人教版八年级数学上册 专题12.1-12.2 全等三角形性质及判定讲练（解析版）

专题12.1-12.2全等三角形性质及判定典例体系一、知识点1全等三角形形状、大小相同的图形能够完全重合；全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；平移、翻折、旋转前后的图形全等；对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；全等表示方法：用“”表示，读作“全等于”（注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）全等三角形的性质：=1\*GB3①全等三角形的对应边相等；=2\*GB3②全等三角形的对应角相等；2三角形全等的判定（1）若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等；（2）三角形全等的判定：=1\*GB3①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SSS”）=2\*GB3②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”）=3\*GB3③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”）=4\*GB3④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”）=5\*GB3⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”）二、考点点拨与训练考点1：全等三角形的性质典例：（2020·古田县第十中学初一期中）如图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠D=____，∠EAD=______．【答案】40°110°【解析】解：△ABC中，∠C＝40°，∠B＝30°

∵△ABC≌△AED，

∴∠D＝∠C＝40°，∠E＝∠B＝30°，

∴∠EAD＝180°−∠D−∠E＝110°，故答案为：40°，110°．方法或规律点拨本题用考查知识点为：全等三角形的性质及对应角的找法．书写全等时应注意各对应顶点应在同一位置，也可根据此点来找全等三角形的对应关系．在计算角的度数的时候各角的度数应整理到一个三角形中．巩固练习1．（2020·广东省初三一模）如图，，，，则（）A．70° B．45° C．40° D．50°【答案】C【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE＝40°，∠B＝∠D＝100°，∴∠AED＝180°−40°−100°＝40°，故选：C．2．（2020·南通市八一中学初一月考）下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②三边对应相等的两个三角形全等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【解析】由全等三角形的概念可知：全等的图形是完全重合的，所以①全等图形的形状相同、大小相等是正确的；重合则对应边、对应角是相等的，周长与面积也分别相等，所以①②③④都正确的．故选：D．3．（2021·上海初一期末）如图，已知两个三角形全等，那么∠1的度数是（）A．72°； B．60°； C．58°； D．50°．【答案】D【解析】根据三角形内角和可知，第一个三角形的第三个角的度数为，由全等三角形的性质可知，，故选：D．4．（2020·上海初三二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（）A．（6，0） B．（4，0） C．（4．﹣2） D．（4，﹣3）【答案】D【解析】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：(4，﹣3)．故选：D．5．（2020·偃师市实验中学初二月考）已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝度．【答案】120【解析】解：∵△OAD≌△OBC，∴∠D=∠C=25°，∴∠CAE=∠O+∠D=95°，∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°．6．（2020·江苏省初二期末）如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为．【答案】130°【解析】∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．故答案为130°．考点2：应用“SSS”判断三角形全等典例：（2020·全国初一课时练习）如图，已知，，，求证：.【答案】证明见解析.【解析】在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2，∵∠3=∠BAD+∠ABD，∴∠3=∠1+∠2.方法或规律点拨本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.巩固练习1．（2020·南通市八一中学初一月考）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（）A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD【答案】B【解析】CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC；又有AD=AD，可证△AED≌△ACD∴∠ADE=∠ADC即AD平分∠EDC；在△ACD中，CD+AC>AD所以ED+AC>AD.综上只有B选项无法证明,B要成立除非∠B=30∘，题干没有此条件，B错误，故选B.2．（2021·内蒙古自治区初二期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是()A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【答案】D【解析】解：根据作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)∴∠COD=∠C′O′D′∴∠AOB=∠A′O′B′故选D．3．（2020·偃师市实验中学初二月考）用尺规作图作已知角∠AOB的平分线OC，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS【答案】B【解析】如图，是用尺规作图作出的∠AOB的角平分线OC，连接DC、EC，由作图过程可知：OD=OE，DC=EC，∴在△ODC和△OEC中，∴△ODC≌△OEC（SSS）.故选B.4．（2021·内蒙古自治区初二期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是()A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【答案】D【解析】解：根据作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)∴∠COD=∠C′O′D′∴∠AOB=∠A′O′B′故选D．5．（2020·云南省初三二模）有一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：AC平分∠BAD．【答案】见解析【解析】证明：在ABC和ADC中，∴ABC≌ADC（SSS）∴∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD．6．（2020·湖北省初三其他）如图，，，求证：．【答案】见解析【解析】证明：在与中，,∴；∴，∴，∴．7．（2020·江苏省初三一模）已知：如图，相交于点，过点作，垂足为．求证：．【答案】见解析【解析】证明：在△ABC与△BAD中，∴△ABC≌△BAD（SSS），∴∠ABC＝∠BAC，∴AO＝BO，又∵OE⊥AB，∴AE＝BE．8．（2020·全国初一课时练习）如图,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC，(1)试说明:∠A=∠C;(2)在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是什么?【答案】（1）见解析；（2）构造全等三角形.【解析】(1)如图,连接OE.在△EAO和△ECO中,所以△EAO≌△ECO(SSS).所以∠A=∠C(全等三角形的对应角相等).(2)在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是构造全等三角形.考点3：应用“SAS”判断三角形全等典例：（2020·江苏省中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°【解析】解：（1）∵AE∥BF，∴∠A=∠DBF，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，又∵AE=BF，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E=∠F；（2）∵△ACE≌△BDF，∴∠D=∠ACE=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.方法或规律点拨本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和，解题的关键是找出三角形全等的条件.巩固练习1．（2022·广东省深圳外国语学校初一期末）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（）．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，①正确；∴，由三角形的外角性质得：∴°，②正确；作于，于，如图所示：则°，在和中，，∴，∴，∴平分，④正确；正确的个数有3个；故选：B．2．（2020·山东初二期末）如图，AB∥CD，CE∥BF，A、E、F、D在一直线上，BC与AD交于点O，且OE=OF，则图中有全等三角形的对数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】解：①∵CE∥BF，∴∠OEC＝∠OFB，又∵OE＝OF，∠COE＝∠BOF，∴△OCE≌△OBF，∴OC＝OB，CE＝BF；②∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠DCO，∠AOB＝∠COD，又∵OB＝OC，∴△AOB≌△DOC；③∵AB∥CD，CE∥BF，∴∠D＝∠A，∠CED＝∠COD，又∵CE＝BF，∴△CDE≌△BAF.故选B.3．（2020·济南市长清区实验中学初一期中）如图，点E、F在BC上，AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，AF与DE交于点O．求证：∠A=∠D．【答案】见详解【解析】证明：∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，

