5.3.2事件之间的关系与运算 课件

5.3.2事件之间的关系与运算问题阅读课本本节内容，回答下列问题：整体概览（1）本节课要学的内容是事件之间的关系与运算；（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？问题阅读课本本节内容，回答下列问题：整体概览（2）本节内容是本章第二部分概率的第二节内容，由于样本空间和事件都是集合，因此事件之间的关系与运算本质上就是集合之间的关系与运算，正因为如此，教材借助维恩图等呈现了有关内容，但是为了避免学生简单地认为这里的内容只是集合内容的重现，教材在讨论事件之间的关系和运算时，同时给出了它们发生的概率之间的联系.这样做的目的是为了渗透概率的公理化定义，为后续学习打下基础.（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？新知探究某班数学建模课分成5个小组（编号为1，2，3，4，5）采用合作学习的方式进行，课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示．这一试验的样本空间可记为Ω＝{1，2，3，4，5}，1、问题导入记事件E＝{1}，F＝{1，2}，G＝{1，3}，H＝{1，2，3}，I＝{4，5}．新知探究问题1说出每一事件的实际意义，并尝试理解上述各事件之间的关系．事件E发生，则事件F一定发生；事件H与事件I不能同时发生；……新知探究问题2上节课我们理解了在事件与集合之间的对应关系，类比集合之间的关系和运算，描述上述事件之间的关系．E⊆F，F∩G＝E，F∪G＝H，H∩I＝Φ……新知探究问题3如何从多个角度来理解事件的包含关系？（1）从事件发生的角度看，A⊆B意味着如果事件A发生，则事件B一定发生；（2）从包含的样本点的角度看，A⊆B意味着A的每一个样本点都是B的样本点；（3）从逻辑的角度看，A⊆B意味着A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件；新知探究问题3如何从多个角度来理解事件的包含关系？（4）从维恩图的角度看，A⊆B意味着表示A的图形在表示B的图形的内部或相等，如图所示：（5）从发生的概率大小的角度看，A⊆B意味着P（A）≤P（B）．新知探究事件的包含：一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”（或“B包含A”）记作A⊆B（或B⊇A）．事件的相等：如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B．A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充要条件．显然，当A＝B时，P（A）＝P（B）．新知探究问题5请你举一些实例，来理解事件的包含与相等的关系．（1）先后抛两枚硬币，如果A表示“恰好有一枚硬币出现正面”，B表示“两枚硬币都出现正面”，C表示“至少有一枚硬币出现正面”，D表示“两枚硬币都没有出现反面”，则A⊆C，B⊆C，B＝D．（2）已知某产品是否合格包括长度、直径两个指标，如果A表示“长度不合格”，B表示“产品不合格”，则A⊆B；新知探究定义：给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作A＋B（或A∪B）．多个角度理解事件的和（并）：事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生，即：事件A与B的和可以用如图所示的阴影部分表示：新知探究有三种情况，即事件A发生且事件B不发生，事件A不发生且事件B发生，事件A和事件B同时发生；另外，从事件包含关系的角度，A⊆（A＋B），B⊆（A＋B），而且，直观上可知P（A＋B）与P（A）＋P（B）的大小关系为：P（A＋B）≤P（A）＋P（B）．因此P（A）≤P（A＋B）且P（B）≤P（A＋B），新知探究问题6您能否根据事件的并（和），定义事件的积（交）？给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交），记作AB（或A∩B）新知探究问题7请你举实例，并且根据事件的并（和）的多角度理解来从多个角度理解事件的积（交），讨论事件AB与事件A＋B之间的关系？（1）前述情境与问题中，E＝FG．（2）事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示：事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生；而且，直观上可知：P（AB）≤P（A），P（AB）≤P（B）新知探究问题7请你举实例，并且根据事件的并（和）的多角度理解来从多个角度理解事件的积（交），讨论事件AB与事件A＋B之间的关系？（3）事件AB发生是事件A＋B发生的充分条件，事件B发生也是事件A＋B发生的充分条件；事件AB发生的充要条件是事件A和事件B都发生，事件AB发生是事件A发生的充分条件，事件AB发生也是事件B发生的充分条件．新知探究问题8类比前面的情况，得出P（AB）与P（A）的大小关系，以及P（AB）与P（B）的大小关系？P（AB）≤P（A）；P（AB）≤P（B）新知探究问题9在情境与问题中，事件E与I不能同时发生，这两个事件叫做互斥的，从集合的角度看，它们具有什么关系？定义：给定事件A，B，若事件A与B不能发生，则称A与B互斥，记作AB＝Φ（或A∩B＝Φ）．这一关系可用右图表示：追问：任意两个基本事件互斥吗？Φ与任意事件互斥吗？如果两个事件互斥，它们和事件的概率有什么性质？新知探究Φ与任意事件互斥；从集合的角度来看，事件A与B互斥，就意味着它们没有公共元素．直观上可以看出，如果事件A与B互斥，则P（AB）＝0；当A与B互斥时，有P（A＋B）＝P（A）＋P（B），这称为互斥事件的概率加法公式．任意两个基本事件都互斥；追问：任意两个基本事件互斥吗？Φ与任意事件互斥吗？如果两个事件互斥，它们和事件的概率有什么性质？新知探究P（A1＋A2＋……＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋……＋P（An）推广：一般地，如果A1，A2，……，An是两两互斥的事件，则新知探究问题10前述情境与问题中，互斥的事件除了E与I，还有：F与I，G与I，H与I．其中H与I除了具有互斥关系，从多种角度来理解还具有什么特殊性？它们的并集为全集……新知探究由互斥事件的概率加法公式推导出对立事件的概率和为1，定义：给定样本空间与事件A，则由样本空间中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作，A与称作相互对立．从集合的观点来看，是A在Ω中的补集，可用韦恩图表示，如图：每次随机试验，在事件A与中，有一个发生，而且只有一个发生．即1＝P（Ω）＝P（A＋）＝P（A）＋P（）新知探究问题11举实例，指出试验中的互斥事件和对立事件，试用自己的语言总结出它们之间的关系，并举例说明．（1）抛一枚硬币时，“正面向上”和“反面向上”为互斥事件；投篮时，“投中”和“未投中”为互斥事件；掷一个骰子时，“出现1点”和“出现偶数点”为互斥事件．（2）如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件新知探究前面实际上我们给出了事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件．因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算．同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级．例如，表示与的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此可简写为．新知探究例1设A，B为两个事件，试用A，B表示下列各事件：（1）A，B两个事件中至少有一个发生；（2）A事件发生且B事件不发生；（3）A，B两个事件都不发生．解：（1）按照定义有A＋B．（2）因为B不发生可以表示为

