应用代数群论基础

群论基础1半群定义：设S是一个非空集合，若S上存在一个二元运算，构成代数结构(S，),且满足结合率，则说S是一个半群有单位元的半群，称为含幺半群2例整数的集合Z在通常加法＋意义下构成半群(Z,+)，含有单位元0整数的集合Z在通常乘法×意义下构成半群(Z,×)，含有单位元1偶数的集合E在通常加法＋意义下构成半群(E,+)，含有单位元0偶数的集合E在通常乘法×意义下构成半群(E,×)，不含单位元奇数的集合O在通常乘法×意义下构成半群(E,×)，含单位元1奇数的集合O在通常加法＋意义下不构成半群，不封闭3例任意非空集合S到其自身的全体函数的集合SS在函数合成运算下构成半群，恒等函数是该半群的单位元任意集合S的幂集P(S)在集合的交（并）运算下构成半群设Mn×n(R)为实数域R上所有n阶方阵的集合，×表示通常矩阵的乘法运算，(Mn×n(R),×)是半群，且单位阵E为其单位元4有限半群如果半群(S,)中集合S含有有限多个不同的元素，称之为有限半群否则称为无限半群定理：有限半群(S,)一定含有等幂元S有限，可表示为S={x1,x2,…,xn}任取xiS，其幂构成集合{xin|nZ+}S(运算封闭)S有限→在xin，nZ+中必有2个相等设xik＝xil，且k>l。令p=k-l→xipxil=xip+l=xik=xil5因p1，取正整数m，使mpl考虑元素y=ximp，显然ySy=ximp=ximp-lxil=ximp-l(xipxil)=(ximp-lxip)

xil=xi(m+1)p-lxil=xi(m+1)p-l(xipxil)=(xi(m+1)p-lxip)xil=xi(m+2)p-lxil=…=xi(m+m)p-lxil=xi(m+m)p=ximpximp=yy即yS是等幂元6定理：在半群(S,)中，任取n(n3)个元a1,a2,…,an，只要不改变元素次序，任一计算方法所的结果均相同半群的二元运算通常叫做乘法，可以将ab简记为ab定义：在半群(S,)中，符号an(n是自然数)表示S中n个a的计算结果，即an=aaa…a(n个)在S中指数律成立：对于任意自然数m,n，任意aS，有aman=am+n；(am)n=amn半群的性质7交换半群定义：如果半群(S,)的乘法运算满足交换率，即a,bS，ab=ba，则称(S,)是一个交换半群定理：在交换半群(S,)中，任意n个元的积可以任意交换次序，所的结果相同可交换半群的另一个指数率：(ab)n=anbn对于可交换半群(S,)的运算常用“+”表示，这是ab记为a+b，称作a,b的和。并na=a+a+…+a(共n个)8定义：设S是一个半群，如果存在元素eS，aS：ea=a，那么就说e是S的一个左单位元。如果存在元素uS，aS：au=a，那么就说u是S的一个右单位元。S的一个单位元既是左单位元，又是右单位元，则称之为S的单位元。一个半群可以既没有左单位元，也没有右单位元，也可以有左单位元而没有右单位元，也可以有有单位元而没有左单位元。单位元9单位元的性质定理：设半群(S,)有左单位元e，又有右单位元f，则e=f是S的唯一的单位元。证：e是左单位元ef=ff是右单位元ef=e既f=e是S的单位元假设S有两个单位元e1,e2，则e1e2=e1=e2故S只能有一个单位元。10半群(2A,)有单位元A，(2A,)有单位元。(2A为A所有子集的集合)A是一个非空集合，A到A的一切映射的集合AA，关于映射的合成作成一个半群(AA，)有单位元IA自然数集N的普通加法构成半群(N,+)，没有单位元自然数集N的普通乘法构成半群(N,×)，有单位元11子半群定义：如果半群(S,)的子集S1关于作成一个半群，那么就说S1是S的一个子半群S的非空子集S1只要对封闭，则(S1,)作成S的一个子群若(S,)是可换半群，则其子半群(S1,)也是可换半群(S,)有单位元，(S1,)未必有单位元，有也未必相等12例例：设(Z)n表示一切元素为整数的n阶方阵的集合，则(Z)n对于方阵乘法作成一个半群，(Z)n有单位元I命子集T={(aij)|(aij)(Z)n，ij:aij=0}，则T对于方阵乘法封闭，故T是(Z)n的一个子半群，但T没有单位元。命子集S={(aij)|(aij)(Z)n,ain=anj,i,j=1,2,…,n},则S是(Z)n的一个子半群，S有单位元In-1In13半群的逆元定义：设(S,)是有单位元e的半群，S中的元素a叫做右可逆的(或右正则的)，若存在a’S使aa’=e。a’叫做a的一个右逆元。叫叫做左可逆的，若存在a”S，使a”a=e。a”叫做a的一个左逆元。若a既是右可逆的，又是左可逆的，则说a是可逆元(或正则元，也叫单位)。定理：设(S,)是右单位元e的半群，aS,a有右逆元a’和左逆元a”，则a右唯一的逆元a-1，并且(a-1)-1=a。若a,bS，a,b都可逆，则ab也是可逆的，并且(ab)-1=b-1a-1。14群定义：一个含幺半群(G,)，如果

