小学奥数题库《数论》余数问题中国剩余定理1星题（含解析）全国通用版

数论-余数问题-中国剩余定理-1星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

中国剩余定理C1、能够准确的理解中国剩余定理。少考

2、会用中国剩余定理来求解相关的

数量题目。

知识提要

中国剩余定理

・概述中国剩余定理即我们常说的“物不知数"，是利用同余式组来求解的一类问题。

A、一个数分别除以两个数余数相同的时候，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数

B、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后

便可以整除

C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法.

精选例题

中国剩余定理

1.有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还

剩12个.那么这筐苹果至少个.

【答案】62

【分析】设有%个苹果.

因为11除以3余2,所以x除以3余2：

因为10除以4余2,所以x除以4余2；

因为12除以5余2,所以x除以5余2.

又因为x大于12,x=[3,4,5]+2=60+2=62（个）.

2.一个大于2的数，除以3余1,除以5余3,除以7余5,问满足条件的最小自然数是.

【答案】103.

【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺2能被整除，这

样得[3、5、7]-2=103.

3.一个大于10的数，除以5余3,除以7余1,除以9余8,问满足条件的最小自然数为.

【答案】323.

【分析】根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8,这样

我们可以把余数都处理成都余8,所以[5、7、9]=315,所以这个数就是315+8=323.

4.一个大于10。的数，除以9余3,除以11余1,问满足条件的最小自然数为.

【答案】111.

【分析】据题意，我们发现两个数的除数与余数的和都是9+3=11+1=12,这样我们可以

把余数都处理成都余12,所以[9、11]=99,所以这个数就是99+12=111.

5.一个大于3的数，除以7余4,除以9余6,除以11余8,问满足条件的最小自然数是.

【答案】690.

【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺3能被整除，这

样得[7、9、11]-3=690.

6.一个大于2000数，除以11余5,除以13余3,除以17余16,问满足条件的最小自然数为.

【答案】2447.

【分析】根据题意，我们发现三个算式中两个数的除数与余数的和都是

11+5=13+3=16,这样我们可以把余数都处理成都余16,所以[11、13、17]=2431,所

以这个数就是2431+16=2447.

7.一个大于10的数，除以5余3,除以7余1,问满足条件的最小自然数为.

【答案】43.

【分析】根据总结，我们发现两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8,这样我们可以

把余数都处理成都余8,所以[5、7]=35,所以这个数就是35+8=43.

8.有一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩3块；如

果按10块一份来分，最后剩下4块.这堆糖至少有块.

【答案】354

【分析】这堆水果糖的总数被8除余2,被9除余3,被10除余4,如果增加6块就刚好是8、9、

1。的公倍数，又8、、9、10的最小公倍数是360.所以这堆水果糖至少有360-6=354（块）.

9.5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，

问上体育课的同学最少人.

【答案】59.

【分析】分析题意知，这个班的人数除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,凑缺相

同，这个班人数为[3、4、5、6]-1=59（人）.

10.一个数，除以11余7,除以13余9,除以19余15,问满足条件的最小自然数是.

【答案】2713.

【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺4能被整除，这

样得[11、13、19]-4=2713.

11.某个两位数是2的倍数，力口1是3的倍数，力口2是4的倍数，力口3是5的倍数，那么这个两位数

是.

【答案】62

【分析】由题可知，此数是一个2的倍数，并且除以3、4、5都余2的数，这样的数最小是2,

因为这个数是两位数，2+[3、4、5]=62.

12.一个自然数被3除余2,被5除余4,并且这个数大于100且小于125,那么这个数是.

【答案】104或119

【分析】被3除余2,被5除余4,求出3和5的最小公倍数15,估算15的哪一个倍数大于100小

于125,经计算可知，105和120介于100到125之间，再用105和120分别减1即可，这个自然

数是104或119.

13.一个自然数除以7余3,除以27余5,这个自然数最小是多少？

【答案】59

【分析】除以27余5的数有5、32、59、…，其中除以7余3的最小的数是59.

14.(1)一个数除以7余2,除以11余1.这个数最小是多少？

(2)有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1,2,3,…，9的

顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1,2,7的顺序报数，最后一名战士报的数是

4.请问：一共有多少名战士？

【答案】(1)23；(2)165

【分析】(1)采用逐步满足条件法.满足条件第二个条件的数位1、12、23、…发现23同时

满足第一个条件，因此这个数最小是23.

(2)战士的人数除以9余3,除以7余4,满足这两个条件最小的数是39,不断加63,直到满足

限制条件，最后得到165.

15.炒饭老师非常喜欢吃炒饭.有一天，炒饭老师给自己炒了一桶的炒饭.他算了一下，如果

他每天吃3碗，最后剩下2碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩下2

碗.问炒饭老师炒了至少多少碗炒饭？

【答案】62

【分析】炒饭老师炒的饭的碗数减去2是3,4,5的公倍数，所以老师炒的饭的最小值为

[3,4,5]+2=60+2=62(碗).

