八年级下学期数学期末质量检测A卷（测试范围：八下全部内容）（解析版）-new

2022-2023学年八年级下学期数学期末质量检测A卷（测试范围：八下全部内容）（考试时间:120分钟满分:120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.第Ⅰ卷选择题（共8题，每小题3分，共24分）1．（2023春•岳麓区期中）函数y=x−2的自变量xA．x≠2 B．x≥2 C．x＜0 D．x＞2【分析】根据二次根式有意义的条件成立不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故选：B．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．2．（2021春•惠州期末）下列各式计算错误的是（）A．43−3=3C．(3+2【分析】根据合并同类二次根式的法则、二次根式的乘法、平方差公式及二次根式的除法分别计算可得．【解答】解：A、43−3=B、2×C、(3+2)(3−2)=（3）2D、18÷故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．3．（2022秋•晋中期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AD＝AB D．AC平分∠DAB【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等，即∠ABC＝90°或AC＝BD，故选：A．【点评】本题考查正方形的判定，掌握正方形的性质和判定是解题的关键．4．（2023春•即墨区期中）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，1）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2【分析】写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：由图可知：当x＞﹣2时，y＞0，即kx+b＞0，即﹣kx﹣b＜0，所以不等式﹣kx﹣b＜0的解集为x＞﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．5．（2023•鹤壁一模）为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如表所示：月用水量/吨3456户数4682关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（）A．中位数是5 B．平均数是7 C．众数是5 D．方差是1【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的计算方法分别进行计算即可．【解答】解：将这20户的用水量从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为4+52=4.5，因此选项这组数据的平均数为3×4+4×6+5×8+6×24+6+8+2=4.4（吨），因此选项这组数据出现次数最多的是5，共出现8次，所以用水量的众数是5，因此选项C符合题意；这组数据的方差为120×[（3﹣4.4）2×4+（4﹣4.4）2×6+（5﹣4.4）2×8+（6﹣4.4）2×2]≈0.84，因此选项故选：C．【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数以及方差的计算方法是正确解答的前提．6．（2023春•金湖县期中）如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝105°，则∠BAC是（）A．25° B．30° C．45° D．50°【分析】根据平行四边形的性质，得到∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，进而得到CB＝BE，∠BCE＝∠BEC，设∠EAB的度数为x，列式计算即可．【解答】解：∵▱ABCD，∠D＝105°，∴∠ABC＝∠D＝105°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，CB＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，设∠EAB的度数为x，则：∠EBA＝x，∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝2x，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝75°﹣x，∴2x＝75°﹣x，∴x＝25°，∴∠BAC＝25°；故选A．【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角的性质，熟练掌握相关性质，并灵活运用，是解题的关键．7．若2、5、n为三角形的三边长，则化简(3−n)A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5【分析】根据三角形的三边关系可求出n的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简即可求出答案．【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，原式＝|3﹣n|+|8﹣n|＝﹣（3﹣n）+（8﹣n）＝﹣3+n+8﹣n＝5，故选：A．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．8．（2022秋•东明县校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB，AB=45，CB＝4，则△ABDA．6 B．7 C．10 D．9【分析】根据勾股定理可以求得AC的长，再根据DA＝DB，△BCD是直角三角形，由勾股定理即可求得BD的长，即可得到AD的长，然后即可计算出△ABD的面积．【解答】解：∵∠C＝90°，AB=45，CB∴AC=A设AD＝x，则CD＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AD＝5，∴S△ABD=AD⋅BC故选：C．【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．（2022秋•阜阳期中）甲、乙两个工程队分别同时维修两段道路，所维修的道路长度与维修的天数之间的函数关系图象如图所示，下列结论正确的是（）A．开工第2天时，甲队比乙队多维修200m B．开工第6天时，甲队比乙队多维修200m C．甲队维修道路长度为550m时，乙队所维修的道路长度为650m D．