g

G都有逆元g-1

G，则称(G,)为一个群以非空集合G及G上的二元运算封闭且结合律:(ab)c=a(bc),a,b,cG单位元：G中存在一个元e:ea=ae=a，aG逆元：对G中任意元a，存在a-1G，使aa-1=a-1a=e15交换群和有限群群G的运算适合交换律时，称G为交换群或Abel群G中元素个数有限，称为有限群否则称为无限群有限群中G的元素个数称为有限群(G,)的阶，记为|G|16例1Z-整数,Q-有理数,R-实数,C-复数Q*-非零有理数,R*-非零实数,C*-非零复数用x和＋表示通常的数的乘法和加法，则(Z,+)，(R,+)，(Q,+)，(C,+)都是交换群，单位元都是0(Z,X)，(R,X)，(Q,X)，(C,X)都不是群，有单位元1，但0没有逆元(在(Z,X)中除±1外都没有逆元)(R*,X)，(Q*,X)，(C*,X)都是交换群，单位元1(R*,＋)，(Q*,＋)，(C*,＋)都不是群，没有单位元17例2R上全体n阶方阵的集合Mnxn(R)在矩阵乘法x下构成一含幺非交换半群(Mnxn(R),x)运算封闭满足结合律，不满足交换律单位阵为单位元行列式|A|=0的方阵没有逆令GL(n,R)={A|AMnxn(R),|A|0},则(GL(n,R),x)是一个群一个非交换群18例3取定一个正三角形，把变到与自身重合的刚体变换叫做的对称，命G表示的全部对称所成的集合，则G关于变换的合成作成一个群19群的零元定理：设(G,)是群，并且|G|>1，则群(G,)无零元证(反证)：若(G,)有零元，设为(G,)的单位元e

(gG,有g=ge=g=,|G|=1,与|G|>1矛盾)gG,有g=e没有逆元与(G,)是群矛盾20群的消去率定理：群(G,)满足消去律，即对a,b,cG,有:(1)ab=acb=c(2)ba=cab=c证(1):a有逆元a-1,用a-1左乘(1)得a-1(ab)=a-1(ac)(a-1a)b=(a-1a)ceb=ecb=c21群的等幂元定理：群(G,)中只有单位元是等幂元证:ee=ee是等幂元若a是等幂元，aa=a=ae由消去律a=e22群中方程的解定理：设(G,)是群，则a,bG,方程ax=b和ya=b在G中均有唯一解证：(存在性)aG有逆元a-1(唯一性)可由消去律证明用a-1左乘ax=ba-1(ax)=a-1ba-1b=a-1(ax)=(a-1a)x=ex=xx=a-1bG是解用a-1右乘ya=b(ya)a-1=ba-1ba-1=(ya)a-1

