高等数学微积分课件-第八章多元函数微积分81预备知识

高等数学微积分课件--第八章多元函数微积分81预备知识多元函数的极限偏导数全微分向量值函数多元函数的极值contents目录01多元函数的极限定义与性质定义多元函数的极限是指当各个自变量趋于某一点时，函数值趋于某个确定值的性质。性质极限具有唯一性、局部有界性、局部保序性等性质，这些性质在研究多元函数的微积分中具有重要意义。03幂级数法利用幂级数展开式来计算多元函数的极限，适用于一些特殊函数的极限计算。01代数法通过代数运算计算多元函数的极限，需要掌握各种极限运算的法则和公式。02几何法通过几何图形或几何意义来理解多元函数的极限，例如利用数形结合的方法。计算方法定义如果对于任意给定的正数$epsilon$，存在一个正数$delta$，使得当各个自变量满足$|x_i-a_i|<delta$时，有$|f(x)-f(a)|<epsilon$，则称多元函数在点$(a_1,a_2,ldots,a_n)$处连续。性质连续性具有局部性、传递性和可加性等性质，这些性质在研究多元函数的微积分中具有重要意义。连续性02偏导数定义与性质对于一个多元函数，如果一个变量变化时，其余变量保持不变，那么得到的导数就是偏导数。偏导数的定义偏导数具有线性、连续性和可加性等性质，这些性质在研究多元函数的性质和计算中非常重要。偏导数的性质通过求二阶偏导数，可以得到高阶偏导数，进而研究函数的极值和拐点等性质。对于复合函数，可以通过链式法则计算偏导数，从而得到复合函数的导数。计算方法复合函数的偏导数高阶偏导数的计算偏导数表示函数在某一点的切线方向，可以通过偏导数确定函数图像在该点的切线斜率和方向。切线方向通过研究偏导数，可以找到函数的最值点，进而确定函数的最值。函数的最值偏导数的几何意义03全微分VS全微分的定义和性质是多元函数微积分的基础，它描述了函数在一点附近的变化情况。详细描述全微分是多元函数在某一点的全增量，它等于各个自变量改变量与相应的偏导数的乘积之和。全微分具有线性性质和非局部性质，即全微分满足线性组合和链式法则。总结词定义与性质全微分的计算方法包括求偏导数和计算各偏导数的乘积之和。总结词首先求出多元函数的各个偏导数，然后将各个自变量的改变量乘以相应的偏导数，最后将这些乘积相加得到全微分。全微分的计算方法还包括链式法则和全微分的近似计算方法。详细描述计算方法总结词全微分的应用包括近似估计、导数的几何意义和函数的极值问题。详细描述全微分可以用于近似估计函数在某一点的改变量，从而了解函数在该点附近的变化趋势。全微分的几何意义是切线的斜率，可以用来研究函数的凹凸性和极值问题。此外，全微分还可以用于求解最优化问题，例如多元函数的极值和条件极值问题。全微分的应用04向量值函数定义向量值函数的导数是单位切向量与函数方向导数的乘积。性质向量值函数的导数具有与标量函数导数相似的性质，如链式法则、乘积法则等。应用向量值函数的导数是研究向量值函数性质和几何意义的基础，也是多元函数微积分中的重要概念。向量值函数的导数定义向量值函数在某点的可微性是指该点的极限切线与函数在该点的切线一致。性质向量值函数的可微性具有与标量函数可微性相似的性质，如可微函数的导数存在且连续。应用向量值函数的可微性是研究向量值函数性质和几何意义的重要工具。向量值函数的可微性030201123向量值函数的几何意义是指向量的变化率或速度。定义向量值函数的几何意义具有与标量函数导数相似的性质，如方向导数表示函数在该点的切线方向。性质向量值函数的几何意义是研究向量值函数性质和几何意义的重要工具，也是理解多元函数微积分概念的基础。应用向量值函数的几何意义05多元函数的极值极值点处的函数值必须大于或等于其邻域内的函数值即对于可微的多元函数，如果在某点的邻域内，函数值达到局部最大或最小，则该点为极值点。要点一要点二极值点处的函数梯度必须为零即函数在极值点处的偏导数必须为零。极值的必要条件即二阶偏导数在极值点处不能出现间断或无穷大。二阶偏导数在极值点处必须存在且连续即海森矩阵的所有主子式必须非负，且至少有一个主子式为零。海森矩阵在极值点处必须是半正定的极值的充分条件在最优化问题中的应用极值理论可以用于求解最优化问题，例如在生产、运输、分配等实际问题中，通过寻找函数的极值点，可以得到最优解。