开工第2天或第143天时，甲、乙两队所维修道路长度的差为100【分析】根据图象数据直接分析B选项错误，进而求得甲队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式是y＝75x+250；乙队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式是y＝150x；得出甲队维修道路长度为550m时，乙队所维修的道路长度为600m，判断C选项，当x＝2时，求得甲、乙两队所维修道路长度的差为100m，即可判断A选项，当x＞2时，150x﹣（75x+250）＝100，即可求得x=143，继而判断【解答】解：由图象可得，甲队开挖到400m时，用了2天，开挖6天时，甲队比乙队少挖了900﹣700＝200（m），故B选项错误；甲队在2≤x≤6的时段内，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，∵点（2，400），（6，700））在该函数图象上，2k+b=4006k+b=700解得k=75b=250即甲队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式是y＝75x+250；乙队在0≤x≤6的时段内，设y与x之间的函数关系式为y＝ax，∵点（6，900）在该函数图象上，∴6a＝900，解得a＝150，即乙队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式是y＝150x；∴当75x+250＝550，解得x＝4，在y＝150x中，当x＝4时，y＝150×4＝600∴甲队维修道路长度为550m时，乙队所维修的道路长度为600m，故C选项错误；当x＝2时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相差400﹣150×2＝100（m）；故A选项错误当x＞2时，150x﹣（75x+250）＝100，解得x=14即开工第2天或第..天时，甲、乙两队所维修道路长度的差为100m．故D选项正确，故选：D．【点评】本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式结合图象分析是解题的关键．10．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（）A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FA＝FC，根据等边三角形的性质可得EA＝EC，根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，从而得到DF∥AE，DA∥EF，可得到四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；根据平行四边形的对角线互相平分可得AD＝AB＝2AF＝4AG；易证DB＝DA＝EF，∠DBF＝∠EFA＝60°，BF＝FA，即可得到△DBF≌△EFA．【解答】解：连接FC，如图所示：∵∠ACB＝90°，F为AB的中点，∴FA＝FB＝FC，∵△ACE是等边三角形，∴EA＝EC，∵FA＝FC，EA＝EC，∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，∴DF⊥AB即∠DFA＝90°，BD＝DA＝AB＝2AF，∠DBA＝∠DAB＝∠EAC＝∠ACE＝60°．∵∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠EAF＝90°，∴∠DFA＝∠EAF＝90°，DA⊥AC，∴DF∥AE，DA∥EF，∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；∵四边形ADFE为平行四边形，∴DA＝EF，AF＝2AG，∴BD＝DA＝EF，DA＝AB＝2AF＝4AG；在△DBF和△EFA中，BD=EF∠DBF=∠EFA∴△DBF≌△EFA（SAS）；综上所述：①③④正确，故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性比较强，有一定难度．第Ⅱ卷填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．（2022秋•泗阳县期末）若一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是．【分析】根据一次函数的性质，可得答案．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+1的函数值y随x的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得k＞2，故答案为：k＞2．【点评】本题考查了一次函数的性质，y＝kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．12．（2022秋•沙河市期末）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，点D与数轴上表示数﹣4的点重合，AB＝1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为．【分析】根据勾股定理计算出AC的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为﹣1，可得该点表示的数．【解答】解：在长方形ABCD中，AD＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AB＝CD＝1，∴AC=A则点A到该交点的距离为10，∵点A表示的数为﹣1，∴该点表示的数为：−1−10故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．13．（2023春•通州区期中）如图，点A（0，4），B（2，4），点P在直线y=12x+1上，当PA＝PB时，点P的坐标是【分析】设点P的坐标为（m，12m+1），利用两点间的距离结合PA＝PB，即可得出关于m【解答】解：∵点P在直线y=12∴设点P的坐标为（m，12m∵PA＝PB，∴（m﹣0）2+（12m+1﹣4）2＝（m﹣2）2+（12m+1﹣4）即4m﹣4＝0，解得：m＝1，∴点P的坐标为（1，32故答案为：（1，32【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离以及解一元一次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及两点间的距离，找出关于m的方程是解题的关键．14．