∴BF=CE，

在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS），

∴∠A=∠D．4．（2020·江苏中考真题）如图，，，．，与交于点．（1）求证：；（2）求的度数．【答案】（1）见解析（2）90°【解析】（1）∵，，∴∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE即∠ACE=∠BCD又．∴△ACE≌△BCD∴（2）∵△ACE≌△BCD∴∠A=∠B设AE与BC交于O点,∴∠AOC=∠BOF∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°∴∠BFO=∠ACO=90°故=180°-∠BFO=90°．5．（2020·江苏中考真题）如图，已知，，．

求证：（1）；（2）．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∵BE=CF，∴BE-EF=CF-EF，即BF=CE，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴∠AFE=∠DEF，∴AF∥DE．6．（2020·重庆初三）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G=29°，求∠ADC的度数；（2）若点F是BC的中点，求证：AB=AD+CD．【答案】（1）58°；（2）详见解析【解析】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G,∠BAD=∠ADC．∵AF平分∠BAD，∴∠BAD=2∠BAG=2∠G．∴∠ADC=∠BAD=2∠G．∵∠G=29°，∴∠ADC=58°．（2）∵AF平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG．∵∠BAG=∠G，∴∠DAG=∠G．∴AD=GD．∵点F是BC的中点，∴BF=CF．在△ABF和△GCF中，∵∴△ABF≌△GCF．∴AB=GC．∴AB=GD+CD=AD+CD．7．（2020·福州四十中金山分校初二月考）如图（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．点P在线段AB上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）全等，垂直，理由详见解析；（2）存在，或【解析】(1)当t=1时，AP=BQ=1,BP=AC=3,又∠A=∠B=90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ,∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90*.∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直；(2)①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，解得;②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，解得：综上所述,存在或使得△ACP与△BPQ全等.考点4：应用“ASA”或“AAS”判断三角形全等典例：（2020·山东省初一期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠β．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，①若∠BCA=90°，∠β=90°，例如左边图，则BECF，EF|BE-AF|（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β＋∠BCA=180°，例如中间图，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如右边图，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β=∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．【答案】（1）①=，=②两结论依然成立，证明见解析（2）EF=BE+AF【解析】（1）①∵∠BCA=90°，∠β=90°∴∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90°∴∠BCF=∠CAF又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB∴△BEC△CFA(AAS)∴BE=CF，CE=AF∴②在△FCA中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180°∴∠FCA+∠CAF=∠BCA∵∠BCA=∠BCE+∠FCA∴∠CAF=∠BCE∵CA=CB∴△BEC△CFA(AAS)∴BE=CF，CE=AF∴（2）在△BEC中，∠B+∠BEC+∠BCE=180°又∵∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA∴∠B=∠ACF∵CA=CB∴△BEC△CFA(AAS)∴BE=CF，CE=AFEF=EC+CF=AF+BE方法或规律点拨本题考查全等三角形证明以及性质的应用，并结合一定的探究思路，按照题目指引利用AAS判别定理解答即可．巩固练习1．（2020·江苏初三二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，.求证：.【答案】证明见解析．【解析】证明：，.又，，，.2．（2020·湖北省初三月考）如图，于点于点，求证：．【答案】详见解析【解析】证明：，，，，在和中，，，，．3．（2020·重庆市育才中学初二期末）如图△ABC中，点E在AB上，连接CE，满足AC＝CE，线段CD交AB于F，连接AD．（1）若∠DAF＝∠BCF，∠ACD＝∠BCE，求证：AD＝BE；（2）若∠ACD＝24°，EF＝CF，求∠BAC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）52°．【解析】解：（1），，，又，，，；（2），，，，又，中，．4．