16.今有一堆石子，三个三个数余2个，五个五个数余2个，七个七个数余4个，这堆石子最少

有多少个？

【答案】32

【分析】70X2+21X2+15X4=242；244-105-105=32；

17.(1)一个自然数除以4余3,除以5也余3,这个自然数最小是多少？

(2)一个自然数除以5余1,除以7余3,这个自然数最小是多少？

【答案】⑴3；(2)31

【分析】(1)这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3.

(2)这个自然数加上4以后是5和7的公倍数，所以最小是31.

18.(1)一个三位数除以8余3,除以12也余3.这个三位数最小是多少？

(2)—个三位数除以6余1,除以10余5.这个三位数最小是多少？

【答案】(1)123；(2)115

【分析】(1)这是一道余同的问题.满足条件的数可表示为[8,12]xn+3,其中n为自然

数.要求满足条件的最小三位数，应令兀为5,即[8,12]X5+3=123.

(2)这是一道缺同的问题.满足条件的数可表示为[6,10]X”-5,其中n为自然数.要求满足

条件的最小三位数，应令兀为4,即[6,1O]X4-5=115.

19.一个三位数除以4余3,除以6也余3.这个三位数最大是多少？

【答案】999

【分析】这是一道余同的问题.满足条件的数可以表示为[4,6]xn+3,其中n为自然数.要求

满足条件的最大三位数，应令n为83,即[4,6]X83+3=999.

2().一个两位数分别除以7、8、9,所得的余数的和为20.问：这个两位数是多少？

【答案】62

【分析】余数的和为20,那么这个两位数除以7、8、9的余数分别为6、7、7或6、6、8或5、

7、8.其中只有6、6、8的情况存在满足条件的两位数为62.

21.一个小于200的数，它除以11余8,除以13余10,这个数是几？

【答案】140.

【分析】分析题意，我们发现这两个算式除数与余数的差都等于11-8=13-10=3,观察发

现这个数加上3后就能同时被11和13整除，所以[11、13]=143,所以这个数是

143-3=140.

22.有一批图书总数在1000本以内，假设按24本书包成一捆，那么最后一捆差2本；假设按28

本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；假设按32本包一捆，那么最后一捆是30本.那么这批

图书共有本.

【答案】670.

【分析】由题意知，这批数的总数除以24余22,除以28余26,除以32余30,

[24、28、32]=672,所以这批书的数量为672k-2,又因为这批图书总数在1000本以内，所

以1=1,这本书为670.

23.今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩四，七七数之剩三，问物几何？

【答案】59

【分析】70X2+21X4+15X3=269；269-105-105=59；

24.被3,5除余2的最小两位数是几？

【答案】2

【分析】被5除余2的所有整数是：

2,7,12,17,22,27,32,37…

被3除余2的所有整数是：

2,5,8,11,14,17-

所以，被3,5除余2的最小两位数是2.

25.有一个自然数，除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,除以7余6,那么

这个数最小是.

【答案】419.

【分析】分析题意知，这个数加1就能被234,5,6,7整除，所以这个数为

[2、3、4、5、6、7]-1=420-1=419.

26.被2,3,5除余1且不等于1的最小整数是几？

【答案】31

【分析】除1以外，被2除余1的所有整数是：

3,5,7,9,11,…,27,29,31,33,…

被3除余1的所有整数是：

4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,…

被5除余1的所有整数是：

6,11,16,21,26,31,36,…

上面三列数中，第一个同时出现的数是31,所以31是同时满足被2,3,5除均余1且不等于1的

最小数.

27.一个大于1。的自然数，除以5余3,除以7余1,除以9余4,那么满足条件的自然数最小为多

少.

【答案】148

【分析】除以7余1的数至少是1,为满足这一特点每次要加7,加了6个7后首次满足除以5余

3；然后每次加35,加了3个后满足除以9余4,此时这个数是148.

28.韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五.那么这队兵有多

少人？

【答案】473

【分析】先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3的数.

29.一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求满足条件的最小的自然数？

【答案】148.

【分析】设这个数为凡

n除以5余3：最小为3,通式为3+5心；

n除以6余4：自最小为5,那么有3+5x5=28,通式为28+[5,6]故=28+30%

坪余以7余1：七最小为4,那么有n=28+30X4=148.

30.一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数.

【答案】23.

【分析】由中国剩余定理得这个数为23.

31.一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5,求符合条件的最小的奇数.

【答案】1523.

【分析】此题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，符合条件

的最小偶数是368,只要将368加上3X5X7X11就能求得符合条件的最小奇数，这个数是

368+3X5X7X11=1523.

32.小朋友们做游戏，假设7人分成一组，那么最后余下5人；假设9人分成一组，那么最后余

下5人；假设11人分