变式3-2】（2020秋•泰兴市期末）如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE．（1）求证：△DAC∽△EBC；（2）求△ABC与△DEC的周长比．【变式3-3】（2020秋•东莞市校级月考）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2．△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2．则下列说法正确的是（）A．OAOD=32 B．OBCD=【题型4相似三角形的性质（面积问题）】【例4】（2021春•海阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD与BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD交BD的延长线于点E，△ABC∽△EDA．（1）求∠ABC的度数；（2）求S△ABCS△EDA【变式4-1】（2020秋•道里区期末）如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则S△ADEA．12 B．13 C．23【变式4-2】（2020•河北模拟）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（）A．22 B．24 C．26 D．28【变式4-3】（2020秋•德江县期末）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么S△BEF：S△BCF＝（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【题型5相似三角形的性质（多结论问题）】【例5】（2021•大埔县模拟）如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；其中正确结论的个数（）A．1 B．3 C．2 D．0【变式5-1】（2021春•淮阳区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2BC．AE平分∠BAD，交CD于点E，点F为AB边的中点，AE与DF交于点M，BD与EP交于点N，连接MN．则下列结论：①四边形ADEF是菱形；②与△BFN全等的三角形有5个；③S四边形BCEN＝7S△FMN；④当FM＝FN时，∠BAD＝60°．其中正确的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【变式5-2】（2020秋•松桃县期末）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE（∠ABC和∠AED是直角），连接BE，CD交于点P，CD与AE边交于点M，对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②∠BPC＝45°；③MP•MD＝MA•ME；④2CB2＝CP•CM，其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-3】（2021春•龙泉驿区期末）如图，Rt△ABC中，CD⊥AB于D，下列结论中：①∠1＝∠A；②∠2+∠B＝90°；③CD2＝AD•BD；④BC2＝BD•AD，一定成立的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【题型6相似三角形的性质（辅助线问题）】【例6】（2020秋•开江县期末）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．若AF＝7，DF＝1，则△ABC的边长等于（）A．57−2 B．58−2 C．【变式6-1】（2020秋•天长市期末）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB＝4，BC＝2，连接AI交FG于点Q，则QI的值为（）A．4 B．103 C．3 D．【变式6-2】（2021•利辛县二模）如图1，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，且BC＝3CE，F为CD的中点，EF的延长线交AD于点G，连接BG．（1）求AGDG（2）求证：BG＝EG；（3）如图2，M为AB的中点，DM交BG于点N，连接CN，求证：CN∥GE．【变式6-3】