（2020·浙江初一月考）△ADE中，AE=AD，∠EAD=90°．（1）如图（1），若EC、DB分别平分∠AED、∠ADE，交AD、AE于点C、B，连接BC．请你判断AB、AC是否相等，并说明理由；（2）△ADE的位置保持不变，将（1）中的△ABC绕点A逆时针旋转至图（2）的位置，CD、BE相交于O，请你判断线段BE与CD的位置关系及数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若CD=6，试求四边形CEDB的面积．【答案】（1）理由见解析；（2）理由见解析；（3）18.(1)AB=AC.理由如下：∵EC、DB分别平分∠AED、∠ADE∴∠AEC=∠AED,∠ADB=∠ADE∵∠AED=∠ADE∴∠AEC=∠ADB在△AEC和△ADB中，∠AEC=∠ADB，AE=AD，∠A=∠A∴△AEC≌△ADB∴AB=AC；(2)BE=CD且BE⊥CD.理由如下：∵∠EAD=∠BAC∴∠EAB=∠DAC在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC(SAS)∴EB=CD∴∠AEB=∠ADC∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90°∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90°∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180°∴∠DOE=90°∴BE⊥CD；(3)四边形CEDB的面积=×BE×CD==18.5．（2020·山东省初二期中）（1）如图①，直线经过正三角形的顶点，在直线上取两点、，使得，，求证：．（2）将（1）中的直线绕着点逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置，并使，，通过观察或测量，猜想线段，与之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析．【解析】（1）∵在正三角形中，，∴又∵∴在和中，∴≌()∴，∴（2）猜想：证明：∵在正三角形中，∴∵∴∴在和中∴≌()∴，∴考点5：应用“HL”判断三角形全等典例：（2020·辽宁初三一模）如图，将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.(1)求证：AF＋EF＝DE.(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出旋转后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立．(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③.你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出AF，EF与DE之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见解析；【解析】（1）如图①所示，连接BF，∵BC=BE，在Rt△BCF和Rt△BEF中∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF=CF，∴AF+EF=AC=DE；（2）如图②所示：延长DE交AC与点F，连接BF，在Rt△BCF和Rt△BEF中∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF=CF，∴AF+EF=AC=DE；（3）如图③所示：连接BF，在Rt△BCF和Rt△BEF中∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），∴EF=CF，∴AF-FC=AC=DE，∴AF-EF=DE．方法或规律点拨本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．巩固练习1．（2020·山东初二期中）如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=A．40°B．50°C．60°D．75°【答案】B【解析】解：∵∠B=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△ADC中，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．故选B．2．（2020·甘肃靖远五中初二期中）如图，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是()A． B． C． D．【答案】A【解析】添加的条件是AB＝CD；理由如下:∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，∵，∴，在Rt△ABE和Rt△DCF中，∴Rt△ABE＝R△DCF(HL)所以A选项是正确的.3．（2020·山西省初二期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5cm，在AC上取一点E使EC=BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF=AB，若EF=12cm，则AE的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】C【解析】∵EF⊥AC，∴∠CEF=90°，在Rt△ABC和Rt△FCE中，∴Rt△ABC≌Rt△FCE（HL），∴AC=FE=12cm，∵EC=BC=5cm，∴AE=AC-EC=12-5=7cm，故选：C．4．（2022·陕西省陕西师大附中初一期末）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，则∠BDC＝_____．【答案】75°【解析】解：延长AE交DC边于点F，如图：∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，在Rt△ABE与Rt△CBD中，∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），∴∠AEB＝∠BDC，AB＝BC，∴