，因此可以写成

．（3）按照定义有

．新知探究设A，B，C表示三个随机事件，请将下列事件用A，B，C表示出来：（1）A发生，B，C不发生；（2）A，B都发生，C不发生；（3）三个事件都发生；（4）三个事件至少有一个发生；（5）三个事件都不发生；（6）不多于一个事件发生．ABC新知探究例2已知数学考试中，李明成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90分的概率为0.5，求：解：记事件A：李明成绩高于90分，B：李明成绩不低于60分且不高于90分，则不难看出A与B互斥，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.5．（1）因为“李明成绩不低于60分”可表示为A＋B，由A与B互斥可知P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝0.3＋0.5＝0.8．（1）李明成绩不低于60分的概率；（2）李明成绩低于60分的概率．新知探究例2已知数学考试中，李明成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90分的概率为0.5，求：（1）李明成绩不低于60分的概率；（2）李明成绩低于60分的概率．解：记事件A：李明成绩高于90分，B：李明成绩不低于60分且不高于90分，则不难看出A与B互斥，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.5．（2）因为“李明成绩低于60分”可表示为

，因此归纳小结问题12（1）如何理解事件A包含事件B？事件A与事件B相等？（2）什么叫做并事件？什么叫做交事件？（3）什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？互斥事件与对立事件的联系与区别是什么？（1）一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）；如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B．归纳小结问题12（1）如何理解事件A包含事件B？事件A与事件B相等？（2）什么叫做并事件？什么叫做交事件？（3）什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？互斥事件与对立事件的联系与区别是什么？（2）给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并）；给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交）归纳小结（3）给定事件A，B，若事件A，B不能同时发生，则称A与B互斥；给定样本空间Ω与事件A，由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件记为A；①区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：（ⅰ）若事件A发生，则事件B就不发生；（ⅱ）若事件B发生，则事件A不发生；（ⅲ）事件A，B都不发生．归纳小结而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A＋B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A＋B不一定是必然事件，亦即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．②联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．作业：教科书练习B：4，5题．作业布置目标检测打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3．那么A＝A1＋A2＋A3表示（

）1BA．全部击中B．至少击中1发C．至少击中2发D．以