=y(aa-1)=ye=yy=ba-1G是解23群中的逆元定理：设(G,)是群，则a,bG，有(ab)-1=b-1a-1证:(用结合率)(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aea-1=aa-1=e(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1eb=b-1b=e单位元定义及唯一性(ab)-1=b-1a-1还可用逆元的定义及唯一性证明定理：设(G,)是群，则aG，有(a-1)-1=a24交换群定理：群(G,)是交换群的充分必要条件是：a,bG,有a2b2=(ab)2充分性a,bG，结合律a2b2=(ab)2a(ab)b=a(ba)b消去率ab=ba(G,)是交换群必要性如果a,bG，均有ab=ba，由结合律(ab)2=abab=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)=a2b225群中元素的阶定义：对于群(G,)的元素a，如果存在正整数n使得an=e，则a的阶(周期)定义为使得上式成立的最小正整数n；如果an=e对于任何正整数n都不成立，则定义a的阶为交换群(Z6,+6)中元素[2]6Z6={[0]6,[1]6,[2]6,[3]6,[4]6,[5]6}的阶是3，[0]6的阶是1，[1]6的阶是6，[3]6的阶是2，[4]6的阶是3，[5]6阶是6群(Z,+)中每一个非零整数的阶都是任何群的单位元的阶都为1，而且只有单位元的阶才会为126定理：对群(G,)中任何元素，a与a-1均有相同的阶设G是一个群,aG,a的阶为2，则a-1=a因a2=e，而aa-1=e故a2=aa-1,消去后a=a-1定理：设群(G,)中元素aG的阶是m。则对正整数n,an=e的充要条件是m整除n，即m|n推论：设(G,)是群aG。如果存在正整数n使得an=e，则a的阶是n的因子如果a≠e，且存在素数p使得ap=e，则a的阶是p定理：设G是有限群，则G的每一个元的阶均为有限27循环群的生成元定义：设(G,)是一个群。G的子集SG称为G的一个生成元集，如果G中的每一个元素gG均可由子集S中的元经过有限次的运算以及求逆运算得到记G=<S>如果群(G,)的最小生成元集只有一个元素a，称元素a生成了群(G,)28循环群定义：群(G,)叫做循环群，如果(G,)是由某个元素aG生成的记为G=<a>。称a为群(G,)的生成元我们规定(a-1)n=a-n,a0=e为单位元，则由a生成的循环群(G,)中的每一个元素均可表示为a的幂的形式am,其中m为整数定理：循环群的阶等于其生成元的阶循环群是交换群29例整数加群(Z,+)是一个循环群，其生成元为{1}或{-1}模n的剩余类加群(Zn,+n)是一个循环群[p]nZn是(Zn,+n)的一个生成元，当且仅当p与n互素30变换群定义：集合S上的一个变换定义为S到自身的一个映射，即：SS用T(S)表示集合S上的全体变换构成的集合。在T(S)上规定二元运算为：,T(S)及sS,()(s)=((s))S。从而也是集合S上的一个变换，即T(S)。运算满足结合律，且恒等变换为的单位元。定义：如果T(S)的一个包含恒等变换的子集G关于运算构成群，则G中的每一个元素必为一个双射(一一在上的映射)，并且逆映射也在G中。这样的一个群称为集合S的一个变换群定理：一个集合S上所有的一一在上的变换(双射)在运算下构成一个变换群G31例：令P表示一个平面上所有点的集合，任意给定该平面的一个点O，用G表示所有绕点O的旋转

，其中R表示绕O点旋转的角度，并规定逆时针旋转的角度为正。于是，G={

|R}。

,

G,

=+G满足结合律

=0G，为单位元

-=-

=0,即

-1=-。所以(G,)是P上的一个变换群。一般来说变换群不是交换群。32定理：任何一个群都同构于一个变换群。证明设(G,)是任意群。gG,定义Tg:GG,aga。如果Tg(a)=Tg(b)，即ga=gb，由群的消去律得a=b。所以Tg是一一的(单的)cG显然c0=g-1cG满足Tg(c0)=c,所以Tg是在上的(满的)故Tg是集合G上的一个变换(即一一在上的映射)用T(G)={Tg|gG}表示G上所有这样得到的变换的集合。显然T:GT(G),gTg是一个满射。如果Tg1=Tg2,则aG都有Tg1(a)=Tg2(a),即g1a=g2a,由消去律得到g1=g2。所以T:GT(G)是单射。要证明T:(G,)(T(G),)是一个群的同构，只需再证明保持运算即可。a,bG,Tab(g)=(ab)g=a(bg)=aTb(g)=Ta(Tb(g))=TaTb(g)即：T(ab)=TaTb=T(a)T(b)。证毕33置换群定义：一个有限集合S上的一一在上的映射(双射)叫做S上的一个置换群。定义：一个含有n个元素的有限集合上的全体置换构成的群，叫做n次对称群，记为Sn。定理：n次对称群Sn的阶是n！。设S={a1,a2,…,an}。一个置换:aiaki,i=1,2,…,n,完全由(1,k1),(2,k2),…(n,kn)这n对整数决定。我们将置换表示为34循环置换定义：设Sn。将ai1变到ai2，ai2变到ai3,…aik变到ai1，而保持其他的元(如果还有的话)不变。我们将这样的一个n级置换叫做一个k-循环置换，用(i1i2…ik),(i2i3…iki1),…,或(iki1…ik-1)表示。35一个k-循环置换的阶恰好是k。定理：任何一个n级置换都可以写成若干个没有共同数字(即不相连)的循环置换的乘积(复合、合成)。定理：每一个有限群都同构于一个置换群。36子群定义：群(G,)的非空子集H，若对于G的运算作成群，则说H是G的一个子群任何群G都至少有2个子群只包含单位元的集合{e}G自身称为平凡子群若G还有其他子群，则成为G的真子群37定理：群(G,)的一个非空子集HG构成子群的充分必要条件是：

a,bH，有abH(对于G的运算

封闭)

