中考数学全程演练第30课时 直线与圆的位置关系

第30课时直线与圆的位置关系(60分)一、选择题(每题5分，共25分)1．⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为8cm，则直线l与⊙O的位置关系是 (D)A．相交 B．内含C．相切 D．相离2．[2015·重庆]如图30－1，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O与点D，连结OD，若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为 (A)A．70° B．60°C．55° D．35°【解析】∵AC是⊙O的切线，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝55°，∴∠B＝35°，∴∠COD＝70°.故选A.图30－1图30－23．[2015·嘉兴]如图30－2，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为 (B)A．2.3 B．2.4C．2.5 D．2.64．[2015·梅州]如图30－3，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝20°，则∠C的大小等于 (D)A．20° B．25°C．40° D．50°图30－3第4题答图【解析】如答图，连结OA，第4题答图∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝20°，∴∠AOC＝40°，∴∠C＝50°.5．[2014·无锡]如图30－4，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面3个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC，其中正确结论的个数是 (A)A．3 B．2C．1 D．0图30－4第5题答图【解析】连结OD，CD是⊙O的切线，可得CD⊥OD，由∠A＝30°，可以得出∠ABD＝60°，△ODB是等边三角形，∠C＝∠BDC＝30°，再结合在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，继而得到结论①②③成立．第5题答图二、填空题(每题5分，共25分)图30－56．[2015·黔西南]如图30－5，点P在⊙O外，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠P＝50°，则∠AOB等于__130°__．图30－5【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝50°，∴∠AOB＝130°.7．如图30－6，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°.则∠B＝__60__度．图30－6第7题答图【解析】连结OA，∵MN与⊙O相切，∠MAB＝30°，∴∠OAB＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝60°.8．[2015·宁波]如图30－7，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为__6.25__．图30－7第8题答图【解析】连结OE，并反向延长交AD于点F，连结OA，∵BC是切线，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝AB＝8，OF⊥AD，∴AF＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×12＝6，设⊙O的半径为r，则OF＝EF－OE＝8－r，在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，则(8－r)2＋36＝r2，解得r＝6.25，∴⊙O的半径为6.25.9．[2014·台州]如图30－8是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A，B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆与点C，测得CD＝10cm，AB＝60cm，则这个外圆半径为__50__cm.图30－8第9题答图【解析】如答图，设点O为外圆的圆心，连结OA和OC，∵CD＝10cm，AB＝60cm，∴设外圆的半径为r，则OD＝(r－10)cm，AD＝30cm根据题意，得r2＝(r－10)2＋302，解得r＝50cm.10．[2015·宜宾]如图30－9，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD＝OB，DC切⊙O于点C，点B是eq\o(CF,\s\up8(︵))的中点，弦CF交AB于点E，若⊙O的半径为2，则CF＝__2eq\r(3)__．图30－9第10题答图【解析】连结OC，BC，∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°，∵BD＝OB，⊙O的半径为2，∴BC＝BD＝OB＝OC＝2，即△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵AB为⊙O的直径，点B是eq\o(CF,\s\up8(︵))的中点，∴CE＝EF，AB⊥CF，即△OEC为直角三角形，∵在Rt△OEC中，OC＝2，∠BOC＝60°，∠OEC＝90°，∴CF＝2CE＝2OC·sin∠BOC＝2eq\r(3).三、解答题(共20分)11．(10分)如图30－10，直尺、三角尺都和⊙O相切，其中B，C是切点，且AB＝8cm.求⊙O的直径．图30－10第11题答图解：如答图，连结OC，OA，OB.∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是C，B，∴∠OBA＝∠OCA＝90°，∠OAC＝∠OAB＝eq\f(1,2)∠BAC.∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，∴∠OAB＝eq\f(1,2)×120°＝60°，∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16cm.由勾股定理得OB＝eq\r(OA2－AB2)＝eq\r(162－82)＝8eq\r(3)cm，即⊙O的半径是8eq\r(3)cm，∴⊙O的直径是16eq\r(3)cm.12．(10分)[2015·湖州]如图30－11，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长；(2)求证：ED是⊙O的切线．图30－11第12题答图解：(1)如答图，连结CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10；(2)证明：连结OD.∵∠ADC＝90°，E为AC的中点，∴DE＝EC＝eq\f(1,2)AC，∴∠1＝∠2，∵OD＝OC，∴∠3＝∠4，∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．(20分)13．(10分)如图30－12，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结BC，PB.(1)求BC的长；(2)求证：PB是⊙O的切线．图30－12第13题答图解：(1)连结OA，OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∠AOB＝120°，∴∠COB＝∠COA＝60°.又∵OC＝OB，∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2；(2)证明：∵BC＝OC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB.∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°.又∵∠OCB＝∠CBP＋∠CPB＝2∠CBP，∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB⊥BP.又∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．14．(10分)[2015·潍坊]如图30－13，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连结DE.(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE＝7，BC＝6，求AC的长．图30－13第14题答图解：(1)证明：如答图，连结OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠C，∴∠ODC＝∠B，∴OD∥AB.∵DF⊥AB，∴OD⊥DF.∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切；(2)∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED＋∠ACD＝180°.∵∠AED＋∠BED＝180°，∴∠BED＝∠ACD.又∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA.∴eq\f(BD,BA)＝eq\f(BE,BC).∵OD∥AB，AO＝CO，∴BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝3，又∵AE＝7，∴eq\f(3,7＋BE)＝eq\f(BE,6)，解得BE＝2.∴AC＝AB＝AE＋BE＝7＋2＝9.(10分)15．(10分)[2015·衡阳]如图30－14，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：CE为⊙O的切线；(2)判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．图30－14第15题答图解：(