（2022•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为【分析】根据勾股定理得到BC=AB2+AC2=5，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，求得EC＝EA，AF＝CF，推出AE＝CE=12BC＝2.5，根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝【解答】解：∵AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，∴BC=A由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，AF＝CF，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠B+∠ACB＝∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE，∴AE＝CE=12∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠ACD＝∠BAC＝90°，同理证得AF＝CF＝2.5，∴四边形AECF的周长＝EC+EA+AF+CF＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了平行四边形的性质，作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质．利用勾股定理列出方程是解题的关键．15．（2022春•通川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（﹣1，0），以OA1为直角边作等腰Rt△OA2A3，再以OA3为直角边作等腰Rt△OA3A4，…，按此规律进行下去，则点A2022的坐标为．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到OA1＝1，OA2=2，OA3＝（2）2，…，OA2020＝（2）2019，再利用A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴的特点可得到点A2020在第一象限，即可确定点A2020【解答】解：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在x轴的负半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，∴OA1＝1，OA2=2，OA3＝（2）2，…，OA2020＝（2）2019∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴，2022＝8×252+6，∴点A2022在第四象限，∵OA2022＝（2）2021，∴点A2022的横坐标为：22×（2）2021＝21010，纵坐标为﹣2故答案为：（21010，﹣21010）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征．16．（2020秋•双流区期末）如图，一次函数y=−43x+8的图象与x，y轴交于点A，B，点B关于x轴的对称点为C，动点P，Q分别在线段BC，AB上（P不与B，C重合），且∠APQ＝∠ABO，当△APQ是以AQ为底边的等腰三角形时，点P的坐标是【分析】利用坐标轴上点的坐标特征可求出A、B点的坐标，当△APQ是以AQ为底边的等腰三角形时，PA＝PQ，根据等腰三角形的性质得∠PQA＝∠PAQ，利用三角形外角性质和等量代换可得∠PQA＝∠BPA，则BP＝BA＝10，所以OP＝BP﹣OB＝2，于是可得到此时P点坐标为（0，﹣2）．【解答】解：当y＝0时，−43x+8＝0，解得x＝6，则当x＝0时，y=−43x+8＝8，则∴AB=6当△APQ是以AQ为底边的等腰三角形时，PA＝PQ，∴∠PQA＝∠PAQ，∵∠PQA＝∠ABO+∠BPQ，∠APQ＝∠ABO，∴∠PQA＝∠ABO+∠BPQ＝∠APQ+∠BPQ＝∠BPA，∴∠PAQ＝∠BPA，∴BP＝BA＝10，∴OP＝BP﹣OB＝2，∴P（0，﹣2）．故答案为：（0，﹣2）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．解答题（本大题共8小题，满分共72分）17.（每小题4分，共8分）（2022秋•泉州期末）计算：（1）38（2）8×【分析】（1）根据立方根、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质计算；（2）根据二次根式的混合运算法则计算．【解答】计算：（1）原式＝2﹣2+1+1﹣2+3（2）原式=48−23+＝43−23+3＝23−【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．18．（2022秋•泰山区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．【分析】（1）证明△DAE≌△BCF，可得AD＝CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题；（2）根据平行四边形的性质证明BG＝BC，然后根据勾股定理可得CG，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，在△DAE和△BCF中，∠DEA=∠BFC=90°AE=CF∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AD＝CB，∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠DAH＝∠BCG，AB∥CD，∴∠CGB＝∠GBA，∵∠DAH＝∠GBA，∴∠CGB＝∠BCG，∴BG＝BC，在Rt△CFB中，∵BF＝BG﹣FG＝BC﹣2，CF＝4，∴BC2＝BF2+CF2，∴BC2＝（BC﹣2）2+42，∴BC＝5．∴AD＝BC＝5．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△DAE≌△BCF．19．（每小题4分，共8分）（1）先化简，再求值：x(6−x)+(x+5【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，然后把x=6【解答】解：原式=6当x=6原式=6【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（2）已知x=3+5，y=3−5，试求代数式2x2﹣【分析】先利用x、y的值计算出x﹣y＝25，xy＝﹣2，再利用完全平方公式得到2x2﹣5xy+2y2＝2（x﹣y）2﹣xy，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵x=3+5，∴x﹣y＝25，xy＝3﹣5＝﹣2，∴2x2﹣5xy+2y2＝2x2﹣4xy+2y2﹣xy＝2（x﹣y）2﹣xy＝2×（25）2﹣（﹣2）＝42．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．20．（8分）（2023•玉林一模）收集数据：4月23日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）30ㅤ60ㅤ81ㅤ50ㅤ40ㅤ110ㅤ130ㅤ146ㅤ90ㅤ10060ㅤ81ㅤ120ㅤ140ㅤ70ㅤ81ㅤ10ㅤ20ㅤ100ㅤ81整理数据：课外阅读时间x0≤x＜4040≤x＜8080≤x＜120120≤x＜160人数3a8b分析数据：平均数中位数众数80m81解决问题：（1）直接写出a，b，m的值；（2）样本中的中位数和众数落在哪个范围内？