aH,有a-1H证：充分性(假定1，2成立，证明H作成一个群)由1H对于

封闭(运算封闭)结合律在G中成立

在子集H中成立(结合率成立)H非空

至少存在一元素aH由2a-1He=aa-1(存在单位元)由2H中每个元在H中均有逆H在

下构成群38必要性(假设H作成(G,

)的子群,证1,2成立)H作成子群1显然成立(证e=e’)H构成群H中一定存在单位元，设为e’(G,)也有单位元，设为eaHG，e’是H的单位元e’a=ae是G的单位元ea=ae’a=ea，在G中应用消去率e=e’(证a在H中的逆与G中的逆相等)设aH在H中的逆元为a’，在G中的逆元为a-1H为群a’a=e’=e=a-1a应用消去率a’=a证必39推论如果H是群(G,)的一个子群，则H的单位元就是(G,)的单位元H中任意一个元素在H中的逆元就是它在(G,)中的逆元40定理：群(G,)的一个非空子集HG构成子群的充分必要条件是：a,bH，有ab-1H证：(充分性)(假设条件成立，证H为群)aH，e=aa-1H存在单位元a-1=ea-1H存在逆元a,bH，b-1H(存在逆元)ab=a(b-1)-1H运算封闭H作成(G,)的一个子群（必要性，自证）41定理：群(G,)的一个非空有限子集HG构成子群的充分必要条件是：a,bH，有abH证：(充分性)(证aH,有a-1H即可)考虑集合{an|nZ+}，{an|nZ+}是H的子集H为有限子集在{an|nZ+}中必有重复元素设am=an，m>n。令k=m-n1上式改写为：anak=am=an消去率ak=e为单位元若k=1a=e，a-1=e=aH若k>1aak-1=ak-1a=ak=ea-1=ak-1{an|nZ+}H42H={x|xC*,xn=1,对于某个自然数n},则H是G=(C*,)的一个子群。任取x,yH，存在自然数m,n，使xn=1,ym=1命k是m,n的最小公倍数，则(xy)k=1既H关于数目乘法封闭又xn=1(x-1)n=(xn)-1=1x-1HH是G的一个子群G=(Z,+)，H={nk|k

Z},n是取定的自然数，则H是G的一个子群设H1，H2是G的两个子群，则H1

H2也是G的子群命H=H1

H2

，则H不空(H1和H2拥有相同的单位元)任取a,bH,则a,bH1,a,bH2abH1,abH2abH1H2,即H对运算封闭aHaH1,且aH2a-1H1,且a-1H2a-1H1H2H是G的一个子群设{Hi|iI}是G的子群的任意集合，则Hi是G的子群43等价关系设(G,)是一个群，(H,)为其子群。我们定义集合G中的一个等价关系如下：a,bG,ab当且仅当ab-1H。a,bG,我们可以确定是否有ab-1H，从而是G中的一个关系。关系满足下面条件：(自反性)任意aG,因aa-1=eH,所以有aa;(对称性)如果ab,则ab-1H。因(H,)是子群所以ba-1=(ab-1)H,即ba;(传递性)如果ab且bc，则ab-1H且bc-1H,所以ac-1=(ab-1)(bc-1)H，即ac。这样，是G中的一个等价关系。从而得到G的一个划分或分类。44陪集定义：由等价关系～决定的G中的元素的每一个等价类，都叫做子群H的一个右陪集。元素a所在的陪集记为Ha。(如果用a从右边去乘H的每一个元素，就可以得到包含元素a的在等价关系～下的等价类。即集合Ha恰好由所有在～下与元素a等价的元素组成。）定义：由等价关系～’决定的G中每一个元素的等价类，都叫作子群H的一个左陪集。元素a所在的陪集记为aH。45陪集的性质定理：群G中一个子群H所决定的左陪集个数与右陪集个数相等。证将子群H的左陪集作成的集合记为PL，H的右陪集作成的集合记为Pr。须证在PL和Pr间存在一个双射。作映射：PLPr，(aH)=Ha-1(一个左陪集aH在下的像与a的选取无关)如果aH=bH,则a-1bH,从而b-1(a-1)-1=(a-1b)-1H,即Ha-1=Hb-1。(单射)如果aHbH，则a-1bH，从而b-1(a-1)-1=(a-1b)-1H，即Ha-1Hb-1，所以是单射；(满射)任意的HaPr，显然存在a-1HPL,使得(a-1H)=Ha，所以是满射。证毕。46定义：群G中一个子群H的左陪集(或右陪集)的个数，称为H在G中的指数，记为|G:H|。定理：群G中一个子群H的每对右陪集之间都存在一个双射。证明(证明每一个右陪集Ha与H之间都存在一个双射即可)(定义映射)定义:hha，显然是一个从H到Ha的映射。(满射)对haHa,(h)=ha，所以是满射。(单射)如果(h1)=(h2)，即h1a=h2a，由群的消去律得h1=h2，故是单射。证毕。定理：设G是一个有限群，则子群H的阶|H|以及H在G中的指数|G:H|都整除G的阶|G|，并且三者之间有如下关系：|G|=|G:H||H|。证明：由于G为有