（3）该校现有学生1600人，估计课外阅读时间在“80≤x＜120”内的学生有多少名？【分析】（1）根据题干提供数据和中位数的定义求解即可；（2）根据表中提供的数据求解即可；（3）用总人数乘以样本中课外阅读时间在“80≤x＜120”内的学生人数所占比例即可．【解答】解：（1）由题意知，a＝5，b＝4，中位数m=81+81（2）根据上表统计显示，样本中的中位数和众数都是81，都落在“80≤x＜120”内；（3）820答：估计课外阅读时间在“80≤x＜120”内的学生有640名．【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本和总体的关系是关键．21．（8分）（2022秋•丰泽区校级期末）如图，四边形ABCD为某工厂的平面图，经测量AB＝BC＝AD＝80m，CD＝803m，且∠ABC＝90°．（1）求∠DAB的度数；（2）若直线AB为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为80m，求被监控到的道路长度为多少m？【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AC，进而利用勾股定理逆定理解答即可；（2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可．【解答】解：（1）连接AC，∵AB＝BC＝AD＝80m，∠ABC＝90°∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC=AB2+BC2=802∵CD＝803m，在△ACD中，AD2+AC2＝802+（802）2＝（803）2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝90°+45°＝135°；（2）过点D作DE⊥AB于E，作点A关于DE的对称点F，连接DF，由轴对称的性质，得：DF＝DA＝80m，AE＝EF，由（1）知，∠BAD＝135°，∴∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE=22AD＝402（∴AF＝2AE＝802（m），∴被监控到的道路长度为802m．【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．22．（10分）（2023•冷水滩区校级模拟）为了提高同学们学习数学的兴趣，某中学开展主题为“感受数学魅力，享受数学乐趣”的数学活动．并计划购买A、B两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生，已知购买1件A种奖品和2件B种奖品共需64元，购买2件A种奖品和1件B种奖品共需56元．（1）每件A、B奖品的价格各是多少元？（2）根据需要，该学校准备购买A、B两种奖品共80件，设购买a件A种奖品，所需总费用为w元，求w与a的函数关系式，并直接写出a的取值范围；（3）在（2）的不超过B种奖品数量的3倍，求所需总费用的最小值．【分析】（1）设每件A种奖品的价格各是x元，每件B种奖品的价格各是y元，得出方程组，解方程组即可解得答案；（2）根据甲的费用+乙的费用＝总费用，列出函数关系式即可；（3）由购买的甲种礼品的数量不超过乙种礼品数量的3倍，可得a≤60，根据一次函数性质即可答案．【解答】解：（1）设每件A奖品的价格各是x元，每B奖品的价格各是y元，根据题意得：x+2y=642x+y=56解得x=16y=24答：每件A奖品的价格是16元，每件B奖品的价格是24元；（2）根据题意得：w＝16a+24（80﹣a）＝﹣8a+1920，∴w与a的函数关系式为w＝﹣8a+1920（0＜a＜80）；（3）∵购买的A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍，∴a≤3（80﹣a），解得a≤60，在w＝﹣8a+1920中，﹣8＜0，∴w随a的增大而减小，∴a＝75时，w最小，最小值为﹣8×60+1920＝1440（元），答：所需总费用的最小值是1440元．【点评】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．23．（10分）（2023春•连山区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点M在DA的延长线上，点E是直线BD上的动点，连接ME，将线段ME绕点M逆时针旋转60°得到线段MF，连接EF，DF．（1）如图①，当点E与点B重合时，请直接写出线段AM与DF的数量关系；（2）如图②，当点E在BD上时，请写出线段BE，AM，DF之间的数量关系，并给出证明；（3）当点E在直线BD上时，若AB＝6，AD＝3AM，BD＝2BE，请直接写出线段DF的长．【分析】（1）连接BD，由旋转的性质得出MB＝MF，∠BMF＝60°，得出△BCD为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBD＝60°，BC＝BD，证明△CBF≌△DBM（SAS），由全等三角形的性质得出CF＝DM，则可得出结论；（2）过点M作MN∥AB交DB的延长线于点N，证明△MND是等边三角形，由等三角形的性质得出MN＝MD＝DN，得出△MEF是等边三角形，可证明△MNE≌△MDF（SAS），由全等三角形的性质得出EN＝DF，则可得出结论；（3）分两种情况画出图形，由等边三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案．【解答】解：（1）DF＝AM，证明，连接BD，∵将线段ME绕点M逆时针60°得到线段MF，点E与点B重合，∴MB＝MF，∠BMF＝60°，∴△BMF为等边三角形，∴∠FBM＝60°，BM＝BF，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴BC＝CD，∠BCD＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴∠CBD＝60°，BC＝BD，∴∠CBF＝∠DBM，∴△CBF≌△DBM（SAS），∴CF＝DM，∵CD＝AD，∴DF＝AM；（2）结论：BE+AM＝DF．证明：如图2，过点M作MN∥AB交DB的延长线于点N，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝AD，∠DAB＝∠ABD＝60°，∵MN∥AB，∴∠N＝∠ABD＝60°，∠NMD＝∠BAD＝60°，∴△MND是等边三角形，∴MN＝MD＝DN，∵ME＝MF，∠MEF＝60°，∴△MEF是等边三角形，∴ME＝MF，∠EMF＝60°，∴∠NME＝∠DMF，∴△MNE≌△MDF（SAS），∴EN＝DF，即BE+BN＝DF，∵MD＝DN，AD＝BD，∴AM＝BN，∴BE+AM＝DF．（3）如图3，当点E在线段BD上时，由（2）可知BE+AM＝DF．∵AB＝6，∴AB＝BD＝6，∵AD＝